Integrarea

Integrarea diferentialelor binome

Substitutile lui Cebisev

Calculul primitivelor de forma:

unde si .

Dacasau sau, atunci calculul primitivelor date se reduce la calculul primitivei dintr-o functie rationala .

Intr-adevar , cu substitutia , avem , deci

.

Cazul 1.

Sa punem unde .Atunci substitutia

ne da ,deci

unde este functie rationala deoarece .

Cazul 2.

Sa punem , unde .Atunci substitutia ,ne da ,deci

unde este functie rationala deoarece .

Cazul 3.

Evident avem

Sa punem , unde . Atunci substitutia , ne da ,deci

unde este functie rationala deoarece .

Concluzie.

Prin urmare substitutile urmatoare :

, daca , unde ;

, daca , unde ;

, daca , unde ,

reduc calculul primitivei la calculul primitivei dintr-o functie rationala .

Observatie.

Cebisev a aratat ca daca , si ,atunci primitiva data nu se poate reduce la primitiva dintr-o functie rationala . Calculul primitivei nu poate fi facut atunci prin mijloace elementare .

Exemplul 1.

Sa se calculeze primitiva .

Avem , deci suntem in cazul 1.

Cum facem substitutia

, deci si deci

Exemplul 2.

Sa se calculeze primitiva

Avem si deci suntem in cazul 2.

Facem substitutia .Atunci , de unde obtinem :

Exemplul 3.

Sa se calculeze primitiva

Avem , si ,deci si deci suntem in cazul 3. Facem substitutia . Atunci , de unde obtinem :

Exemplul 4.

Sa se calculeze primitiva

Avem functia F=

unde

Facem substitutia

si obtinem :

Exemplul 5.

Sa se calculeze primitiva

Avem 

Facem substitutia

si obtinem

Exemplul 6.

Se se calculeze primitiva

Avem , deci suntem in cazul 1.

Consideram , unde

si obtinem