INTRODUCERE

Trigonomertia sferica este disciplina matematica care se ocupa de rezolvarea triunghiurilor formate pe suprafata unei sfere din arce de cercuri mari.

Trigonometria sferica are o mare importanta teoretica si practica si si se aplica pe scara mare in astronomie, in geodezia superioara, incartografie, in cristalografie, in geometria miniera, in teoria instrumentelor si in alte stiinte, atunci cand, pentru studiul pozitiei relative in spatiu a unor puncte, linii si plane, se recurge la o sfera ajutatoare.

GEOMETRIA SFERICA

Cercuri pe sfera

Se numeste suprafata sferica, sau sfera, locul geometric al punctelor din spatiu egal departate de un punct fix O - centrul acestei suprafete. Spatiul marginit de suprafata unei sfere se numeste tot sfera. Suprafata sferei poate fi definita ca si suprafata produsa prin rotatia unui semicerc in jurul diametrului sau. Segmentul de dreapta care uneste centrul sferei cu orice punct de pe suprafata ei se numeste raza R a sferei, iar segmentul de dreapta, care unind doua puncte de pe suprafata sferei trece si prin centrul ei, se numeste diametru; evident, razele aceleiasi sfere sunt egale intre ele, iar un diametru este egal cu doua raze.

La baza geometriei sferice stau urmatoarele teoreme:

Teorema 1: Sectiunea unei sfere cu un plan oarecare este un cerc.

Teorema 2: Cercurile mari impart sfera si suprafata ei in doua parti egale.

Teorema 3: Prin doua puncte date pe suprafata unei sfere, daca acestea nu sunt asezate la extremitatile aceluiasi diametru, se poate duce un cerc mare si numai unul.

Teorema 4: Intersectia planelor a doua cercuri mari este un diametru al lor si le imparte in doua parti egale.

Teorema 5: Cea mai scurta distanta pe sfera intre doua puncte de pe suprafata ei este un arc de cerc mare mai mic de 180°.

Axa, polii, polarele , unghiurile sferice si masurarea lor

Diametrul sferei, perpendicular pe planul unui cerc oarecare dat pe acea sfera, se numeste axa acestui cerc. Axa intalneste suprafata sferei in doua puncte opuse P si P numite poli (fig. 1). Polul se mai numeste si centrul sferic al arcelor de cerc mic. Lungimile arcelor PB, PB etc. se numesc raze sferice; daca raza sferica este egela cu 90°, atunci arcul de cerc mare se numeste polara punctelor P si P .

Fig. 1

Ungiul sferic. Unghiurile P si P (fig. 1), sub care se intretaie arcele de cerc mare, se numesc unghiuri sferice. Punctele de intersectie ale arcelor se numesc varfurile, iar arcele, laturile unghiului sferic. La fel ca unghiurile plane, unghiurile sferic pot fi ascutite, drepte si obtuse si pot avea valori de la 0 la 360°.

Reprezentarea sferei pe un plan. Retele stereografice

Se numeste proiectia (perspectiva) punctului M (fig. 2) pe planul de proiectie K, punctual M in care raza OM, care trece prin punctual de unde privim O si prin punctual proiecteat M, interscteaza planul K.

Daca punctul de unde proiectam este situat pe suprafata sferi, atunci proiectia in perspectiva se numeste stereografica (fig. 3).

Locul geometric al punctelor care au aceeasi coordonata se numeste linie de coordonate. Liniile de coordonate care au aceeasi longitudine se numesc meridiane, iar liniile de coordonate care au aceeasi latitudine se numesc paralele. Ansamblul acestor doua feluri de linii de coordonate se numeste retea de coordonate pe sfera, iar reprezentarea ei in plan, intr-o proiectie data, se numeste retea cartografica.

