Sumerian, Egiptea, Babilonian, Sisteme de numeratie

Sumerian

Civilizatia Sumeriana a inflorit cu 4.000 ani i.C. in fertila campie dintre Tigru si Eufrat. Era o civilizatie avansata care construia orase si sisteme de irigatie, care a realizat un sistem legislativ, care avea un sistem administrativ performant si chiar un serviciu postal.

Cu peste 3.500 ani i.C., sumerienii scriau pe tablite de lut. Obiecte diferite erau reprezentate prin simboluri diferite, iar numarul acestora era era prezentat prin repetitie.

Prin anul 3.200 i.C. Sumerul este cucerit de akkadieni. Cele doua civilizatii isi unesc cunostintele in toate domeniile.

Acest sistem avea doua mari inconveniente. In primul rand, pentru fiecare obiect trebuia sa existe un simbol caracteristic, simboluri care - evident - trebuia memorate. Al doilea inconvenient era legat de reprezentarea cantitatii. Pentru a reprezenta trei butoaie de ulei se repeta de trei ori simbolul acestuia. Dar daca numarul acestora este mai mare, scrierea nu mai este asa de simpla si poate conduce la erori. Dezvoltarea economica a impus crearea unui alt sistem de reprezentare. 

Prima mare inovatie dupa inventarea scrisului a fost abstractizarea numarului de obiecte de acelasi fel. Astfel, trei butoaie cu ulei erau reprezentate prin simbolul pentru trei urmat de simbolul pentru butoi cu ulei. La fel se puteau reprezenta 3 oi, 3 vaci, in general 3 obiecte de acelasi fel. Un astfel de sistem este metrologic (asa cum scriem 3 kg, 3 h, 3 m). Astfel, simbolul pentru 'trei' nu este in totalitate abstract, dar a reprezentat un salt urias in dezvoltarea reprezentarii numerelor si a calculului.

Sumerienii foloseau 60 de simboluri numerice, dar nu pentru orice fel de numere. Astfel, aveau un set de simboluri (o tabla) pentru numararea obiectelor discrete (cum ar fi oi, butoaie etc.) si o alta tabla pentru calcularea ariilor sau volumelor.

Pentru a numara obiectele discrete (de ex. oi, capre, pesti) simbolul pentru un singur obiect era un mic con. Zece conuri erau inlocuite printr-un cerc mic. Sase cercuri mici se inlocuiau printr-un con mare. Zece conuri mari erau reprezentate printr-un con mare cu un cerc mic in interior. Sase conuri mari se inlocuiau printr-un cerc mare. In fine, 10 cercuri mari erau reprezentate printr-un cerc mare in interiorul caruia era plasat un cerc mic. Astfel, ultima unitate numara 10 · 6 · 10 · 6 · 10 = 36.000 obiecte.

Scrierea pe tablitele de lut se putea face foarte usor: cercul era creat prin apasarea verticala a unui cui, conul prin aplicarea oblica a cuiului pe tablita.

Sumerienii foloseau si un sistem bisexagesimal in care factorii de multiplicare erau 10, 6, 2, 10 si 6, astfel ca simbol pentru cantitatea cea mai mare (un cerc mare cu doua cercuri mici interioare) avea valoarea de  6 · 10 · 2 · 6 · 10 = 7.200 unitati de baza.

Un alt sistem era folosit pentru masurarea granelor. In acest sistem, factorii de multiplicare erau 5, 10, 3, si 10, astfel incat unitatea cea mai mare (un con mare cu un cerc mic in interior) avea valoarea de  10 · 3 · 10 · 5 = 1.500 unitati de baza.

Astfel, acelasi semn putea fi folosit in diferite sisteme, valoarea sa depinzand de sistemul respectiv. De exemplu, cercul mic putea insemna 6, 10 or 18 conuri mici.

Treptat, in decursul mileniului 3 i.C., aceste semne au fost inlocuite de echivalentul lor cuneiform.

Pe la sfarsitul mileniului 3 i.C. a fost introdus sistemul de numeratie sexagesimal pozitional. Numarul de simboluri a fost redus la doua: , derivat din conul mic, si derivat din cercul mic, care avea valoarea de 10 unitati de baza. Sistemul arata acum astfel:

si putea continua indefinit. Apare totusi un inconvenient: simbolul poate reprezenta 1, 60 (6 · 10), 3.600 (60 · 60) etc. unitati de baza, valoarea sa depinzand de pozitia pe care o ocupa.

Sistemul sexagesimal pozitional a usurat foarte mult efectuarea calculelor, numai ca el era folosit exclusiv la efectuarea calculelor. Rezultatele obtinute erau apoi transformate in vechile sisteme metrologice.

Babilonian

Civilizatia babiloniana a inlocuit-o pe cea sumeriana incepand cu 2.000 i.C.. Babilonienii au mostenit cunostintele pe care le aveau sumerienii si akadienii. Desi au imprumutat scrierea numerelor si baza de numeratie de la acestia, sistemul de numeratie a evoluat devenind pozitional.

Babilonienii stabilisera unitati de masura pentru lungime, masa si volum, timp (impartisera ziua in 24 de ore, ora in 60 de minute si minutul in 60 de secunde), creasera un calendar foloseau impartirea cercului in 360 de grade. Babilonienii aveau cunostinte astronomice avansate, putand sa prevada eclipsele de soare si de luna. Foloseau fractiile, patratul unui numar, radacina patrata.

Au inventat  un sistem de scriere pozitional cu baza 60. Aveau un semn pentru unu , care repetat dadea doi , trei  si asa mai departe, pana la zece, pentru care exista un alt semn . Combinand semnele reprezentand pe  unu si pe zece se obtin 11, 12, , 59. Pentru saizeci se folosea acelasi semn ca pentru unu, dar valoarea sa era data de coloana in care se gasea. Se putea continua avand posibilitatea reprezentarii oricarui numar.

Pentru a scrie numere mai mari decat 60, mesopotamienii foloseau aceste reprezentari in sensul actual de cifra.

Sistemul avea un inconvenient: deoarece nu exista reprezentare pentru cifra 0, mesopotamienii in locul acesteia lasau un loc liber. Dar nu totdeauna !. Astfel, nu este clar daca inseamna 2, 61, 3601 sau 3660. Totusi, in practica cifra 0 in sexagesimal apare destul de rar. Mai tarziu, cand astronomii au avut nevoie de foarte multe calcule, au introdus un semn special pentru a inlocui spatiul (cifra 0).

