I.INTRODUCERE
In cadrul complexului de obiective pe care le implica predarea-invatarea matematicii in ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezinta o activitate de profunzime, cu caracter de analiza si sinteza superioara. Ea imbina eforturile mintale de intelegere a celor invatate si aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stapanirii unui repertoriu de cunostinte matematice solide (notiuni, definitii, reguli, tehnici de calcul), precum si deprinderi de aplicare a acestora.
Valoarea formativa a rezolvarilor de probleme sporeste pentru ca participarea si mobilizarea intelectuala a elevilor la o astfel de activitate este superioara altor demersuri matematice, elevii fiind pusi in situatia de a descoperii ei insisi modalitatile de rezolvare si solutia, sa formuleze ipoteze si apoi sa le verifice, sa faca asociatii de idei si corelatii inedite, etc.
Rezolvarea problemelor pune la incercare in cel mai inalt grad capacitatile intelectuale ale elevilor, le solicita acestora toate disponibilitatile psihice, in special inteligenta.
Notiunea de problema are un continut larg si cuprinde o gamalarga de preocupari si actiuni din domenii diferite.
In sens psihologic,''o problema ''este orice situatie, dificultate, obstacol intampinat de gandire in activitatea practica sau teoretica pentru care nu exista un raspuns gata formulat.
In general, orice chestiune de natura practica sau teoretica care reclama o solutionare , o rezolvare, poarta numele de problema.
Referindu-ne la matematica, prin problema se intelege o situatie a carei solutionare se poate obtine esential prin procese de gandire si calcul.Problema de matematica reprezinta transpunerea unei situatii practice sau unui complex de situatii practice in relatii cantitative si in care pe baza valorilor numerice date si aflate intr-o anumita dependenta unele fata de altele si fata de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.
In activitatea teoretica si practica omul intalneste atit situatii identice , in a caror rezolvare aplica metode si procedee standardizate de tip algoritmic, dar si situatii noi pentru care nu gaseste solutii in experienta dobandita sau intre mijloacele deja invatate.Cind situatia poate fi rezolvata pe baza cunostintelor sau deprinderilor anterior formate, deci a unor solutii existente in experienta castigata, elevul nu mai este confruntat cu o problema noua.In cazul situatiilor-problema este nevoie de explorarea situatiei prin aplicarea creatoare a cunostintelor si tehnicilor de care dispune rezolvitorul in momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicatiei ascunse, a necunoscutei, a elaborarii rationale a solutiei.
Rezolvarea problemelor de matematica contribue la clarifi- carea, aprofundarea si fixarea cunostintelor invatate la acest obiect de studiu.In acelasi timp, explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme in cadrul carora se subliniaza o proprietate, definitie sau regula ce urmeaza a fi invatate.
Prin rezolvarea problemelor de matematica elevii isi formeaza deprinderi eficiente de munca intelectuala, care se vor reflecta pozitiv si instudiul altor discipline de invatamant, isi educa si cultiva calitatile moral-volitive.In acelasi timp, activitatile matematice de rezolvare si compunere a problemelor contribuie la imbogatirea orizontului de cultura generala al elevilor prin utilizarea in continutul problemelor a unor cunostinte pe care nu le studiaza la alte discipline de invatamant. Este cazul informatiilor legate de distanta, viteza, timp, pret de cost, cantitate, dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen etc.
Problemele de aritmetica, fiind legate cel mai adesea prin insasi enuntul lor de viata, de practica, dar si prin rezolvarea lor, genereaza la elevi un simt al realitatii de tip matematic, formandu-le deprinderea de a rezolva si alte probleme practice pe care viata le pune in fata lor. Rezolvarea sistematica a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi si atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva in mod independent probleme, de a compune ei insisi probleme .
II.ETAPELE REZOLVARII
PROBLEMELOR
Introducerea elevilor in activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenandu-i in depunerea de eforturi marite pe masura ce inainteaza in studiu si pe masura ce experienta lor rezolutiva se imbogateste.Varietatea si complexitatea problemelor pe care le rezolva elevii sporeste efortul mintal si eficienta firmativa a activitatii de rezolvare a problemelor.Trebuie sa delimitam insa doua situatii in rezolvarea problemelor, situatii care solicita in mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor :
a-Cand elevul are de rezolvat o problema asemanatoare cu cele rezolvate anterior sau o problema-tip (care se rezolva prin aceeasi metoda comuna tuturor problemelor de tip respectiv).In acest caz elevul este solicitat sa recunoasca tipul de problema carui ii apartine problema data.Prin rezolvarea unor probleme care se incadreaza in aceeasi categorie, avand acelasi mod de organizare a judecatilor, acelasi rationament, in mintea elevilor se fixeaza principiul de rezolvare a problemei, schema mintala de rezolvare.In cazul problemelor tipice, aceasta schema se fixeaza ca un algoritm de calcul, algoritmul de rezolvare a problemei.
b-In cazul cand elevul intalneste probleme noi,necunoscute, unde nu mai poate aplica o schema mintala cunoscuta, gandirea sa este solicitata in gasirea caii de rezolvare ; experienta si cunostintele de rezolvare,desi prezente, nu mai sunt orientate si mobilizate spre determinarea categoriei de probleme si spre aplicarea algoritmului de rezolvare.Elevul trebuie ca, pe baza datelor si a conditiei problemei, sa descopere drumul spre aflarea necunoscutei. In felul acesta el realizeaza un act de creatie, care consta in restructurarea datelor propriei sale experiente si care este favorizat de nivelul flexibilitatii gandirii sale, de capacitatea sa combinatorica si anticipativa. In rezolvarea unei probleme, lucrul cel mai important este construirea rationamentului de rezolvare, adica a acelui sir de judecati orientate catre descoperirea necunoscutei.
