Distributia mediilor si a diferentelor intre medii

Distributia mediilor si a diferentelor intre medii

Fie o populatie statistica N (N foarte mare), pe care o consideram ca avand o distributie normala.

Vom extrage un esantion de efectiv n.

Fie m₁, m₂,  m₃ mediile gasite pentru diverse esantioane.

Se studiaza fluctuatia statistica a mediilor esantioanelor extrase intre ele, si egal repartizate fata de media M a populatiei de origine. Se constata ca mediile sunt mai putin dispersate fata de M, media globala a populatiei, decat valorile individuale din populatie.

Distributia nou-obtinuta in acest mod se numeste distributia mediilor.

Abaterea tip a acestei distributii de medii se numeste abaterea standard a mediei, si se noteaza S_m.

Distributia mediilor in jurul mediei globale a populatiei, in comparatie cu distributia valorilor individuale

Distributia mediilor fiind mai putin dispersata, abaterea tip S_m este totdeauna mai mica decat abaterea tip S a populatiei de origine; intre cele doua marimi exista relatia:

Multimea mediilor care se pot gasi pentru diverse esantioane avand acelasi numar de observatii, extrase la intamplare dintr-o populatie de medie M si abatere standard S, formeaza asadar o distributie gaussiana de valoare medie M, si avand abaterea tip S_m.

Intervalul de incredere al mediei

Intervalul corespunzator distributiei mediilor, (M - 2S_m, M + 2S_m), cuprinzand 95,5% din valorile pe care le poate lua media m a esantionului din multimea fluctuatiilor intamplatoare, se numeste interval de confidenta al mediei cu un coeficient de securitate de 95,5%.

Intervalul de confidenta al mediei cu un coeficient de securitate de 95.5%

Analog se defineste intervalul de confidenta al mediei cu un coeficient de securitate de 99% (Figura 8.47), ca fiind intervalul (M- 2.6·S_m, M + 2.6·S_m) - ne spune ca avem 99 sanse din 100 ca media unui esantion ales sa cada in acel interval.

Intervalul de confidenta al mediei cu un coeficient de securitate de 99%

Determinarea intervalului de confidenta al mediei

Dorim sa studiem la un esantion intervalul de incredere al mediei observate, m₀. Nu cunoastem nici media M, nici S_m , dar presupunem ca stim abaterea tip S a populatiei de origine.

Cateodata, experienta ne arata ca in practica, oricat de mic ar fi esantionul, dar suficient de important, distributiile de esantionaj sunt distributii sensibil normale. In aceste conditii, valoarea m₀ gasita pentru m reprezinta valoarea a carei probabilitate este cea mai mare. In consecinta, este logic sa consideram ca cea mai buna estimare pe care o luam va fi media M, si sa o substituim in intervalul de confidenta.

De altfel, abaterea σ a esantionului reprezinta o estimare a abaterii tip S a populatiei de origine si se considera substitutia lui S cu S_m rezultat din calcul. Abaterea σ a esantionului va fi o estimare putin mai mica decat S. Pentru a estima corect S trebuie sa luam o valoare putin mai mare decat σ al esantionului. Calculul arata efectiv ca cea mai buna estimare a lui S, pe care o vom nota cu S_σ este putin mai mare decat σ, fiind definita de formula:

Se poate deci utiliza aceasta valoare pentru a calcula S_m , care va fi:

=>

Plecand de la valorile estimate ale lui M si S_m, se va putea exprima intervalul de confidenta al mediei, care va fi in final:

m₀±2S_m, cu un coeficient de securitate de 95%;

m₀±2.6S_m , cu un coeficient de securitate de 99%.

cu

Exemplu: Se dozeaza corticoizii urinari intr-un grup de 253 femei cu greutate normala. Se gaseste media m = 4,50 mg/24h si abaterea tip σ=1,50. Sa se gaseasca intervalul de incredere. Avem:

Intervalul de incredere al mediei este deci:

m₀±2S_m = 4.50±2·0.1 =4.50 ±0.2

=> (4.30 , 4.70) cu un coeficient de securitate de 95%;

m₀ ± 2. 6S_m = 4.50 + 2.6·0. 1 = 4.50 ± 0.26

(4.24 , 4.76) cu un coeficient de securitate de 99%.

BIBLIOGRAFIE

GEORGESCU GABRIELA, DASCALU CRISTINA - "Informatica aplicata si biostatistica", Edit. Stef, 2003;

jacobs a.d. -"Medical Biostatics", Edit. Bucur-Mond, Bucuresti, 1997;

mocanu m.n. - "Curs de informatica medicala", Brasov, 1996.