Scrierea pozitionala permite reprezentarea usoara a fractiilor. Pentru separarea partii intregi de cea zecimala noi folosim virgula zecimala, anglo-saxonii punctul zecimal. Mesopotamienii nu foloseau nimic. Stabilirea faptului ca un numar este intreg sau zecimal se facea 'prin inspectie'. De exemplu, poate insemna 16.000 sau 1/81.

Pentru unele fractii uzuale, mesopotamienii foloseau notatii speciale:

Fiind pozitional, sistemul este usor de folosit deoarece utilizeaza acelasi semn pe diferite locuri, valoarea sa intrinseca ramanand aceeasi, dar valoarea efectiva depinzand de pozitia pe care o ocupa.

Nu au fost descoperite table pentru adunare sau scadere. Se presupune ca scribii invatau sa adune si sa scada odata cu invatarea cititului si scrisului, asa ca tablele pentru adunare si scadere nu-si aveau rostul. In schimb, exista o multime de table de multiplicare. Pe la 2.300 i.C. au inventat  abacul si au creat metode pentru adunarea, scadere, inmultire si impartire.

Babilonienii au creat table pentru inmultire sub doua forme: table simple si table combinate. Tablele simple contin produsele unui singur numar, numit numar principal (de ex. 5, ). Deoarece baza de numeratie este 60, s-ar parea ca tabla trebuia sa contina 58 de linii (de la 2 la 59). In realitate, tablele contineau liniile cu produsele de la 2 la 20, apoi cu 30, 40 si 50. Daca se dorea produsul cu 39 (de ex.) se adunau multiplul lui 30 cu multiplul lui 9. Uneori tablele se incheiau cu patratul numarului principal. Tablele combinate contin mai multe numere principale, fiind de fapt, formate din mai multe table simple (de ex. cu , cu ). Aproape toate tablele care apar in table combinate se gasesc si separat, ca table simple.

Pentru a putea calcula mai usor un produs foloseau formula:

ab = [(a + b)² - a² - b²]/₂

sau o formula chiar mai eficienta:

ab = [(a + b)² - (a - b)²]/₄

A fost descoperita o tabla a patratelor numerelor pana la 59 si una a cuburilor pana la 32.

Nu exista table pentru impartire, in schimb a fost creata o tabla de inverse. Inversul numarului n este fractia ¹/_n. In loc sa imparta un numar la n, babilonienii il inmulteau cu cu inversul lui n. Ca si in sistemul nostru de numeratie, si in sistemul babilonian existau fractii sexagesimale infinite. Evident, singurele inverse care erau fractii sexagesimale finite erau cele care nu contineau alti factori afara de puteri ale lui 2, 3 si 5.

Mai exista si cateva table pentru radacina patrata si cubica. Exista si table pentru rezolvarea unor probleme financiare. In fine, au fost gasite si cateva table de conversie pentru unitati de masura. Exista o tabla de corespondenta intre lungimea diagonalei si latura patratului.

Matematica babilonienilor se ocupa de lucruri practice, in special de calcule. Nu se punea problema unei demonstratii. Interesul pentru studiul geometriei era, de asemenea, minor. Desi foloseau constructii geometrice, problemele conduceau la calcule aritmetice. Problemele erau formulate cu date concrete, din viata de zi cu zi. Elevilor li se cerea sa afle lungimi de canale, masa unor stanci, aria unor terenuri, numarul de caramizi folosite intr-o constructie etc. De obicei se cerea aflarea lungimii laturii sau diagonalei unui patrat, determinarea ariei sau a volumului. Pe unele tablite erau desenate figuri geometrice standard cum ar  fi patrat, dreptunghi, triunghi, trapez, cerc etc. Studiul corpurilor geometrice era dominat de calcul de caramizi si planuri inclinate, dar apar si cilindri, trunchiuri de con si piramide.

Egiptean

Egiptul a fost probabil prima civilizatie in care interesul pentru stiinte a fost major. Au excelat in medicina si matematici aplicate, dar si in astronomie, mecanica, chimie, fizica, administratie. Chiar numele de chimie provine de la alchimie, vechiul nume al Egiptului. Civilizatia Egiptului Antic a atins un inalt nivel inca din cele mai vechi timpuri. Datorita Nilului si climei, Egiptul avea tot ce-i necesar dezvoltarii unei civilizatii infloritoare. Egiptul era si usor de aparat avand o lunga granita cu desertul Sahara, asa ca s beneficiat de perioade lungi de pace, perioade in care societatea s-a dezvoltat rapid.

Cu 3.000 de ani i.C., in Egipt era dezvoltata puternic agricultura pe baza inundatiilor bianuale ale Nilului. Apa revarsata aducea aluviuni care imbogateau solul; surplusul de apa era dirijat printr-un sistem complicat de canale si ecluze, astfel ca ea sa fie folosita si in perioadele secetoase. Construirea si intretinerea unui astfel de sistem de irigatii a necesitat importante cunostinte de geometrie, mecanica, hidraulica. Cunoasterea cu precizie a perioadelor din an in care se produceau inundatiile era de maxima importanta. Problema a fost rezolvata de cunostintele avansate de astronomie care le-a permis realizarea unui calendar foarte precis. Teritoriul pe care se intindea Egiptul fiind vast, era nevoie de un sistem administrativ eficient. Pentru calcularea taxelor si repartizarea sumelor colectate pentru constructii, armata s.a. era nevoie de cunostinte de aritmetica.  Din 3.000 i.C. a inceput constructia piramidelor; astfel marea piramida de la Ghiza a fost construita prin 2.650 i.C. Constructia piramidelor necesita vaste cunostinte si imense resurse materiale.

In acea perioada, Egiptenii aveau pus la punct sistemul de scriere hieroglific. Sistemul de numeratie folosit nu era foarte bun pentru realizarea calculelor aritmetice. Operatiile aritmetice, asa cum le cunoastem azi, erau foarte greu de realizat: adunarea si scaderea se puteau efectua relativ usor; inmultirea si impartirea erau de-a dreptul imposibile. Totusi, egiptenii au dezvoltat metode remarcabile pentru a trece peste acest neajuns.

La inceput, numerele erau sculptate in piatra pentru a comunica diferite marimi. Deoarece nu era nevoie sa se opereze mult cu ele, pentru cifre nu existau hieroglife speciale. Din momentul in care s-a trecut la utilizarea papirusului pentru scriere, a aparut necesitatea dezvoltarii unor mijloace mai rapide de scriere, a aparut necesitatea crearii unor hieroglife pentru scrierea numerelor.