Rezolvarea oricarei probleme trece prin mai multe etape .In fiecare din aceste etape, datele problemei apar in combinatii noi, reorganiza rea lor la diferite nivele ducand catre solutia problemei. E vorba de un permanent proces de analiza si sinteza ( prin care se separa si reconstituie , se desprinde si construieste rationamentul care conduce la solutia problemei), de o imbinare aparte a analizei cu sinteza, caracterizata prin aceea ca diferitele elemente luate in consideratie isi dezvaluie mereu noi aspecte (analiza) in functie de combinatiile in care sunt plasate (sinteza ).
Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea siformularea unor ipoteze si verificarea lor. Dar formularea acestor ipoteze nu este rezultatul unei simple inspiratii, ci presupune atat un fond de cunostinte in rezolvarea problemelor, cat si o gama variata de deprinderi si abilitati intelectuale necesare in procesul rezolvarii problemelor.Diferitele ipoteze (enunturi ipotetice care ne vin in minte in legatura cu problema pusa)nu apare la intamplare.Ele iau nastere pe baza asociatiilor, pe baza cunostintelor asimilate anterior.Cu cat aceste cunostinte sunt mai largi si mai profunde, cu atat sunt mai mari sansele ca ipotezele care se nasc in mintea rezolvitorului sa il conduca mai repede la o solutie, cu cat fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat, cu atat alegerea este mai buna.De aceea in ori-
ce domeniu, capacitatea de a rezolva probleme complexe este conditionata de o solida pregatire de specialitate, dar si de cultura generala.
In rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici, proce- dee, moduri de actiune, deprinderi si abilitati de munca intelectuala independenta. Astfel sunt necesare unele deprinderi si abilitati cu caracter mai general cum sunt : orientarea activitatii mintale asupra datelor problemei,punerea in legatura logica a datelor, capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunostinte care ar putea servi la rezolvarea problemei pre- cum si unele deprinderi specifice referitoare la detaliilor actiunii (cum sant cele de genul deprinderilor de calcul).
Cu toata varietatea lor, problemele de matematica nu sunt independente, izolate,ci fiecare problema se incadreaza intr-o anumita categorie.
Prin rezolvarea unor probleme care se incadreaza in aceeasi categorie,avand acelasi mod de organizare a judecatilor,deci acelasi rationament,in mintea copiilor se contureaza schema mintala de rezol-vare, ce se fixeaza ca un algoritm sau semialgoritm de lucru, care se invata, se transfera si se aplica la fel ca regulile de calcul.
Aflarea caii de rezolvare a unei probleme este mult mai usu- rata in cazul in care se poate subsuma problema noua unei catego- rii, unui tip determinat de probleme, deja cunoscute.Dar aceasta sub- sumare se poate face corect numai daca au fost intelese particularita- tile tipice ale categoriei respective, rationamentul rezolvarii ei, daca se descopera si recunoaste in orice conditii concrete s-ar prezenta problema (domeniul la care se refera, marimea si natura datelor etc.).
De o mare importanta in rezolvarea problemelor este intele- gerea structurii problemei si a logicii rezolvarii ei.Pentru a ajunge la generalizarea rationamentului comun unei categorii de probleme, tre- buie sa fie formate capacitatile de a analiza si de a intelege datele problemei, de a sesiza conditia problemei si de a orienta logic sirul de judecati catre intrebarea problemei.
Cand se rezolva o problema compusa, aparent se rezolva pe rand mai multe probleme simple. In esenta, nu este vorba de proble- me simple care se rezolva izolat. Acestea fac parte din structura problemei compuse, rezolvarea fiecareia dintre ele facandu-se in directia aflarii necunoscutei, fiecare problema simpla rezolvata reprezentand un pas inainte, o veriga pe calea rationamentului proble- mei compuse, de natura sa reduca treptat numarul datelor necunoscute.
Sa luam drept exemplu problema : « O gospodina a cumparat 3kg de zahar a 14 000 lei kilogramul si 2l de ulei a 18 000 lei litrul. Ce rest a primit de la 100 000 lei ? »
3kg..14 000lei/kg...2l...18 000lei/l...100 000lei.. ?
Dupa rezolvarea primei probleme simple ( a cumparat 3kg de zahar a 14 000 lei kg, cat costa zaharul ?), problema se reformuleaza astfel:
« O gospodina a cumparat zahar de 42 000 lei si 2l de ulei a 18 000 lei litrul.Ce rest a primit de la 100 000 lei ? »
42 000 lei..2l....18 000lei/ l....100 000 lei.. ?
