Subgrup

Definitie

Fie (G, ) un grup.

O submultime nevida H a lui G se numeste subgrup a lui G daca sunt satisfacute urmatoarele conditii :

x,y I H => x y IH

x I H =>x' I H

unde x' este simetricul lui x (in raport cu operatia lui G

Teorema

Fie (G, ) un grup, e elementul neutru a lui G si H un subgrup al lui G.Atunci

1. e I H

2. H este grup in raport cu operatia indusa pe H de catre operatia grupului   

G.

Demonstratie

1.H G => lege de compozitie interna pe H

i. x,y I H => x y IH

2i.   x I H =>x' I H

=>x x' I H

dar x x'=e =>eIH

:H H op.indusa

H parte stabila a lui G

(G, ) un grup => asociativa pe G => asociativa pe H

e I H              a.i x e=e x =x xIH

xIH , x' I H a.i. x x'=x x =e

=>H=Grup

Exemple

1.Fie (G, ) un grup, e elementul neutru si E=.Atunci E este subgrup al lui G ,numit subgrup unitate.

Daca x,z IE =>x=y=e deci

x y=y x=eIE

x'=e'=eIE

2.Fie n>=0 un numar intreg si nZ multimea tuturor multiplilor lui n,

nZ=

Atunci nZ este subgrup al grupului (Z,+).

Adevarat : daca x,y InZ h,k I Z a.i. x=nh ,y=nk

=>x+y=nh+nk=n(h+k) InZ

-x= -(nh)=n(-h) I nZ

deci nZ este subgrup al lui (Z,+)

Definitie

Fie (G, ) un grup ,a IG si n>0.Spunem ca a este element de ordinul n al grupului G daca aⁿ =e si a^h e,h=1,2 .n-1