Papirusurile descoperite arata ca egiptenii, spre deosebire de greci care s-au preocupat de studiul matematicii abstracte, erau legati de rezolvarea unor probleme de aritmetica legate exclusiv de practica.

Sistemul de numeratie folosit de ei era zecimal si pozitional, dar nu in acceptia actuala. 'Cifrele' folosite se obtineau prin compunerea a sapte simboluri de baza:

Scrierea se facea in ordinea crescatoare a valorii. Iata cateva exemple:

dar se putea scrie si pe verticala:

Deoarece se foloseau semne diferite pentru unitati, zeci, sute, mii, , nu are importanta ordinea scrierii. Nu era nevoie nici de simbol pentru zero.

Efectuarea unei inmultiri era destul de complicata. Sa consideram produsul 41 · 59. Construim o tabla astfel: randul 1 al doilea factor, , pe randurile urmatoare se scrie dublul randului precedent pana cand multiplicatorul devine mai mare ca primul factor, in cazul nostru pana la 32 < < 64:

Apoi efectuam o serie de scaderi: - 32 = 9; 9 - 8 = 1; 1 - 1 = 0 si scriem = 32 + 8 + 1. Selectam multiplii corespunzatori si sumam.

Putem sa schimbam ordinea factorilor, 59 · 41. Avem - 32 = 27; 27 - 16 = 11; 11 - 8 = 3; 3 - 2 = 1;
1 - 1 = 0. si scriem suma multiplilor = 32 + 16 + 8 + 2 + 1.

Metoda folosita se bazeaza pe teorema care spune ca orice numar poate fi scris ca o suma a puterilor lui 2. Egiptenii nu aveau o dovada in acest sens si nici nu-i interesa s-o obtina. Stiau ca metoda este buna si o aplicau. Pur si simplu! Totusi, noi ne putem permite sa scriem:

respectiv:

Impartirea se realiza tot prin dublare. Sa luam, de exemplu, numarul si sa-l impartim la . Construim un tabel ca la inmultire:

si ne oprim in momentul in care valoarea din tabel devine mai mare decat deimpartitul, adica la 1.040 <   < 2.080. Avem: 1.495 - 1.040 = 455; 455 - 260 = 195; 195 -130 = 65, 65 - 65 = 0, deci:  = 1.040 + 260 + 130 + 65.

Adunam multiplicatori corespunzatori:  1 + 2 + 4 + 16 = 23. Acesta este catul impartirii 1.495 : 65.

In exemplul de mai sus, 1.495 se divide cu . Cum se calculeaza in cazul in care deimpartitul nu se divide cu impartitorul? Sa consideram impartirea . Construim tabelul:

Si de data aceasta ne oprim in momentul in care valoarea din tabel devine mai mare decat deimpartitul, adica la 1.040 < 1.500 < 2.080. Adunam valorile n pentru care avem: 1.500 - 65 < n  1.500:

Diferenta 1.500 - 1.465 = 5 reprezinta restul impartirii.

Sumam multiplicatorii corespunzatori: 1 + 2 + 4 + 16 = 23. Acesta este catul impartirii. Atunci se poate scrie:

Egiptenii foloseau numai fractii cu numaratorul 1, cu exceptia a doua fractii mai des folosite: ²/₃ si ³/₄. Iata cateva exemple:

Urmatoarea problema pe care ne-o punem este cum se efectueaza inmultirea si impartirea cu fractii. Sa luam ca impartitor fractia ¹/₅. Am fi tentati sa procedam ca mai sus, prin dublarea acesteia: ¹/₅ + ¹/₅. Din motive pe care nu le discutam, egiptenii, in loc sa efectueze acest calcul ar fi adunat ¹/₃ + ¹/₁₅. Papirusul Rhind contine o tabla care permitea dublarea unor fractii de tipul ¹/_n, pentru 5 < n < 101 impar, cu numaratorul 1. Iata inceputul acestei table:

Este remarcabil de observat ca papirusul nu contine erori (apr cateva din copiere), ca termenii descompunerii sunt fractii cu numitori apropiati ca valoare si ca niciodata nu sunt mai multi de 4.

Cum rezolvau egiptenii ecuatia: ²/₃ + ¹/₁₅ + x = 1 ?

Se multiplica cu 15: 10 + 1 + y = 15. Aceasta era numita auxiliar rosu, deoarece scribul folosea cerneala rosie la scrierea ei. Solutia ei este, evident, 4.

Pentru a obtine solutia ecuatiei initiale scriem:

dublu ´ (dublu ´ ¹/₁₅)

Din tabla de mai sus observam ca dublu ´ ¹/₁₅ este suma ¹/₁₀ + ¹/₃₀, pe care dubland-o se obtine ¹/₅ + ¹/₁₅, care este solutia ecuatiei date.

Iata si o problema: O cantitate adaugata la un sfert din cantitate da 15. Cat este cantitatea ?

Problema se transcrie in limbaj modern astfel:

x + ^x / ₄ = 15

Presupunem ca x ar fi egal cu 4. Atunci x + ^x / ₄ = 5, ceea ce nu este corect. Dar 15 este de 3 ori 5. Asa ca presupunerea trebuie multiplicata cu 3. Deci, raspunsul corect este x = 12.

Mai multe probleme din papirusul Rhind folosesc in rezolvare metoda falsei ipoteze (aplicata mai sus).

Cum procedau egiptenii pentru a rezolva calculul: (1 + ¹/₃ + ¹/₅) · (30 + ¹/₃) ?  Foloseau metoda dublarii:

Penultima linie din tabel s-a obtinut astfel:

/₃ din 1 este ²/₃;

/₃ din ¹/₃ este dublul lui ¹/₉ care este ¹/₆ + ¹/₁₈;

/₃ din ¹/₅ este dublul lui ¹/₁₅ care este ¹/₁₀ + ¹/₃₀.

Acum trebuie gasite numerele din prima coloana care insumate dau 30+¹/₃. Rezultatul se obtine sumand valorile din a doua coloana. Acesta este:

O alta problema din papirusul Rhind: Un teren rotund are diametrul de 9 khet. Ce arie are ?

Solutia prezentata in papirus este urmatoarea:

Se afla ¹/₉ din diametru, adica 1; restul este 8. Inmultind 8 cu 8 ne da 64. Asa ca terenul are 64 setat.

De observat ca solutia este echivalenta cu p = 4(⁸/₉)² = 3.1605. Calculand acum, obtinem »3.160493 care difera de rezultatul obtinut de egipteni decat la a 4-a zecimala. Este un lucru remarcabil daca tinem cont de perioada in care a fost obtinut.