Dupa rezolvarea celei de a doua probleme simple ( a cumparat 2 litri de ulei a 18 000 lei litrul, cat costa uleiul ? ), problema se reformuleaza astfel :
« O gospodina a cumparat zahar de 42 000 lei si ulei de 36 000 lei. Ce rest a primit de la 100 000 lei ? « ,problema se reformuleaza, in final, ca o problema simpla :"O gospodina a cumparat zahar si ulei de 78 000 lei.
Ce rest a primit de la 100 000 lei ? »
78 000 lei.....100 000 lei.... ?
Schematic, procesul de reformulare a problemei si de reducere treptata a datelor necunoscute s-ar prezenta astfel :
3kg...14000lei/kg....2l..18000lei/l.....100000lei ?
42 000lei.........2l....18 000lei/l..100 000lei ?
42 000lei..........36 000lei.....100 000lei?
78 000 lei...........100 000lei ?
In activitatea de rezolvarea a unei probleme se parcurg mai multe etape.In fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei, pe baza activitatii de orientare a rezolvitorului pe drumul si in directia solutiei problemei.
Aceste etape sunt :
A-Cunoasterea enuntului problemei
B-Intelegerea enuntului problemei
C-Analiza problemei si intocmirea planului logic
D-Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii judecatilor din planul logic
E-Activitati suplimentare :
- verificarea rezultatului
- scrierea sub forma de exercitiu
- gasirea altei cai sau metode de rezolvare
- compunerea de probleme dupa o schema asemanatoare etc.
A-Cunoasterea enuntului problemei
Este etapa de inceput in rezolvarea oricarei probleme. Rezolvitorul trebuie sa afle care sunt datele problemei, cum se leaga intre ele, care este necunoscuta problemei.
B-Intelegerea enuntului problemei
Nu este posibil ca elevul sa formuleze ipoteze si sa con- struiasca rationamentul rezolvarii problemei decat in masura in care cunoaste termenii in care se pune problema. Enuntul problemei contine un minim necesar de informatii.Datele si conditia problemei reprezinta termenii de orientare a ideilor, a analizei si sintezei, precum si a generalizarilor ce se fac treptat pe masura ce se inainteaza spre solutie.Intrebarea problemei indica directia in care trebuie sa se orienteze formularea ipotezelor.Acest minim de informatii trebuie re- ceptionat in mod optimal de catre elevi princitirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu actiuni cand este cazul.
De exemplu, problema : « Intr-o tabara au fost in prima serie 208 elevi iar in seria a doua cu 250 de elevi mai multi decat in prima serie. Cati copii au fost in ambele serii ?
Prin discutii cu elevii,trebuie retinute elementele matematice importante: datele problemei, relatiile dintre date, intrebarea proble- mei.Nereceptionarea corecta a enuntului problemei genereaza multe dificultati in activitatea de rezolvare,cum ar fi :schimbarea sensului unor date(in loc de « mai mult cu 250 de copii » in seria a doua unii elevi retin ca « au fost 250 de elevi »), neglijarea unor date, luarea in consideratie a unor numere care nu au functie de « date » ale problemei etc.
C-Analiza problemei si intocmirea planului logic
Este etapa in care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semni- ficatie matematica si se elaboreaza reprezentarea matematica a enuntului problemei.
Aceasta este faza in care se « construieste »rationamentul prin care se rezolva problema, adica drumul de legatura intre datele problemei si necunoscuta.
Prin exercitiile de analiza a datelor, a semnificatiei lor, a relatiilor dintre ele si a celor dintre date si necunoscute se ajunge sa ne ridicam de la situatiile concrete pe care le prezinta problema (« a parcurs... kilometri », « a cumparat.kilograme »,a. lei kilograme s.a.) la nivelul abstract care vizeaza relatiile dintre parte si intreg ; viteza, distanta si timp ; cantitate, pret, valoare etc.
Transpunand problema intr-un desen, intr-o imagine sau intr-o schema scriind datele cu relatiile dintre ele intr-o coloana s.a., evidentiem esenta matematica a problemei, adica reprezentarea matematica a continutului ei. Se sesizeaza cum este cazul problemei cu cumparaturile mai inainte prezentata, ca este vorba de suma a doua produse .
In cazul celei de a doua probleme ( cu elevii) mai sus amintita, este vorba de o suma de doi termeni in care al doilea termen nu este exprimat numeric, ci reprezinta suma a doua numere.
In momentul in care este transpusa problema in relatii matematice, solutia este ca si descoperita.
D-Alegerea si efectuarea operatiilor
corespunzatoare succesiunii din planul logic.
Aceasta etapa consta in alegerea si efectuarea calculelor din planul de rezolvare, in constientizarea semnificatiei rezultatelor partiale ce se obtin prin calcule respective si, evident, a rezultatului final.
De o importanta majora in formarea abilitatilor, a priceperilor si de- prinderilor de a rezolva probleme il are etapa urmatoare.
E-Activitati suplimentare dupa rezolvarea problemei
Ea consta in verificarea solutiei problemei, in gasirea si a altor metode de rezolvare si de alegere justificata a celei mai bune.Este etapa prin care se realizeaza si autocontrolul asupra felului in care s-a
insusit enuntul problemei, asupra rationamentului realizat si a demer- sului de rezolvare parcurs.
III. CLASIFICAREA PROBLEMELOR
Problemele de aritmetica ar putea fi clasificate dupa mai multe criterii:
1.Dupa continut, ele se clasifica in practice (probleme referi- toare la numere) si teoretice (probleme referitoare la numere, operatii si proprietatile operatiilor).
2.Dupa complexitate, ele se clasifica in probleme simple (in general cu o singura operatie sau cu un grup dat de operatii) si probleme complexe, cu doua sau mai multe operatii legate intre ele.
3.Dupa gradul de generalitate, ele se clasifica in probleme tipice si probleme compuse obisnuite.
4.Dupa metoda de rezolvare, ele se clasifica in probleme cu aplicare directa a operatiilor si probleme reductibile la o metoda ( falsa ipoteza mersul invers,metoda grafica, etc. ).
IV. METODOLOGIA ACTIVITATII
DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
Organizarea activitatii de rezolvare aproblemelor se fundamenteaza pe cele cinci principale etape si momentul de efort mintal pe care il parcurg elevii, si anume :
cunoasterea enuntului problemei
intelegerea enuntului problemei
analiza si schematizarea problemei
rezolvarea propriu-zisa a problemei
verificarea rezolvarii problemei si punerea rezolvarii sub forma de exercitiu, formularea de alte probleme ce se rezolva dupa acelasi exercitiu, generalizarea etc.
IV .1.Rezolvarea problemelor simple
Primele probleme simple sunt acelea pe care si le pune co-
pilul zilnic in scoala, in familie, in timpul jocului si care sunt ilus-
trate cu exemple familiare lui. Pentru ai face sa vada inca din clasa
intai utilitatea activitatii de rezolvare a problemelor este necesar ca mi-
cii scolari sa inteleaga faptul ca in viata de toate zilele sunt situatii
cand trebuie gasit un raspuns la diferite intrebari.
Rezolvarea primelor probleme se realizeaza la un nivel con-
cret, ca actiuni de viata ( au mai venit.fetite, s-au spart..baloane, au
plecat.ratuste, i-a dat creioane colorate, au mancat. bomboane), ilus-
trate prin imagini sau chiar prin actiuni executate de copii( elevul vine
la magazin, cumpara, plateste sau elevul este la scoala si primeste car-
ti sau creioane ).In aceasta faza, activitatea de rezolvare a problemelor se
afla foarte aproape de aceea de calcul. Introducerea in rezolvarea pro- blemelor simple se face inca din perioada pregatitoare primelor operatii.
barii problemei se ajunge la valorile numerice, si la cea mai simpla sin-teza a valorilor numerice se ajunge la intrebarea problemei. Elevul tre- buie sa transpuna relatia dintre valorile numerice ('din 7 pasarele au
zburat 2') intr-o operatie de scadere.
El nu va putea sa sesizeze relatia justa care duce la rezolva- rea problemei, nu va putea descoperi solutia problemei, decat in masura in care va fi constient de semnificatia valorilor numerice si de rezolva- rea problemei.
Desi rezolvarile de probleme simple par usoare, trebuie sa se aduca in atentia copiilor toate genurile de probleme care se rezolva printr-o singura operatie aritmetica. Aceste tipuri sunt :
Probleme simple bazate pe adunare
- de aflare a sumei a doi termeni;
- de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitati decat un numar dat ;
probleme de genul « cu atat mai mult ».
Probleme simple bazate pe scadere
- de aflare a restului ;
- de aflare a unui numar care sa aiba cu un numar de unitati mai putine decat un numar dat ;
- de aflare a unui termen atunci cand se cunosc suma si un termen al sumei ;
probleme de genul « cu atat mai putin »
Probleme simple bazate pe inmultire
- de repetare de un numar de ori a unui numar dat ;
- de aflare a produsui ;
- de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mare decat un numar dat ;
Probleme simple bazate pe impartire
- de impartire a unui numar dat in parti egale ;
- de impartire prin cuprindere a unui numar prin altul ;
APLICATII
Daniela a cules 5 ciuperci, iar Irina a cules 10 ciuperci.
Cate ciuperci au cules impreuna ?
Rezolvare :
Cate ciuperci au cules impreuna ?
5+10=15(ciuperci)
Raspuns :15ciuperci
2. Afla numerele cu 12 mai mari decat : 45, 63 si 15.
Rezolvare :
63+12=75
Raspuns : 57, 75 si 27
Intr-un cos sunt 13 mere, iar in alt cos sunt cu 21 mai multe mere decat in primul.
Cate mere sunt in al doilea cos ?
Rezolvare:
Cate mere sunt in al doilea cos ?
13+21=33(mere)
Raspuns:33mere
4.Ionel avea o cutie cu 20 bomboane.El a mancat 10 bomboane.
Cate bomboane i-au mai ramas ?
Rezolvare :
Cate bomboane i-au mai ramas ?
Raspuns :10 bomboane
Rezolvare :
70-30=40
80-30=50
a+40=90
a=90-40
a=50
Raspuns:50
Ana a rezolvat 13 probleme, iar colega ei, Ina,cu trei probleme mai putine.
Cate probleme a rezolvat Ina ?
Rezolvare:
Cate probleme a rezolvat Ina ?
13-3=10(probleme)
Raspuns:10 probleme
Mama a cumparat 7 kilograme de mere, platind 5000 lei pentru fiecare kilogram.
Cati lei a dat pe toata cantitatea ?
Rezolvare :
Cati lei a dat pe toata cantitatea ?
7*5 000=35 000
Raspuns :35 000 lei
Intr-un parc trebuie saditi 63 de trandafiri asezati pe 7 randuri.
Cati trandafiri vor fi saditi pe fiecare rand ?
Rezolvare :
Cati trandafiri vor fi saditi pe fiecare rand ?
63 :7=9 (trandafiri)
Raspuns : 9 trandafiri
El a parcurs din aceasta distanta .
Cati kilometri a parcurs calatorul ?
Rezolvare :
Cati kilometri a parcurs calatorul ?
3*12 :4=
=36 :4
=9(kilometri)
Raspuns :9 kilometri
COMPUSE
Spre deosebire de rezolvarea problemelor simple, rezolvarea problemelor compuse reprezinta un fenomen psihic mai complex.
Problema compusa fiind alcatuita din mai multe probleme simple, cuprinde un complex de situatii concrete, de relatii in care se cere sa se determine o valoare numerica necunoscuta pe baza unor valori numerice date, care se gasesc intr-o anumita dependenta una de alta si toate fata de marimea cautata.
Problema compusa este alcatuita din mai multe probleme simple, care se succed intr-o inlantuire logica. Continutul problemei compuse are nu numai doua valori numerice, ci mai multe.
Pentru rezolvarea problemelor trebuie sa se aleaga din toa- te valorile numerice perechi de valori care se leaga intre ele printr-o relatie determinata.
Aceasta e o activitate dificila, care cere un anumit efort al gandirii si o anumita experienta. De altfel, aceasta alegere a valorilor numerice nu se face numai in scopul sistematizarii lor,ci constituie deprinderea problemelor simple din cadrul problemei compuse. E vorba de un proces de analiza, care trebuie orientat catre sinteza ce urmeaza, catre intrebarea problemei.
Citam o problema compusa cu 3 operatii, pentru a ilustra problemele simple componente, precum si intrebarile itermediare.
Mama a cumparat 3m de panglica cu 2 000 lei metrul si 4m de elastic cu 3 000 lei metrul. Cati lei a cheltuit mama ?
3m
|
2000lei |
Cati lei costa panglica ? Cati lei costa elasticul?
Cati
lei a cheltuit mama?
Etapele metodice in rezolvarea problemelor compuse sunt:
1. Insusirea enuntului problemei;
2. Examinarea problemei;
3. Alcatuirea planului de rezolvarea problemei
4. Rezolvarea propriu-zisa ;
Intre aceste etape exista o strinsa legatura.
1.Insusirea enuntului problemei inseamna cunoasterea continutului problemei, a tematicii, sau a domeniului din realitatea obiectiva la care se refera datele problemei, precum si cunoasterea acestor date si a intrebarii problemei.
Asadar, insusirea enuntului problemei nu inseamna cunoasterea si reproducerea textului ei, ci inseamna patrunderea treptata in continutul problemei. Aceasta se realizeaza prin :
-expunerea sau citirea problemei ;
-discutii in legatura cu continutul problemei;
-concretizarea ei prin diferite mijloace intuitive;
-explicarea cuvintelor si a expresiilor necunoscute;
-schematizarea problemei prin discutii, scheme;
-scrierea enuntului problemei;
2.Examinarea problemei constituie activitatea cea mai importanta in rezolvarea problemelor.
Examinarea problemei se face pe cale analitica sau sintetica.
Calea sintetica, reprezentand drumul de la valorile numerice cunoscute catre intrebarile problemei, de la cunoscut la necunoscut este mai usoara decat calea analitica.
Examinarea analitica a problemei, pornind de la intrebare catre valorile numerice cunoscute, deductia, de la necunos- cut la cunoscut este mai grea, obliga elevul la un efort mai mare.
In practica, s-a demonstrat ca metoda sintezei este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gandirea elevilor. Mai mult, se constata ca unii elevi pierd din vedere intrebarea problemei si sunt tentati sa calculeze valori de marimi care nu sunt necesare in gasirea solutiei problemei.
Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gandirea elevilor.
APLICATII
Problema. O ferma agricola a contractat predarea a 2/5 din productia sa de grau, restul distribuindu-se asociatilor sai..Sa se calculeze cantitatea de grau ce revine unui asociat pentru un hectar, daca suprafata totala insamantata a fost de 648 ha, productia medie la hectar fiind de 3 800 kg .
Rezolvare :
Metoda sintactica
a)Cunoscand suprafata insamantata si productie medie la hectar se poate afla productia totala .
648*3 800=2 462 400 ( kg)
b)Cunoscand productia totala si ce parte din ea a fost con
tractata se poate afla cantitatea de grau ce trebuie predata conformcontractului .
2 462 400*2 :5=
= 4 924 800 :5
= 984 960 ( kg)
c)Cunoscand productia totala si cantitatea de grau ce tre- buie predata se poate afla cantitatea de grau ce se repartizeaza asociatilor.
2 462 400-984 960=1 477 440 (kg)
d)Cunoscand intreaga cantitate de grau ce se repartizea- za asociatilor se poate afla cantitatea de grau ce revine unui asociat pentru un hectar .
1 477 440 :648=2280 (kg)
Metoda analitica
a)Pentru a afla ce cantitate de grau revine unui asociat pen- tru un hectar, ar trebui sa stim intreaga cantitate ce se repartizeaza asociatilor.
Fie « C » cantitatea de grau ce se repartizeaza asociatilor si « X » cantitatea de grau ce revine unui asociat pentru un hectar.
X=C :648
b)Pentru a afla cantitatea de grau ce se repartizeaza asociati- lor, ar trebui sa facem o operatie de scadere.
Fie « T » cantitatea totala .
C=T-2/5T
c)Pentru a face aceasta operatie ar trebui sa stim ce can- titate de grau se livreaza conform contractului, adica sa aflam 2/5din cantitatea totala.
d)Pentru a afla ce cantitate de grau se livreaza conform con- tractului ar trebui sa cunoastem productia totala.
T=3 800*648
T=2 462 400 (kg)
In continuare aflam 2/5T
2/5T=2*2 462 400:5
=4 924 800:5
=984 960 (kg)
Prin inlocuiri succesive obtinem « C »si in final « X »
C=T-2/5T
C=2 462 400-984 960
C=1 477 440 (kg)
X=C:648
X=1 477 440:648
X=2 280 (kg)
Raspuns:2 280 (kg)
Metoda analitico-sintactica
A rezolva o problema prin metoda analitico-sintactica in-seamna a o examina partial analitic si partial sintactic fara ca sa exis- te reteta de prioritate la inceperea examinarii pentru o metoda sau alta.
Exemplu :
Problema. De la un magazin s-au cumparat pentru o cantina 45kg orez de calitatea I cu 10 500 kg, 82 kg de calitatea a II-a cu 9 000 lei/kg si 123 kg de calitatea a III-a.
Cat a costat un kilogram de orez de calitatea a III-a daca transportul a costat 44 000 lei, revenind in medie pentruun kilo- gram de orez 9 200 lei ?
Rezolvare :
Vom aplica la inceput metoda sintactica.
a)Cunoscand cat costa 1 kg de orez de calitatea I si cat orez de aceasta calitate s-a cumparat, putem afla cat a costat orezul. 10 500*45=472 500 ( lei)
b)Cunoscand cat costa 1 kg de orez de calitatea a II-a si cat orez de aceasta calitate s-a cumparat, putem afla cat a costat orezul.
9 000*82=738 000 (lei)
Continuam cu metoda analitica.
c)Ca sa aflam cat costa 1 kg de orez de calitatea a III-a tre- bui sa cunoastem cat s-a platit pe 123 kg de orez de aceasta calitate. Fie «D » costul celor123 kg de orez atunc 1 kg va costa :
X=D :123
d)Ca sa gasim costul a 123 kg de orez de calitatea a III-a ,adi- ca D, va trebui sa scadem banii dati pe primele doua calitati din suma totala.
Fie "C" suma platita pentru tot orezul. Atunci :
D=C-(472 500+738 000)
e)Cat costa toata cantitatea de orez ?(sintactic)
45+82+123=250 (kg)
9 200*250=2 300 000 (lei)
f)Cat costa cel 250 kg de orez fara transport?(sintactic)
2 300 000-44 000=2 256 000(lei)
C=2 256 000 lei
g)Cat costa 123 kg de orez de calitatea a III-a ?
D=C-1 210 500
D=2 256 000-1 210 500
D=1 045 500 (lei)
h)Cat costa un kg de orez de calitatea a III-a ?
X=1 045 500 :123
X=8 500 (lei)
Raspuns :8 500lei
IV.3 REZOLVAREA PROBLEMELOR-TIP
Prin problema tipica intelegem acea constructie matema- tica a carei rezolvare se realizeaza pe baza unui anumit algoritm specific fiecarui tip. O asemenea problema se considera teoretic rezolvata in momentul in care i-am stabilit tipul si suntem in posesia algoritmului de rezolvare.
IV.3.1Probleme care se rezolva prin
metoda figurativa(metoda grafica)
Metoda figurativa este o metoda ce consta in reprezen ta- rea printr-o figura a marimilor necunoscute si fixarea in acest desen a relatiilor intre ele si marimile date in problema.
Figura reprezinta o schematizare a enuntului, pentru a se pastra in atentie relatiile matematice si nu toate aspectele concret. Rezolvitorul de probleme de aritmetica simte nevoia sa-si« apropie » datele problemei, precum si relatiile dintre acestea din textul enuntului. Pentru aceasta realizeaza un desen, o figura, un model, care sa oglindeasca datele problemei.Daca rezolvitorul este « la inceput de drum » desenul sau este cat mai detaliat, iar pe masura ce el isi formeaza unele priceperi si deprinderi, figura devine cat mai abstracta, cat mai schematica, ea « prinzand » in cadrul modelului numai esentialul.
Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem imparti in doua mari categorii si anume :
A.Cu date sau marimi « discrete » intelegand prin aceasta ca marimile pot fi numarate cate una si ca se pot pune in corespondenta dupa anumite criterii. In acest caz marimile le "figuram" prin simboluri.
B.Cu date sau marimi « continui »,caz in care, le figuram
prin segmente.
APLICATII
Problema 1.Daca se asaza cate un elev intr-o banca raman 14 elevi in picioare. Daca asezam cate 2 elevi intr-o banca ra -man 3 banci libere. Cati elevi si cate banci sunt ?
Scriem datele :
1elev.....1banca..14elevi.2elevi..1banca...3banci.. ....?elevi.?banci.
Observam ca datele problemei sunt marimi carora le-am zis « discrete »(banci si elevi),marim care se pot pune in coresponden- ta dupa criterii desprinse din analiza textului. Deci din analiza primei parti a enuntului desprindem ca multimea elevilor si multi- mea bancilor pot fi in asa fel « privite » incat elementele lor sa fie organizate astfel: fiecarui elev ii corespunde o banca, situatie in care 14 elevi raman in picioare, deci nu au loc.
Figuram banca cu B si elevul cu e. Asezam cate un elev intr-o banca. Obtinem grupe de forma :
e e e e e...e 14 elevi
B B B B B..B
Acum, legatura cu partea a doua a enuntului s-ar face astfel :cei 14 elevi ce erau in picioare vor completa 14 banci pana la doi elevi.
e e e e e..e..e e....e
B B B B B.B..B B...B
e e e e e..e...e
14 B nu stim cate
Deoarece enuntul mentioneaza ca asezandu-i cate doi intr-o banca raman 3 banci libere, inseamna ca din aceste banci s-au mai ridicat 3 elevi ( initial fiecare banca avea cate un elev ) care au completat ca si ceilalti colegi ai lor inca trei banci cu doi elevi.
e e e e...e e e e
B B B B..B B B B B B B
e e e e...e e e e
14 B 3 B 3 B
Sa recapitulam deci : avem 14 banci cu cate doi elevi com-
pletate de cei 14 elevi ce erau in picioare si inca 3 banci cu doi elevi completate astfel prin ridicarea din 3 banci care trebuie sa ramana libere si, in fine, raman 3 banci libere.
Deci in acea clasa erau :
14+3+3=20 (banci)
Aflarea numarului de elevi, in continuare, nu mai constituie o greutate. Il putem afla din prima parte a enuntului :
20+14=34 (elevi)
Raspuns :20 de banci si 34 de elev
Problema 2.Intr-o curte alearga gaini si purcei.In total sunt 40 de capete si 100 de picioare. Cate gaini si cati purcei erau ?
Comentand enuntul, la prima vedere s-ar parea ca acesta este incomplet deoarec nu se expliciteaza cate picioare are o gaina si cate picioare are un purcel.
Dar, in mod normal, aceste date se subinteleg ( toata lumea stie ca o gaina are 2 picioare si un purcel are4 piciore).
Sa figuram cele 40 de vietati prin niste ovale.
....
40
Acum le desenam picioarele. Dar unde asezam 2 picioare si unde 4 ?Observam ca oricum doua picioare are fiecare vietate sile desenam.Figura apare astfel :
....
40
Am « folosit » 40*2=80 (picioare) si ne-au mai ramas :
100-80=20 (picioare).
Acum asezam picioarele ramase cate doua la fiecare vie- tate care are deja cate doua picioare. Formam astfel "purcei". Asezam
doua picioare la prima, doua picioare la adoua vietate si asa mai departe pana terminam cele 20 picioare ramase. Gasim astfel, numarul de purcei.
........
10 purcei
....
30 gaini
Se va realiza proba :
10*4+30*2=100 (picioare)
In continuare vom rezolva probleme tot prin metoda figurativa cu marimi e se preteaza a fi ilustrate prin segmente.
Problema 3.Un tractor pleaca pe sosea de la kilometrul 0, mergand cu aceeasi viteza. Dupa 2 ore de mers, nu ajunsese la canton ; mai avea pana acolo 14 kilometri. Dupa 5 ore de mers trecuse de acel canton cu 25 de kilometri.
La ce kilometru era situat cantonul ?
Din analiza enuntului trebuie sa retinem o informatie esentiala si anume aceea ca tractorul se deplasa cu o viteza constanta.Constatarea ne sugereaza realizarea unei figuri in care distantele parcurse in fiecare ora sa le putem desena prin seg- mente egale, puse cap la cap.Figuram mai intai soseaua pe care ne-o imaginam rectilinie.
Prin sageata indicam sensul de deplasare. Punctul 0 sa fie kilometrul 0(zero) de unde incepe deplasarea tractorului.Nu stim unde trebuie plasat cantonul. Problema ne spune ca dupa 2 ore de mers,tractorul nu ajunsese la canton.
Convenind ca spatiul parcurs intr-o ora sa-l figuram prin
segmentul ,asezam doua asemenea segmente cap la cap incepand cu
punctul 0. Figura devine :
14 Km
O A C B
Deci dupa 2 ore tractorul ajunge la punctul A. Cantonul va fi situat la dreapta lui A si il materializam prin punctul C, iar pozitia tractorului dupa 5 ore de la plecare in punctul B.
Acum observam pe grafic ca distanta de la A la C este de 14 km, iar distanta de la C la B este de 25 kilometri. Graficul arata astfel :
dupa 2 h
O A C B
14 km 25 km
Rezolvarea problemei apare din citirea graficului.
1.In cate ore parcurge tractorul distanta AB ?
5-2=3 (ore)
2.Ce distanta parcurge tractorul in acest timp ?
14+25=39 (kilometri)
3.Care este viteza tractorului ?
39 :3=13 (kilom
4.Ce distanta parcurge tractorul in 2 ore ?
13*2=26 (kilome
5.La ce kilometru era situat cantonul ?
26+14=40 (kilometri)
Raspuns :viteza tractorului era de 13 km/h
iar tractorul se afla la distanta de 40 kilometri.
Exemplu
Problema. Aflati doua numere daca: suma lor este 840, iar diferenta460.
Rezolvare:
Vom reprezenta cele doua marimi care intervin in problema prin doua segmente.
840
Diferenta dintre lungimile celor doua segmente este chiar
diferenta dintre cele doua numere, iar suma celor doua numere este reprezentata de doua segmente de aceeasi lungime si inca un segment ce reprezinta tocmai diferenta de 460. Atunci putem determina numarul mai mic astfel:
(840-460) :2=190,iar numarul mare va fi:
190+460=650
Raspuns :numarul mic este 190 iar numarul mare este 650.
suma sau diferenta lor si raportul lor
Prin raportul a doua numere, in ipoteza ca ele se impart exact, intelegem catul lor. Acesta (catul) ne arata de cate ori un numar este mai mare decat celalalt. Problemele de aflare a doua numere cand cunoscand suma sau diferenta lor si raportul lor, se rezolva tot prin metoda figurativa.
Sa analizam problema urmatoare :
Problema. Aflati doua numere daca suma lor este 480, iar unul dintre ele este de cinci ori mai mare decat celalalt.
Rezolvare :
Figura acestei probleme este asemanatoare cu cea de la problema precedenta, cu observatia ca segmentul mai mare este format din 5 segmente mici, care reprezinta numarul mic, iar suma celor doua numere este practic reprezentata de 6 segmente reprezentand numarul mic.
480
Pentru a afla numarul mic vom efectua :
480 :6=80
fie 480-80=400
Numarul mare poate fi aflat :
fie 5*80=400
Raspuns:numarul mic este 80 iar numarul mare este 400
.3.2. Probleme de egalare a datelor.
Metoda aducerii la acelasi termen de comparatie.
Problemele care se rezolva folosind aceasta metoda se caracterizeaza prin faptul ca se dau doua marimi ( care sunt comparate (« in acelasi mod » ) si legatura care exista intre ele. Aceste doua marimi sunt caracterizate prin cate doua valori fiecare si de fiecare data se cunoaste legatura dintre ele. Metoda consta in a face ca una din cele doua marimi sa aiba aceeasi valoaresi astfel pro-blema devine mai simpla, avand o singura necunoscuta. Din aceasta cauza se si numeste aducerea la acelasi termen de comparatie.
Problema Stiind ca 9 carti si 6 caiete costa 324 000 lei, respectiv 4 carti si 3 caiete costa 146 000 lei, aflati care este pretul unei carti si al unui caiet.
Rezolvare : Schematic, enuntul problemei este:
9 carti......6 caiete.......324 000 lei
4 carti......3 caiete.......146 000 lei
Se observa ca, daca a doua oara s-ar fi cumparat dedoua ori mai mult, cantitatea de caiete cumparate de fiecare data ar fi fost aceeasi, adica schematic am avea:
9 carti.....6 caiete......324 000 lei
8 carti.......6 caiete.....292 000 lei
Planul de rezolvare :
1.Cate carti a cumparat mai mult prima data ?
9-8=1 (carti)
2.Cat costa o carte?( cu cat a platit mai mult prima data ?)
324 000-292 000=32 000 (lei)
3.Cat costa 9 carti ?
32 000*9=288 000 (lei)
4.Cat costa 6 caiete ?
324 000-288 000= 36 000 (lei)
5.Cat costa 1 caiet ?
36 000 :6= 6 000(lei)
Raspuns :o carte costa 36 000 lei, iar un caiet 6 000 lei
Problema 12 pahare si 10 farfurii au costat 106 000 lei.15 pahare si 25 farfurii au costat 220 000 lei. Cat costa un pahar si cat costa o farfurie ?
Rezolvare: Scriem datele:
12 pahare......10 farfurii.......106 000 lei
15 pahare......25 farfurii.......220 000 lei
Egalam numarul de farfurii. Observam ca acest lucru se poate face impartind datele de pe primul sir la 2, iar cel de pe al doileasir la 5. Obtinem :
6 pahare.......5 farfurii........53 000 lei
3 pahare.......5 farfurii.........44 000lei
Problema a devenit : si prima data si a doua oara s-a cumparat un acelasi numar de farfurii(5).Nu am platit aceeasi suma de bani deoarece prima data s-au luat mai multe pahare. