Figuri geometrice

 

 

 

I.Triunghiul- poligon cu trei laturi.

Clasificare:

1. dupa laturi:

   
   

   
   

- ∆ oarecare;

• ∆ isoscel (doua laturi egale);

• ∆ echilateral (toate laturile egale).

2. dupa unghiuri:

• ∆ ascutitunghic (toate unghiurile < 90⁰);

• ∆ dreptunghic ( un unghi = 90⁰);

• ∆ optuzunghic ( un unghi >90⁰).

Linii importante in triunghi:

• mediatoarea -perpendiculara pe mijlocul laturii, orice punct de pe mediatoare este egal departat de capetele segmentului, punctul de intersectie al mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului, se noteaza cu O

• bisectoarea -dreapta care imparte unghiul in doua parti congruente, orice punct de pe bisectoare este egal departat de laturile unghiului, punctul de intersectie al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului inscris triunghiului, se noteaza cu I. Teorema bisectoarei: intr-un triunghi oarecare bisectoarea imparte latura pe care cade intr-un raport egal cu raportul laturilor.

• mediana -segmentul care uneste varful triunghiului cu mijlocul laturii opuse, punctul de intersectie al medianelor se afla la o treime de baza si doua treimi de varf, se numeste centru de greutate al triunghiului si se noteaza cu G.

 

 

 

 

 

 

• inaltimea -perpendiculara din varf pe latura opusa, punctul de intersectie al inaltimilorlor intr-un triunghi se numeste ortocentru sau centrul drept al triunghiului, se noteaza cu H.

• linia mijlocie –segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale triunghiului. Linia mijlocie a unui triunghi este paralela cu cea de a treia latura a triunghiului si jumatate din ea.

Cazuri de congruenta ale triunghiurilor oarecare:

• cazul I- L.U.L. (doua triunghiuri oarecare care au cate doua laturi si unghiurile cuprinse intre ele respectiv congruente, sunt congruente);

• cazul II- U.L.U. (doua triunghiuri oarecare care au cate o latura si unghiurile alaturate ei respectiv congruente sunt congruente);

• cazul III- L.L.L. (doua triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente sunt congruente)

 

Cazurile de asemanare ale triunghiurilor oarecare:

• cazul I - U.U (doua triunghiuri sunt asemenea daca au doua unghiuri respectiv congruente);

• cazul II- L.U.L. (doua triunghiuri sunt asemenea daca au doua laturi respectiv proportionale si unghiurile dintre laturile proportionale sunt congruente);

• cazul III- L.L.L. (doua triunghiuri sunt asemenea daca au laturile respectiv proportionale).

Congruenta	Asemanare

 

 

Triunghiul oarecare: ∆ABC

Teoreme:

• teorema lui Thales: o paralela dusa la

una din laturile unui triunghi, imparte celelalte

doua laturi in parti proportionale;

• teorema fundamentala a asemanarii: o

paralela dusa la o latura a unui triunghi formeaza

cu celelalte doua, un triunghi asemenea cu primul.

∆ABC ~∆AMN

 

Aria:

Triunghiul isoscel: ∆ABC; AB= AC

Proprietati:

• unghiurile de la baza triunghiului isoscel

sunt congruente;

• intr-un triunghi isoscel inaltimea din varf

este mediana, bisectoare, mediatoare si axa de simetrie.

Aria:

Triunghiul echilateral: ∆ABC; AB= AC= BC

Proprietati:

• toate unghiurile sunt congruente si

au 60⁰;

• orice inaltime este mediana, bisectoare,

mediatoare si axa de simetrie.

Aria:

Triunghiul dreptunghic: ∆DEF; un unghi = 90⁰

 

Cazurile de congruenta:

• cazul I- C.C. (daca doua triunghiuri drepunghice au catetele respectiv congruente, atunci ele sunt congruente);

• cazul II- C.U. (daca doua triunghiuri dreptunghice au o cateta si un unghi ascutit la fel asezat fata de cateta, respectiv congruente, atunci ele sunt congruente);

• cazul III- I.U.( daca doua triunghiuri dreptunghice au ipotenuza si un unghi, diferit de unghiul drept, respectiv congruente, atunci sunt congruente);

• cazul IV- I.C. (daca doua triunghiuri dreptunghice au ipotenuza si o cateta respectiv congruente, atunci ele sunt congruente).

Teoreme:

• intr-un triunghi drepunghic cateta care se opune unghiului de 30⁰ este jumatate din ipotenuza;

• intr-un triunghi drepunghic mediana din varful unghiului drept este jumatate din ipotenuza;

• teorema inaltimii- intr-un triunghi drepunghic inaltimea este media proportionala intre segmentele determinate de ea pe ipotenuza;

• teorema catetei- intr-un triunghi drepunghic o cateta este medie proportionala intre proiectia sa pe ipotenuza si ipotenuza;

• teorema lui Pitagora- intr-un triunghi drepunghic patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor catetelor.

Aria:

 

 

Functii trigonometrice:

	300	450	600
sin α
cos α
tg α
ctg α

II.Patrulatere- poligoane cu patru laturi.

Clasificare:

• convex;

• concav;

• incrucisat;

particulare: paralelogram, romb, dreptunghi, patrat.

 

 

Paralelogramul: patrulaterul cu laturile opuse paralele doua cate doua.

 

Proprietati:

• intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente, iar cele alaturate sunt suplimentare;

• intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua;

• intr-un paralelogram diagonalele se impart in parti congruente.

 

Reciproca:

• daca intr-un patrulater unghiurile opuse sunt congruente, iar cele alaturate suplimentare, atunci patrulaterul este un paralelogram;

• daca intr-un patrulater laturile opuse sunt congruente doua cate doua, atunci patrulaterul este un paralelogram;

• daca intr-un patrulater doua laturi opuse sunt paralele si congruente, atunci patrulaterul este un paralelogram;

• daca intr-un patrulater diagonalele se impart in parti congruente, atunci patrulaterul este un paralelogram.

Aria: AB· DQ= baza x h

Dreptunghiul: paralelogramul cu un unghi drept.

Proprietati:

• toate proprietatiile paralelogramului sunt adevarate;

• intr-un dreptunghi diagonalele sunt congruente;

• dreptunghiul are doua axe de simetrie.

Aria: AB·AD= baza x inaltimea=lungimea x latimea

Rombul : paralelogramul cu doua laturi alaturate congruente.

Proprietati:

• toate proprietatiile paralelogramului sunt adevarate;

• intr-un romb diagonalele sunt perpendiculare si sunt bisectoarele unghiurilor rombului;

• diagonalele rombului sunt axe de simetrie.

Aria:

 

 

 

 

Patratul: este derptunghiul cu doua laturi alaturate congruente sau rombul cu un unghi drept.

Proprietati:

• toate proprietatiile paralelogramului, rombului si dreptunghiului;

• patratul are patru axe de simetrie.

Aria:

Trapezul: patrulaterul cu doua laturi opuse paralele si doua neparalele

Clasificare:

• oarecare;

• dreptunghic (are un unghi de 90⁰);

• isoscel (laturile neparalele congruente).

Proprietati:

• linia mijlocie- segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele ale trapezului. Linia mijlocie a trapezului este paralela cu bazele si este egala cu semisuma bazelor.

 

 

 

 

unde PQ este segmentul care uneste mijloacele

diagonalelor unui trapez.

 

Aria:

 

 

 

 

Trapezul isoscel:

Proprietati:

• intr-un trapez isoscel unghiurile de la baza sunt congruente;

• intr-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente.

Scriitori romani