In papirusul din Moscova este prezentata urmatoarea problema, ilustrata in figura alaturata:

Calculul incepe cu aflarea ariei bazei mari: 4 · 4 = 16.

Se calculeaza apoi aria bazei mici: 2 · 2 = 4.

Se inmultesc latura bazei mari cu latura bazei mici: 4 · 2 = 8.

Se aduna rezultatele: 16 + 4 + 8 = 28.

Se calculeaza ¹/₃ din inaltime, adica: 2.

In final, se inmulteste ultimul rezultat cu suma calculata anterior si se obtine 56.

Aceasta problema arata ca egiptenii stiau formula volumului trunchiului de piramida. Astfel, luand a latura bazei mari, b latura bazei mici si h inaltimea, formula s-ar traduce in limbaj modern:

V = ^h/₃ · (a² + ab + b²)

Grecesc

Pana prin secolul 3 i.C., aproape fiecare republica greceasca folosea un alt sistem de notare a numerelor. Apoi, schimburile comerciale tot mai intense au dus la adoptarea unui sistem de notare preluat de la fenicieni. Totusi, diferentele intre sistemele de numeratie nu erau majore, principalul lor rol fiind legat de tranzactiile economice.

Primul de care ne vom ocupa este sistemul acrofonic folosit in mileniul 1 i.C. (Acrofonic inseamna ca notatia unui numar se face prin prima litera a numelui sau). Sistemul mai este cunoscut si sub numele de Attica, dupa regiunea din jurul Atenei in care a fost folosit. Principalele simboluri folosite erau:

In afara de caracterul I - care este o abreviere - simbol intalnit in aproape toate sistemele pentru notarea numarului (cifrei) unu, celelalte simboluri deriva din fonograme. De exemplu, simbol G este o versiune mai veche a lui P (pi), prima litera a cuvantului Penta (penta), care inseamna cinci. La fel, simbolul D este delta, prima litera a cuvantului Deka (deca), ce inseamna zece; simbolul H este eta, prima litera a cuvantului Hekaton (hecaton), ce inseamna o suta.

Ca si cel egiptean sau cel roman, primul sistem de numeratie grecesc este unul aditiv. De exemplu, pentru a afla numarul:

DDGIII

se aduna valorile individuale:

DDGIII

De observat ca nu are importanta ordinea in care sunt scrise simboluri din alcatuirea numarului. Totusi, era preferata scrierea simbolurilor in ordine descrescatoare a valorii acestora.

Pentru reprezentarea unor numere (mai ales a celor mari), este nevoie de foarte multe simboluri. De ex., pentru a scrie 9.999 se folosesc 32 de simboluri:

CCCCCCCCCHHHHHHHHHDDDDDDDDDGIIII

Nu este surprinzator ca apare un simbol pentru 5 de vreme ce baza de numeratie folosita este 10, provenind de la cele 10 degete, caci la o mana avem 5 degete. Este insa interesant ca vechii greci aveau simboluri pentru 50, 500, 5.000 si 50.000, simboluri care proveneau din combinatia simbolului pentru 5 cu simbolurile pentru 10, 100, 1.000, 10.000:

Asa cum am spus si mai inainte, existau diferente intre reprezentarile caracterelor in diferite state. Iata cateva pentru 50:

Pentru vechii greci numarul nu era o notiune abstracta, era legat de obiectele pe care le numara. Astfel, pentru a preciza o suma de 5.678 de drahme ei scriau:

in care se observa ca simbolul unitatilor este caracteristic pentru drahma.

Ca sa reprezinte 3.807, taleri scriau:

Se observa ca pentru unitati se foloseste simbolul T de la Taler.

Suma de 3.807 drahme si 5 oboli (1 obol = ¹/₆ drahme) era reprezentata astfel:

Cel de-al doilea sistem de care ne ocupam, folosit de vechii greci, este sistemul  alfabetic. In acest sistem numerele sunt reprezentate prin literele alfabetului. Acest mod de reprezentare a fost copiat de la fenicieni. De fapt, si alfabetul pentru scrierea cuvintelor fusese copiat de la ei.

Grecii aveau 24 de litere in alfabet. Au mai adaugat 3 litere scoase din uz (simbolurile pentru 6, 90 si 900: digamma, koppa si sampi):

Evident, sistemul este zecimal. Ca si sistemul acrofonic, cel alfabetic este unul aditiv. De exemplu:

FMB

Uneori, pentru a le deosebi de literele alfabetului, deasupra acestor simboluri se trasa o bara.

Doar cu aceste simboluri puteau fi reprezentate doar numere mai mici ca 1.000. Pentru numerele cuprinse intre 1,000 si 9,999 au fost create simboluri compuse din simbolurile de baza carora li se atasa litera i (iota) fie in stanga-sus, fie in stanga-jos:

 Pentru numere mai mari se scria deasupra literei M (de la Miriad) un numar cuprins intre 1 si 9.999, valoarea acestuia multiplicandu-se cu 10.000:

De multe ori, in loc sa se scrie deasupra literei M, se scria in fata acesteia:

ⁱZROEMⁱEWOE

Acest sistem le permitea grecilor sa scrie toate numerele aparute in viata de zi cu zi. Numere ca 71.755.875 erau, evident, o raritate, iar numere mai mari nu aveau de unde sa apara.

O alta modalitate de a multiplica cu zece mii valoarea unui simbol era scrierea cu doua puncte deasupra simbolului respectiv. De exemplu:

Vechii greci foloseau si fractii. Notatia era ambigua si determinarea valorii depindea in cea mai mare masura de context. Un accent plasat dupa un grup de simboluri numerice transforma grupul in inversul acestuia:

b = ¹/₂, iar mg = ¹/₄₃ dar putea sa insemne si: mg = 40¹/₃.

Spre deosebire de egipteni, grecii foloseau si fractii cu numarator mai mare ca 1:

napd

Se observa ca numaratorul este precizat cu suprabarare.

Inmultirea se realiza folosind distributivitatea:

spz · b = (s + p + z) · b ® (200 + 80 + 7) · 2 = 400 + 160 + 14 = 500 + 70 + 4 ® fod

Interesant este ca vechii greci efectuau impartirea in acelasi mod cum o efectuam si noi azi.

Roman

Inaintea romanilor, cea mai dezvoltata civilizatie din peninsula Italica a fost cea a etruscilor. Etruscii au copiat sistemul grecesc de numeratie acrofonic. Romanii au copiat sistemul de la etrusci si l-au adaptat alfabetului lor.

