Sume Riemann

INTEGRALE DEFINITE

SUME RIEMANN

Definitie: Se da colectia de obiecte:

[a,b] - interval inchis

D- diviziune a intervalului [a,b]

D = (a=x₀<x₁<x₂<.<x_n=b)

f:[a,b] R

x_I - un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul [a,b]

x_I I [x_i-1,x_i]

Numim suma Riemann atasata functiei f, diviziunii D si sistemului de puncte intermedi-are x_I numarul notat:

n

s_D(f,x_i) = S f(x_i)*(x_i-x_i-1)

i=1

INTEGRALE IN SENS RIEMANN

Definitie: Se da f:[a,b] R. Spunem ca functia f este integrabila in sens Riemann daca i_f I R a.i. e>0, h_e>0 cu proprietatea ca D o diviziune a intervalului [a,b] si (x_i) un sistem de puncte intermediare, x_i I [x_i-1,x_i] cu ||D||<h_e sa avem |s_D(f,x_i) - i_f |<e.

i_f - se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a,b]

b

notez: i_f = f(x)*dx.

a

b

Obs:

1) Numarul real i_f este unic; f(x)*dx este unica.

a

Demonstratie:

P.p.a. ca i₁ i₂ care verifica conditiile din definitie, atunci pentru e>0 h_k,e>0 (k=1,2) astfel incat pentru orice diviziune:

D=(x₀,x₁,.,x_n) a lui [a,b] cu ||D|| < h_e si orice puncte intermediare x_i-1 x_i x_i (1 i n) sa avem:

|s_D(f,x)-i_k|<e/2 (k=1,2).

Luand h_e = min(h_1,e , h_2,e) rezulta ca pentru orice diviziune D a lui [a,b] cu ||D||<h_e si orice sistem (x_i) de puncte intermediare asociat lui D, avem:

|s_D(f,x)-i₁| < e/2 si |s_D(f,x)-i₂| < e/2,

deci: |i₁- i₂| < |i₁- s_D(f,x)| + |s_D(f,x)-i₂| < e/2+e/2 = e.

Cum e > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i₁=i₂; dar din ipoteza i₁ i₂ T contradictie.

Deci i_f este unic.

2) f:[a,b] R

f - integrabila in sens Riemann pe [a,b] T f marginita pe [a,b]

Demonstratie:

f - integrabila pe [a,b] T i_f I R a.i. D o diviziune a lui [a,b] si e>0, h_e>0 pentru care ||D||<h_e T |s_D(f,x_i) - i_f |<e x_i un sistem de puncte intemediare.

Arat ca f este marginita pe [x_k-1,x_k]

x, i k

Fie x_i=

ix_i, i=k

n n

s_D(f,x_i) = S f(x_i)*(x_i-x_i-1) = S f(x_i)*(x_i-x_i-1) + f(x)*(x_k-x_k-1)

i=1 i=1

i k

|s_D(f,x_i) - i_f | < e

-e < s_D(f,x_i) - i_f < e /+ i_f

-e + i_f < s_D(f,x_i) < e + i_f

n

-e + i_f < S f(x_i)*(x_i-x_i-1) + f(x)*(x_k-x_k-1) < e + i_f

i=1

i k

1/(x_k-x_k-1)*[ - e + i_f - S f(x_i)*(x_i-x_i-1)] < f(x) < 1/(x_k-x_k-1)*[ - e + i_f - S f(x_i)*(x_i-x_i-1)]

[ ] [ ]

M₁ M₂

M₁< f(x) < M₂

T f - marginita pe [x_k-1,x_k] k I T f - marginita pe [a,b]

3) f,g:[a,b] R

A [a,b]

A finita, cu proprietea:

i)            g integrabila pe [a,b]

ii)          f(x)=g(x) xI[a,b]A

atunci: a) f - integrabila pe [a,b]

b b

b) g(x)*dx = f(x)*dx

a a

Demonstratie:

Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A=.

Functia g fiind integrabila, este marginita, deci M₁ 0 astfel incat:

|g(x)| M₁ xI[a,b]

Luand M = max( M₁, |f(c)| ) T f(x) M si g(x) M       xI[a,b].

g - integrabila e > 0, h'_e > 0 a.i.:

b

| s_D(g,x_i) - g(x)*dx | < e/2

a

D = (x₀, x₁,.,x_n), cu ||D|| < h'_e si sistemul de puncte intermediare x_i.

Luand h_e = min (h'_e, e/(8*M) ), avem h_e h_e si 4*M*h_e e/2.

