1. DEFINIŢII ŞI NOTAŢII
Reprezentarea matricei reale: ca o mulţime de m x n numere reale aranjate într-un tablou dreptunghiular cu m linii şi n coloane.
Notaţie: Matricile se notează cu litere mari A, B, C,. sau A A ,... iar elementele lor se notează cu litere mici dublu indexate unde indicele i arată linia iar indicele j arată coloana pe care se află elementul (adeseori numit element general sau generator al matricei A).
Pe scurt, se notează cu ( ), [ ] sau || ||, menţionând mulţimea de valori pe care le pot lua indicii i şi j (de exemplu , ).
A = ( ) ,
Definiţia 1. Se spune că matricea A este:
a) pătrată (pătratică), dacă m = n;
b) dreptunghiulară, dacă
c)
Definiţia 2. Dacă matricea A are m linii şi n coloane atunci se spune că aceasta este de ordinul m x n sau că are dimensiunea m x n.
Obs. Mulţimea matricelor m x n se notează de obicei cu:
M
menţionând eventual dacă matricile sunt reale M (R) sau complexe M (C).
Definiţia 3. Se spune că A este:
1) matrice (vector) linie, dacă m = 1 şi n 2;
2) matrice (vector) coloană, dacă m 2 şi n = 1.
Definiţia 4. Spunem că o matrice este nulă sau zero dacă toate elementele ei sunt egale cu zero şi se notează cu 0=(o).
Definiţia 5. Spunem că matricea pătratică A este diagonală dacă:
adică dacă toate elementele ce nu aparţin diagonalei principale sunt egale cu zero.
Exemplu:
Definiţia 6. Se spune că A este matrice unitate de ordinul n dacă:
Utilizând simbolul lui Kronecker
matricea unitate se poate scrie ca
, ,
Notaţii utilizate: E, I sau U (eventual când se menţionează şi dimensiunea).
Definiţia 7. Se spune că A este superior triunghiulară dacă toate elementele de sub diagonala principală sunt nule şi că este inferior triunghiulară dacă toate elementele situate deasupra diagonalei sunt nule.
Exemplu:
,
Definiţia 8. Matricea pătratică A este:
1) simetrică, dacă ,
2) antisimetrică, dacă ,
Exemplu:
,
Matricea A este simetrică, iar B este antisimetrică.
2. EGALITATEA MATRICILOR
Definiţia 9. Se spune că matricile şi sunt de acelaşi tip sau că au aceeaşi dimensiune dacă ele au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane.
Definiţia 10. Două matrice de acelaşi tip şi sunt egale şi scriem dacă toate elementele lor sunt egale două câte două (adică pentru toţi i şi j).
Exemple:
1. ,
A=B şi w = 5
2. ,
A = B , , , , de unde deducem că şi .
Definiţia 11. Se spune că între matricile şi de acelaşi tip are loc relaţia dacă pentru toţi i şi j.
3. OPERAŢII CU MATRICE
3.1 Adunarea şi scăderea a două matrice
Definiţia 12. Fiind date matricile şi de acelaşi tip se numeşte sumă a lor matricea ale cărei elemente sunt:
, şi
Aşadar,
Definiţia 13. Fiind date matricile şi de acelaşi tip se numeşte diferenţă a lor matricea ale cărei elemente sunt:
, şi
Exemplu:
Fie
,
Avem
şi
Propoziţia 1. Adunarea matricelor are următoarele proprietăţi:
1) asociativă
2) comutativă
3)
4)
3.2 Înmulţirea unei matrice cu un număr (scalar)
Definiţia 14. Fiind dată matricea şi scalarul R se numeşte produs al acestora matricea ale cărei elemente sunt
, ,
Teorema 1. Pentru orice matrice A şi B de acelaşi tip şi orice scalari şi au loc următoarele proprietăţi:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Matricea se numeşte opusa matricei A.
Exemplu:
3.3 Înmulţirea a două matrice
Definiţia 15. Fie o matrice m x n şi o matrice n x p. Se numeşte produs al matricelor A şi B (sau A cu B) matricea ale cărei elemente sunt:
, ,
Conform definiţiei de mai sus, rezultă că se înmulţesc elementele de pe linia i din matricea A cu elementele de pe coloana j din matricea B, "fiecare cu fiecare", se adună produsele şi rezultatul obţinut constituie elementul , aflat deci pe linia i şi coloana j în matricea produs C. Pentru ca produsul să poată fi efectuat trebuie ca numărul de coloane al matricei A să fie egal cu numărul liniilor matricei B. Remarcăm că dacă A este de tipul m x n iar B este de tipul n x p, atunci C este de tipul m x p. Este posibil că dacă poate fi calculată se poate ca să nu poată fi calculată.
Exemple: 1) Fie
şi
Avem deci M şi M .Vom obţine prin înmulţire o matrice M astfel:
3) Fie
şi
Cum M şi M rezultă matricea M de forma:
Definiţia 16. Dacă produsele şi există atunci se spune că:
1) produsul este comutativ dacă = , iar A şi B permutabile;
2) produsul este necomutativ dacă .
Propoziţia 2. Pentru orice matrice A, B, şi C pentru care produsele de mai jos există şi pentru orice scalar avem:
1)
2)
3)
4)
5) (în general)
6) Dacă = atunci = pentru orice p, q N
7) Dacă A = 0 sau B = 0 atunci AB = 0 dar nu şi reciproc.
8) pentru orice matrice pătratică A
Exemple: 1) Fie
şi
Cum M şi M M
2) Fie şi
M şi M
Deci M = (12 -6 -2)
3) Fie
şi B= (1 -2 -3) M şi M M
3.4 Transpunerea unei matrice
Definiţia 17. Fiind dată matricea se numeşte transpusă a acesteia şi se notează cu , , , sau etc. matricea B ale cărei elemente sunt = , pentru toţi i şi j, adică:
Exemplu:
Dacă , atunci
Se remarcă că dacă atunci prin transpunere se obţine matricea .
Propoziţia 3.Pentru orice matrice A, B de acelaşi tip şi pentru orice scalar sunt adevărate următoarele proprietăţi:
1.
2. ( ) =
3.
4.
5. Dacă A este simetrică atunci şi reciproc.
3.5 Partiţionarea matricilor
Definiţia 18. Fiind dată matricea , , , se numeşte partiţionare a acesteia operaţiunea de separare a liniilor sau a coloanelor sale printr-una sau mai multe drepte orizontale sau verticale, convenţional trasate, astfel încât să se obţină matrici de dimensiuni mai mici.
Exemplu:
unde , etc.
4. DETERMINANT ASOCIAT UNEI MATRICE PĂTRATĂ
Definiţia 19. Fiind dată matricea pătrată , determinantul său se notează cu det A , sau |A| , fiind scris astfel:
Definiţia 20. Dezvoltarea determinantului după linia i
,
unde reprezintă minorul (determinantul de ordin mai mic cu o unitate decât det A) care se obţine din det A suprimând linia i şi coloana j.
Determinantul se numeşte complementul algebric al lui .
Definiţia 21. Dezvoltarea determinantului det A după coloana j
,
Exemple: 1) Fie
pe care îl calculăm după linia întâi.
2) Dezvoltăm acelaşi determinant după coloana a doua.
3) Calculăm după linia întâi determinantul de ordin patru
Propoziţia 4. Următoarele afirmaţii (proprietăţi) sunt adevărate întodeauna:
1. Determinantul nu se schimbă prin transpunerea matricei
2. Dacă se schimbă între cele două linii (sau două coloane) atunci determinantul îşi schimbă numai semnul
3. Dacă matricea are două linii (sau două coloane) proporţionale atunci determinantul este egal cu zero
4. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) sunt nule, atunci determinantul este egal cu zero
5. Dacă elementele unei linii (sau coloane) se înmulţesc cu un număr, atunci determinantul se înmulţeşte cu acelaşi număr
6. Dacă la elementele unei linii (sau coloane) se adună elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu un număr, atunci determinantul matricei nu se schimbă.
Propoziţia 5. Dacă A şi B sunt matrici pătrate de ordinul n atunci
Definiţia 22. Spunem că matricea A este nesingulară (sau regulată) dacă . În caz contrar spunem că A este singulară.
5. INVERSA UNEI MATRICE
Definiţia 22. Se spune că matricea A este inversabilă dacă există o matrice de acelaşi tip cu ea, notată cu , astfel încât:
Observaţie. Dacă există, matricea se numeşte inversa matricei A şi este dată de formula:
=
unde A* se numeşte matricea adjunctă a lui A şi se obţine din transpusa matricei A înlocuind fiecare element al transpusei prin complementul său algebric. Analiza formulei de mai sus ne conduce la concluzia că există dacă:
- A este matrice pătrată;
- A este nesingulară, adică .
Exemplu: Fie matricea
, deci A este nesingulară.
Complementul algebric va fi:
, ,
, ,
, ,
Înlocuim fiecare element al transpusei cu complementul său algebric.
=
Pentru verificare va trebui ca
Exemplu: Fie matricea
;
, ,
, ,
, ,
; ;
Propoziţia 6. Dacă A şi B sunt matrici inversabile de acelaşi ordin atunci:
1.
2.
3.
4.
6. RANGUL UNEI MATRICE
Definiţia 23. Fie A o matrice de ordin m x n. Se numeşte rang al matricei A şi se notează prin rang (A) ordinul maxim al minorului său nenul.
Aceasta înseamnă că există cel puţin un minor al lui A de ordin r care este nenul şi toţi minorii lui A de ordin (r + 1) sunt nuli. Pentru determinarea rangului unei matrice procedăm astfel:
- pornind de la elementele matricei A , trecem de la minorii de ordin inferior la cei de ordin superior ;
- prsupunând că am găsit minorul nenul M de ordin r, calculăm toţi minorii de ordin r + 1 obţinuţi din M prin bordare cu o linie şi o coloană. Dacă toţi aceşti minori sunt nuli, rangul este r iar dacă măcar unul este nenul, atunci se reia procedeul pentru noul minor nenul.
Exemplu: Fie
Considerăm minorul de ordin 2, .
Formăm minori de ordinul trei care îl conţin pe M.
; etc.