Sistemul de numeratie roman nu este un simplu sistem aditiv, ci unul aditiv-subtractiv.

La inceput, cifrele V, L si D lipseau.

Pentru 1.000, romanii foloseau initial o alta notatie: . Pe 10.000 il notau , iar pe 100.000 cu .

Regulile de scriere (preluate tot de la etrusci) erau:

Orice semn pus la dreapta altuia de valoare mai mare sau egala decat a lui, se aduna.

Exemplu:

XX = 10 + 10 = 20

XII = 10 + 1 + 1 = 12

Orice semn pus la stanga altuia de valoare mai mare decat a lui, se scade.

Exemplu:

IX = 10 - 1 = 9

IXC = 100 - (10 - 1) = 100 - 9 = 91

XCII = 100 - 10 + 1 + 1 = 100 - 10 + 1 + 1 = 92

Un punct de vedere propriu: Celelalte cifre romane cunoscute au aparut din nevoia de simplificare a scrierii. Interesant este ca, spre deosebire de sistemul grecesc, noile simboluri sunt si din punct de vedere grafic jumatati ale unitatilor din care provin. Simbolul X = 10, daca este taiat in doua pe linia mediana orizontala genereaza doua litere V (din care una rasturnata) avand fiecare valoarea 5; in mod analog, taindu-l pe C = 100 (sa nu uitam ca forma sa cioplita nu era rotunjita, aratand astfel ) se obtin doua litere L (din care una este rasturnata), fiecare cu valoarea 50; taind pe linia mediana verticala pe , vechiul simbol pentru 1.000, se obtin doua simboluri , foarte apropiat de litera D (din care una in oglinda), fiecare avand valoarea 500.

Sistemul de numeratie roman este foarte greu de folosit, in special la scrierea numerelor mari. Ca fapt divers: consemnarea numarului de prizonieri in urma luptei cu cartaginezii, estimat la 2.300.000, s-a facut prin repetarea semnului de 23 de ori !

Dar chiar in cazul numerelor mici scrierea poate fi destul de complicata. De exemplu, numarul 879:

879 = 800 + 70 + 9 ® DCCCLXXIX

O alta lacuna a acestui sistem de numeratie este ambiguitatea regulilor de scriere. Astfel, numarul 8 poate fi scris fie ca VIII, fie ca IIX.

 In vechiul sistem de numeratie roman (1.200 i.C.), cand au fost introduse formele substractive (ca IV = 4 sau IX = 9), era posibil sa se reprezinte orice numar mai mic decat 5.000 cu ajutorul unei serii de simboluri in care oricare nu aparea mai mult de 4 ori. De exemplu, 2.976 = MMDCCCCLXXVI.

Sistemul aditiv este foarte usor de folosit in calcule simple.

Adunarea se face in doi pasi: mai intai se scriu impreuna toate simbolurile din care sunt alcatuite cele doua numere, apoi se 'colecteaza' simbolurile de cea mai mica valoare si se inlocuiesc, daca este cazul, cu simboluri de valoare superioara:

Inmultirea se face ceva mai greu:

Scaderea si impartirea sunt ceva mai complicate, dar pot fi efectuate.

Zecimal

Este cel mai raspandit sistem de numeratie. Cifrele folosite in sistemul zecimal se numesc cifre zecimale. Asadar, cifrele sistemului zecimal sunt numerele naturale mai mici ca 10 si se noteaza in ordine, respectiv cu:

Secventa de cifre zecimale 192544, sau mai precis 192544₍₁₀₎ reprezinta numarul natural:

Abacul

Originea abacului se pierde in negura timpului. La inceput, tabla abacului era o suprafata plana pe care erau trasate linii de-a lungul carora se puteau misca o serie de pietre pentru a se executa operatii aritmetice. Foarte multe civilizatii au folosit abacul pentru realizarea calculelor aritmetice. In Europa, odata cu raspandirea cifrelor arabe si cu aparitia hartiei, majoritatea au renuntat la utilizarea lui. Se stie ca in Italia abacul a disparut in sec.16. In partea de nord a Europei, din cauza nivelului scazut de trai si a conservatorismului, abacul a ramas in uz pana in sec.18.

Avem impresia gresita ca numai cei din orient au folosit abacul, asta pentru ca in Europa a disparut de foarte multa vreme, pe cand in orient mai este folosit si azi. Dupa infrangerea lui Napoleon in campania de invadare a Rusiei (1812), unii dintre soldati s-au intors in Franta aducand ca pe o curiozitate abace rusesti. Nu stiau ca bunicii lor le folosisera in in treburile lor zilnice! Dar nu numai europenii si asiaticii au utilizat abacul, conchistadorii au gasit abace la populatiile de pe actualele teritorii ale Mexicului si Peruului

In forma sa moderna, abacul a fost inventat de chinezi prin secolul 13, de la care a fost preluat de coreeni (sec.15) si de japonezi (sec.17). Se stie ca abacul mai era inca folosit acum 250 de ani in unele zone ale Europei.

Multi dintre termenii moderni din matematica si comert provin din denumirile legate de abac. De exemplu, romanii denumeau pietrele abacului calculi; de aici provin termenul a calcula si derivatele sale calcul, calculator. In Anglia, tabla abacului era denumita, in general, counting board sau, mai simplu, counter. Fireste, fiecare comerciant avea in magazin un counter cu care facea calculul valorii marfurilor vandute. De aici provine termenul modern de contor (pl. contoare).

In Europa, abacul a fost standardizat in sec.13: o tabla pe care erau trasate linii care indicau locul de pozitionare a pietrelor de socotit. Linia de jos era linia unitatilor, urmatoarele linii aveau valoarea de 10 ori mai mare decat a liniei de dedesubt; fiecare spatiu dintre linii avea valoarea de 5 ori mai mare decat a liniei de dedesubt. Nu puteau fi puse mai mult de 4 pietre pe o linie si cel mult una pe un spatiu. Atunci cand numarul de pietre de pe o linie ar fi devenit 5, erau scoase de pe linie si pusa o piatra in spatiul de deasupra acesteia. Daca numarul de pietre de pe un spatiu ar fi devenit 2, erau luate de pe spatiu si pusa o piatra pe linia de deasupra spatiului.

Prin secolul 13 pietrele folosite pentru calcul la abac au capatat forma de moneda. Aceste piese erau cast, aruncate sau apasate pe tabla abacului. In Franta piesele acestea erau numite jetoane din verbul jeter (a arunca).