Fig. 2

Fig. 3

Figuri pe sfera. Fusul sferic. Triunghiul sferic. Triunghiul sferic. Triunghiuri polare si simetrice

Fus sferic. Partea din suprafata sferei cuprinsa intre doua semicercuri care au acelasi diametru, se numeste fus sferic; evident, fusul sferic pate fi considerat drept suprafata de rotatie a unui semicerc, cand acesta se roteste in jurul diametrului sau cu un unghi oarecare α.

Triunghiul sferic. Figura de pe suprafata sferei formata din trei arce de cerc mare care se intretaie in trei puncte, se numeste triunghi sferic. Elementele triunghiului sferic sunt: trei unghiuri, fiecare in parte mai mic de 180°, si trei laturi; daca laturile sunt mai mici decat 2d (d = 90°), atunci triunghiul se numeste triunghi al lui Euler; triunghiurile care au laturile mai mari decat 2d, se numesc triunghiuri Moebius Study. Triunghiurile sferice pot fi isosceles, echilaterale, dreptunghice sau oarecare.

Triunghiurile sferice dreptunghice pot avea unul, doua sau trei unghiuri drepte, iar triunghiurile sferice oarecare pot avea unul doua sau trei unghiur obtuze. Daca intr-un triunghi sferic, cel putin o latura este egala cu un sfert din cerc, atunci triunghiul se numeste cuadrantic.

Triunghiuri polare. Daca in triunghiul sferic ABC (fig. 4) consideram varfurile ca poli si descriem, cu raze sferice egal cu 90°, polarele unui varf, atunci aceste polare, intretaindu-se doua cate doua, vor da un nou triunghi sferic A'B'C', numit triunghi polar sau suplinentar triunghiului dat.

Triunghiul simetric. Daca din varfurile triunghiului sferic ABC ducem reze la centru si le prelungim pana la intersectia cu suprafata sfferei, in punctele A, B, C, atunci, unind doua cate doua punctele obtinute prin arce de cerc mare, obtinem un triunghi sferic opus celui dintai, care se numeste triunghi simetric triunghiului dat (fig. 5).

Fig. 4 Fig. 5

Proprietatile triunghiului sferic polar

Relatiile dintre un tringhi sferic dat si triunghiul lui polar

Un triunghi dat si triunghiul lui polar dunt reciproc polare, adica:

a)     varfurile triunghiului dat sunt polii laturilor triunghiului polar si

b)     varfurile triunghiului polar sunt polii laturilor triunghiului dat.

Suma unui unghi al unui triunghi sferic dat si a laturii corespunzatoare lui din triunghiul polar este ehala cu 180°.

Suma unui unghi al triunghiului polar si a laturii corespunzatoare lui din triunghiul dat este egal cu 180°.

Proprietatile unghiurilor triunghiului sferic

In orice triunghi sferic, suma unghiurilor este intotdeauna mai mica decat 6d si mai mare decat 2d (doua drepte).

Intr-un triunghi sferic, suma a doua unghiuri din care se scade al terilea, este intotdeaun mai mica decat 2d.

Unghiul exterior al unui triunghi sferic este mai mic decat suma celor doua unghiuri interioare nealaturate, dar mai mare decat diferenta lor.

Egalitatea triunghiurilor sferice

Doua triunghiuri sferice, situate pe aceeasi sfera sau pe doua sfere diferite dar de aceeasi raza, sunt egale, daca au:

cate doua laturi si unghiul cuprins intre ele egale;

cate o latura si cele doua unghiuri alaturate, egale;

cate trei laturi egale;

cate trei unghiuri egale.

Proprietatile laturilor si unghiurilor triunghiurilor sferice

Laturilor egale, intr-un triunghi sferic, li se opun unghiuri egale, si reciproc.

In orice triunghi sferic, unghiului mai mare i se opune latura mai mare, si reciproc.

Cercul inscris si cercul circumscris

Bisectoarele AO, BO, CO, ale triunghiului sferic se intretaie in centrul cercului mic inscris in triunghi (fig. 6).

Mediatoarele triunghiului sferic se intretaie in centrul cercului mic circumscris triunghiului (fig. 7).

Fig. 6                                                          Fig. 7