Daca c este un punct al diviziunii D, atunci 0 i n astfel incat c = x_j. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele x_j sau x_j+1. Deci tinand seama de faptul ca f(x) = g(x) x c, obtinem:

| s_D(g,x_i) - s_D(f,x_i) | = | S ( g(x_i) - f(x_i) )*( x_i - x_i-1 )| | g(x_j) - f(x_j)|*(x_j - x_j-1) + | g(x_j+1) - - f(x_j+1)|*(x_j+1 - x_j) 4*M*||D|| < 4*M*h_e < e/2

Daca c nu este punct al diviziunii D, atunci c este continut intr-un interval deschis

(x_k-1,x_k). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul x_k, prin urmare:

| s_D(g,x_i) - s_D(f,x_i) | = | S ( g(x_i) - f(x_i) )*( x_i - x_i-1 )| | g(x_k) - f(x_k)|*(x_k - x_k-1) 2*M*||D|| 2*M*h_e < e/2

Din analiza facuta pana acum rezulta ca:

| s_D(g,x_i) - s_D(f,x_i) | < e/2

Din 1) si 2) obtinem:

b

| s_D(f,x_i) - g(x)*dx | < e

a

b b

adica f este integrabila si: f(x)*dx = g(x)*dx.

a a

EXEMPLE:

f:[a,b] R

f(x) = k

a

T f - integrabila si k*dx = k*(b-a)

b

i_f = k*(b-a) a.i. e > 0 h_e > 0 cu proprietatea ca D= (x₀=a<x₁<.<x_n=b) si

x_i I[x_i-1,x_i], ||D||<h_e T |s_D(f,x_i) - i_f |<e

s_D(f,x_i) = S f(x_i)*(x_i-x_i-1) = S k(x_i-x_i-1) = k*S (x_i-x_i-1) = k(x₁-x₀+x₂-x₁+.+x_n-x_n-1) =

= k*(x_n - x₀) = k*(b-a)

|s_D(f,x_i) - i_f | = |k*(b-a) - k*(b-a)| = 0 < e e>0.

f,g:[a,b] R

1, pentru xIQ -1, pentru xIQ

f(x) = g(x) =

i-1, pentru xIRQ i 1, pentru xIRQ

f,g - nu sunt integrabile

Demonstratie pentru f(x) :

Fie D= (a=x₀<x₁<.<x_n=b), avem:

S 1*(x_i - x_i-1) = b-a, pentru x_i I Q

s_D(f,x) =

iS (-1)*(x_i - x_i-1) = a-b, pentru x_i I RQ

Cum limita sumelor integrale depinde de alegerea punctelor x_i, functia nu este integrabila.

Demonstratia se face analog pentru g(x).

Desi f,g nu sunt integrabile functiile:

(f+g)(x) = 0 xI[a,b]

(f*g)(x) = -1 xI[a,b]

(f^og)(x) = 1 xI[a,b]

sunt integrabile ca fiind functii constante.

Sa se cerceteze integrabilitatea functiei:

0, daca x este irational sau x = 0

G(x) =

i 1/q, daca x = p/q, p/q fractie ireductibila

Rezolvare: Functia este integrabila pe segmentul [0,1]. Intr-adevar fie N un numar ales arbi-trar. Sa consideram multimea tuturor punctelor rationale din intervalul [0,1] avand numitorul mai mic decat N. Exista un numar finit de astfel de puncte, fie acesta k. Fie D o diviziune arbi-trara a segmentului [0,1]. Exista cel mult 2k intervale partiale (pe care le notam d₁',d₂',.,d_2k') care sa contina cele k puncte considerate anterior. Fiind dat e>0, vom alege di-viziunea in asa fel incat suma lungimilor celor 2k intervale sa fie inferioara numarului e/2. Aceasta se poate realiza alegand norma diviziunii suficeint de mica. Notam d₁", d₂",. d_2m" celelalte intervale partiale ale diviziunii. Intervalele d_i^" (i = 1, 2, ., m) contin, in afara de puncte irationale in care valoarea functiei este 0, puncte rationale de forma x = p/q, q>N, si astfel ca G(p/q) = =1/q<1/N. Deci :

2k m

S_d(G) - s_d(G) = S (M_i' - m_i')s_i' + S (M_i" - m_i")s_i"

i=1 i=1

Am notat cu M_i', respectiv m_i' marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul d_i' si cu M_i", respectiv m_i" marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul d_i", s_i' este lungimea lui d_i', iar s_i" este lungimea lui d_i".

Deoarece M_i' - m_i'<1, m_i" = 0, M_i"<1/N, i, avem

2k                               m

S_d(G) - s_d(G) < S s_i' + (1/N)*S s_i" < e/2 + 1/N.

i=1       i=1

Daca N > 2/e, atunci 1/N < e/2 si S_d(G) - s_d(G) < e.

Putem calcula efectiv valoarea integralei. Deoarece in orice interval valoarea minima a

1

functiei este 0, avem s_d(G) = 0, D; rezulta I = G(x)dx = 0. Datorita integrabilitatii functiei

0

G, avem :

1

G(x)dx = 0.

0

Integrabilitatea functiei se mai putea stabili tinand seama de faptul ca multimea puncte-lor ei de discontinuitate este multimea numerelor rationale care este numarabila, deci neglija-bila.