Abacul chinezesc

Prin anii 1.500 i.C., chinezii au inventat abacul. Acesta era format dintr-un cadru de lemn cu o bara orizontala care poate culisa pe verticala, impartindu-l in doua compartimente.

Pe verticala sunt fixate mai multe bare (de obicei 17) pe care pot culisa 7 bile: doua in partea de sus si cinci in cea de jos. Fiecare bila de jos are valoarea 1; fiecare bila de sus are valoarea de 5. Astfel, pe o bara poate fi reprezentat orice numar cuprins intre 1 si 15. Orice valoare mai mare ca 9 este stocata temporar, ca rezultat intermediar.

In imagine este prezentat un abac chinezesc in care este stocata valoarea 279.

Abacul japonez

La abacul japonez, pe fiecare bara verticala erau 4 bile in partea de jos si una in partea de sus. Probabil ca japonezii au adus abacului ultima perfectionare inainte de desfiintarea sa. (Abacul din imagine stocheaza numarul 279)

Poate ca nu-i lipsit de importanta ca in 1946 (!), un functionar din administratia japoneza folosea pentru calcule aritmetice un abac. S-a organizat un concurs intre acesta si un calculator electric cu probe constand in adunarea sau scaderea unor coloane lungi de numere, inmultirea unor intregi cu 5-12 cifre, impartirea unor intregi cu 5-12 cifre, rezolvarea unor probleme complexe continand toate aceste operatii. A fost batut de masina doar la unele inmultiri.

Rezumat

Sisteme de numeratie

Generalitati

Oamenii au stiut sa socoteasca inainte de a sti sa scrie. Se foloseau de degete de insemnari pe bete sau pe oase, foloseau funia cu noduri, pietricele etc. Dar scrierea si citirea numerelor permit o evaluare rapida a cantitatii de obiecte pe care o reprezinta.

In sistemele de numeratie primitive, pentru a reprezenta un numar de 5 oi se desenau prin repetitie 5 oi. Intr-o faza superioara - cea simbolica -, acelasi lucru era realizat desenandu-se o oaie urmata (precedata) de cinci semne (puncte, linii etc.). Aceasta a dus treptat la desprinderea de concret, la aparitia ideii de numar ca notiune abstracta.

Baza unui sistem de numeratie pozitional este data de numarul de elemente care formeaza alfabetul sistemului de numeratie.

De exemplu, sistemul de numeratie in baza 2 are alfabetul ; sistemul de numeratie in baza 16 are alfabetul .

In decursul timpului, in diferite zone ale globului au fost folosite sisteme de numeratie cu o varietate destul de mare de baze de numeratie: 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 60. Dar cea mai des folosita a fost baza 10, probabil ca urmare a socotitului pe degete.

Semnele folosite pentru notarea cifrelor sunt destul de variate. Modul lor de grupare pentru reprezentarea unui numar califica un sistem de numeratie ca nepozitional (aditiv, multiplicativ) sau pozitional.

Sistemele aditive

In aceste sisteme exista semne distincte (cifre) pentru fiecare grup de obiecte folosit in procesul numararii. Sistemul de numeratie egiptean este un astfel de sistem. Valoarea unui numar se obtine prin adunarea cifrelor dupa anumite reguli. De exemplu:

Sistemul de numeratie roman este un sistem aditiv-substractiv. Valoarea unui numar se obtine prin adunarea sau scaderea cifrelor dupa anumite reguli. De exemplu, XI = 11, MMCIII = 2103; IV = 4, IX = 9.

Sistemele multiplicative

Un sistem multiplicativ este acela in care pentru aflarea valorii unui numar este necesar sa se inmulteasca anumite perechi de simboluri intr-o maniera asemanatoare sistemului aditiv (sistemul de numeratie chinez).

Sistemele pozitionale

In sistemele de numeratie pozitionale, un simbol din alcatuirea unui numar (cifra) are valoare intrinseca dar si o valoare prin pozitia pe care o ocupa in numar. Aceasta implica existenta unui simbol cu valoare intrinseca nula (zero). In unele sisteme pozitionale (babilonian) in care regulile o permit, este posibil sa se renunte la acest simbol. Regulile folosite in aceste sisteme sunt mai complexe decat in cele aditive. Iata cum se scrie un numar in sistemul zecimal pozitional:

Trebuie remarcat ca cifra 3 apare de doua ori in scrierea numarului. Cand se afla pe ultimul loc, reprezinta trei obiecte; cand se afla pe antepenultimul loc, reprezinta trei sute de obiecte.

Sistemele de numeratie pozitionale folosesc acelasi sistem de reguli de reprezentare a numerelor; ele difera doar prin alfabetul pe care il utilizeaza si, implicit, prin baza.

Sisteme de numeratie pozitionale

Din cele mai vechi timpuri, s-a pus problema gasirii unor procedee de scriere a numerelor naturale care sa permita o rapida a ordinului lor de marime si elaborarea unor reguli eficiente de efectuare a operatiilor cu acestea. Adoptarea sistemului de numeratie zecimal s-a incheiat abia in secolele 16-17 si reprezinta o etapa importanta in dezvoltarea matematicii.

Un sistem de numeratie este un ansamblu de reguli prin care valorile numerice pot fi scrise prin intermediul simbolurilor, denumite numere.

Relatia de ordine introdusa pe multimeapermite aranjarea numerelor naturale intr-un sir crescator:

0 < 1 < 2 < < n < n - 1 <

Fie u un numar natural mai mare ca 1. Reprezentarea numerelor naturale in sistemul de numeratie de baza u se fundamenteaza pe cateva rezultate care sunt prezentate in continuare:

unde s-a notat cu n - 1 numarul v I, astfel incat v - 1 = n si cu n - 2 numarul w I, astfel incat w - 1 = v.

Demonstratie

Daca a < u, luam n = 0, q₀ = 0, a₀ = a si lema este adevarata.

Daca a0, fie q₀,  a₀ I, astfel incat:

Cum a0, avem q₀ > 0. Exista q₁,  a₁ I, astfel incat:

Daca q₁ = 0, lema este adevarata, cu n = 1. Astfel, exista q₂,  a₂ I, astfel incat:

si asa mai departe.

Daca q_i ą 0, din 1 < u deducem q_i < uq_iuq_i + a_i = q_i-1, deci:

a > q₀ > q₁ > > q_i-1 > q_i >

Exista n astfel incat q_n-1 ą 0 si q_n = 0. Intr-adevar, fie A = si b cel mai mic numar din A. Exista n astfel incat b = q_n-1. Cum q_n < q_n-1 = b, rezulta ca q_n-1 I A, deci q_n = 0. Asadar, 0 < q_n-1 = a_n < u.

Demonstratie

Inductie dupa n. Daca n = 0, atunci a₀ < u. Presupunand afirmatia adevarata pentru n, atunci:

Demonstratie

Sumam egalitatile din enuntul lemei 1 inmultite, respectiv, cu 1, u, u², ,  uⁿ:

a = a_nuⁿ + a_n-1u^n-1 + + a₁u¹ + a₀u⁰,

Fie, de asemenea, numerele naturale m, b_m, b_m-1, , b₀ astfel incat

a = b_mu^m + m_m-1u^m-1 + + b₁u¹ + b₀u⁰,

unde: 0 < b_m < u si 0 b_i < u pentru 0 i m.

Daca n < m, atunci n + 1 m, de unde:

_{Contradictie. Analog se exclude cazul} m < n. Ramane deci adevarat cazul n = m.

Sa aratam ca a_i = b_i, 0 i n. Daca n = 0, atunci a₀ = a = b₀. Presupunem ca n > 0 si ca afirmatia este adevarata pentru n - 1.

Cum a = a₀ + u(a_nu^n-1 + + a₁) = b₀ + u(b_nu^n-1 + + b₁), din teorema impartirii cu rest rezulta a₀ = b₀ si a_nu^n-1 + + a₁ = b_nu^n-1 + + b₁. Folosind ipoteza inductiei, din ultima egalitate deducem si ca a₁ = b₁, a₂ = b₂, , a_n = b_n.

La fiecare numar natural a > 0, asociem secventa finita unic determinata de numere naturale a_na_n-1 a₁a₀, unde a_i < u, 0 i n, a_n ¹ 0 si:

Asadar, a_na_n-1 a₁a₀   a_nuⁿ + a_n-1u^n-1 + + a₁u¹ + a₀u⁰.

Spunem ca prin corespondenta de mai sus se realizeaza scrierea numerelor naturale in sistemul de numeratie cu baza  u.

Daca u este baza sistemului de numeratie, atunci numerele naturale c < u se numesc cifrele sistemului de numeratie cu baza u.

Cel mai raspandit sistem de numeratie este cel cu baza 10, numit sistemul zecimal.

Sistemul de numeratie cu baza 2 se numeste binar. Este limbajul circuitelor electronice.

Sistemul de numeratie cu baza 16 este numit hexazecimal si este folosit in programarea calculatoarelor. Are avantajul ca este relativ apropiat de sistemul zecimal si ca numerele scrise in baza 16 pot fi foarte usor convertite in baza de numeratie 2.

Demonstratie:

Daca m < n, atunci din lema 2 rezulta ca a < u^m+1 uⁿ b, deci a < b. Presupunem ca m = n si a_t < b_t, unde t = max. Avem a_t + 1  b, deci a_t· u^t + u^t b_tu^t. Rezulta ca:

deci a < b.

Reciproc, daca a < b, atunci din prima parte a demonstratiei deducem ca m < n sau  m = n si a_t < b_t, unde t = max.

Exemple:

Daca a = 122311₍₁₀₎, b = 92197₍₁₀₎, deoarece m > n, a > b.

Daca a = 1011000₍₂₎, b = 1010111₍₂₎, deoarece m = n si pentru t = 3, a_t > b_t, rezulta ca a > b.

Demonstratie:

Fie a = c_m-1c_m-2 c₀ cel mai mare numar cu m cifre, reprezentat in baza u. Atunci:

c_i = u - 1 pentru i = 0, , m - 1;

a + 1 = 10 0_(u) , unde numarul are m + 1 cifre.

a + 1 = 1· u^m,

Conform definitiei ** ** ********

a = u^m - 1

Exemplu:

Numarul maxim care se poate reprezenta cu 4 cifre, in baza 10, este 9999, adica 10⁴ - 1.

Conversia dintr-o baza de numeratie oarecare in baza 10

Consideram sistemul de numeratie cu baza u. Un numar rational pozitiv a reprezentat in baza u prin sirul a_(u) = a_n-1u^n-2 u₀, u_-1 u_-m are, prin definitie, valoarea in baza 10:

Exemple:

Putem sa mai scriem si sub forma:

De aici se poate desprinde usor un algoritm de conversie:

Se inmulteste baza cu numarul din dreapta, se aduna rezultatul cu numarul din dreapta-sus si se scrie rezultatul pe randul de jos:

40A₍₁₆₎ = 4·16² 0·16¹ + A·16⁰ + = 1024 + 10 = 1034

Conversia din baza 10 intr-o baza de numeratie oarecare B

Pentru a trece un numar din baza 10 intr-o alta baza de numeratie uI, u > 1 se aplica algoritmul:

A.1. Se converteste partea intreaga a numarului, conform procedurii A.2. si partea fractionara a numarului conform procedurii A.3.

A.2. Se fac impartiri intregi, succesive la baza u, pornind de la numarul intreg care se converteste;

in urma fiecarei impartiri se obtine un cat si un rest;

noul cat este deimpartitul urmatoarei impartiri intregi;

algoritmul se incheie cand se obtine catul 0;

resturile obtinute, incepand cu ultimul si pana la primul, reprezinta cifrele numarului, de la cea mai semnificativa la cea mai putin semnificativa.

A.3. Se fac inmultiri succesive, cu baza u, incepand cu partea fractionara a numarului care se converteste

partea fractionara a fiecarui produs constituie deinmultitul pentru produsul urmator

partea fractionara a numarului convertit in baza u este reprezentata de succesiunea obtinuta din partile intregi ale tuturor produselor obtinute, incepand cu primul produs, care furnizeaza cifra cea mai semnificativa a rezultatului

algoritmul se incheie cu un rezultat exact atunci cand:

1. se obtine ca produs partial un intreg;

2. se obtine aproximarea dorita a numarului fractionar dupa un anumit numar de pasi.

Demonstratie

A.2. Fie a numarul intreg in baza 10 care se converteste in baza u, conform algoritmului A.2. si fie reprezentarea in baza u obtinuta prin conversie, de forma c_n-1c_n-2 c₀. Algoritmul este corect daca se termina intr-un numar finit de pasi si daca:

Notam cu a₁ catul obtinut dupa prima impartire intreaga si cu c₀ restul acestei impartiri; au loc relatiile:

c = a₀ - a₁·u, a₁ < a₀

Analog, pentru orice i = 1, , n au loc relatiile:

c_i-1 = a_i--1 - a_i·u, a_i < a_i-1

Din sirul de inegalitati a_i < a_i-1 (i = 1, , n) rezulta finitudinea algoritmului.

Fie ultimul rest, c_n-1 = a_n-1 - a_n·u, unde a_n = 0. Rezulta:

a = c₀ + a₁·u = c₀ + c₁·u + a₂·u² = = c₀·u⁰ + c₁·u¹ + c₂·u² + + a_n-1·u^n-1 =  c₀·u⁰ + c₁·u¹ +   + a_n-1·u^n-1 + a_n·uⁿ

A.3. Fie a numarul subunitar in baza 10 care se converteste in baza u conform algoritmului A.3 si fie reprezentarea in baza u, obtinuta prin conversie, de forma 0,c_-1c_-2 c_-m. Algoritmul este corect daca:

Notam cu a₁ partea fractionara a primului produs si cu c_-1 partea intreaga a acestuia. Au loc relatiile:

a ·u = c_-1 +  a₁ a₁ = c_-1·u^-1 +  a₁·u^-1

Analog, pentru orice i =1, , m au loc relatiile:

a_i-1·u = c_-i +  a_i a_i-1 = c_-i·u^-i +  a_i·u^-i

Din sirul de egalitati a_i-1 = c_-i·u^-i +  a_i·u^-i (i =1, , m), rezulta:

a = c_-1·u^-1 + c_-2·u^-2 + a₂·u^-2 = c_-1·u^-1 + c_-2·u^-2 + + a_m-1·u^-(m-1) = = c_-1·u^-1 + c_-2·u^-2 + + c_m-1·u^-(m-1) + c_-m·u^-m

Cazul 1: Daca exista un m astfel incat a_m = 0, atunci algoritmul este finit si rezultatul conversiei este exact.

Cazul 2: Este posibil ca numarului rational a₀, reprezentat in baza 10 sa ii corespunda un numar rational 0,c_-1c_-2 c_-m reprezentat in baza u printr-o fractie periodica; in acest caz, algoritmul se incheie atunci cand se determina perioada.

Exemple:

A.2. Conversia numarului 95.244 in baza 5 se obtine astfel:

Rezultatul obtinut este 95.244 = 11021434₍₅₎.

A.3. Conversia numarului 0,7109375 in baza 2 se obtine astfel:

Rezultatul conversiei este 0,1011011₍₂₎.

Conversia din baza u in baza u^k

Pentru conversia unui numar din baza u in baza u^k se aplica algoritmul urmator:

Se grupeaza cifrele numarului in baza u in grupe de cate k elemente, incepand de la marca zecimala la dreapta si la stanga;

valoarea fiecarei grupe, in baza 10, corespunde unei cifre in baza u^k;

numarul in baza u^k este format din cifrele obtinute prin conversiile de la pasul precedent.

Demonstratie:

Fie a numarul intreg, reprezentat in baza u cu m cifre de forma:

a = c_m-1c_m-2 c₀;

Se completeaza lungimea lui a la n cifre, cu n = k · p, si cu a_j = 0 pentru m - 1< j < n. Rezulta:

a = (c₀ · u⁰ + + c_k-1 · u^k-1) + u^k(c_k · u⁰ + + c_2k-1 · u^k-1) + + u^k(p-1) (c_k(p-1) · u⁰ + + c_kp-1 · u^k-1)

Notam:

b = c₀ · u⁰ + + c_k-1· u^k-1

b_p-1 = c_k(p-1) · u⁰ + + c_kp-1 · u^k-1

Pentru orice i = 0, , p - 1, b_i este valoarea zecimala corespunzatoare grupei i, de cate k cifre din alfabetul bazei  u, de forma:

c_k(i-1)  c_ki-2c_ki-1(u).

Din propozitia 2 rezulta ca b_i < u_k pentru orice i = 0, , p - 1, deci b_i < u  pentru orice i = 0, , p - 1.

Rezulta egalitatea:

a = b₀ + b₁ · u_k + b₂ · u_2k + + b_p-1 · u^k(p-1),

care confirma corectitudinea algoritmului.

Exemple:

1) Se cere sa se converteasca numarul 102001121₍₃₎ in baza 9.

Cum 9 = 3², impartim numarul in grupe de cate doua cifre:

Convertim fiecare grupa in baza 9:

Obtinem:

2) Sa se converteasca numarul 1010,01101₍₂₎ in baza 16.

Deoarece 16 = 2⁴, impartim numarul in grupe de cate 4 cifre:

1010₍₂₎ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 10 = A₍₁₆₎

Obtinem:

1010,01101₍₂₎ = A,68₍₁₆₎

Conversia din baza u^k in baza u

Pentru conversia unui numar din baza u^k in baza u se aplica algoritmul urmator:

se reprezinta fiecare cifra a numarului din baza u^k in baza u, pe o lungime de k cifre.

reprezentarea numarului in baza u se obtine prin concatenarea grupelor de cate k cifre obtinute la pasul precedent.

Demonstratie:

Fie a = c_n-1 c₀ un numar intreg in baza u^k. Rezulta:

a = c₀ + c₁·u^k + c₂·u^2k + + c_n-1·u^k(n-1);

Cum, pentru orice i  = 0, , n - 1, c_i < u^k, rezulta ca reprezentarea numarului c_i in baza u are cel mult k cifre, deci exista b_{i, k-1}, b_{i, k-2}, , b_{i, 0}, mai mici u^k, astfel incat c_i = b_i,0·u⁰ + + b_i,k-1·u^k-1. Obtinem succesiv:

a = (b_0,0·u⁰ + + b_0,k-1·u^k-1) + (b_1,0·u⁰ + + b_1,k-1·u^k-1)·u^k + + (b_n-1,0·u⁰ + + b_n-1,k-1·u^k-1)·u^k(n-1)

a = (b_0,0·u⁰ + + b_0,k-1·u^k-1) + (b_1,0·u^k + + b_1,k-1·u^2k-1) + + (b_n-1,0·u^kn-k + + b_n-1,k-1·u^kn-1)

Notand c_ij cu d_ki+j, obtinem:

a = d₀· u⁰ + d₁· u¹ + + d_kn-1· u^kn-1,

reprezentarea numarului a in baza u.

Exemplu:

Sa convertim numarul A,68₍₁₆₎ in baza 2. Observam ca 16 = 2⁴, deci vom reprezenta fiecare cifra a sa pe cate 4 cifre binare:

A₍₁₆₎ = 10 = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 1010₍₂₎

Obtinem:

A,68₍₁₆₎ = 1010,0110 1000₍₂₎ = 1010,01101₍₂₎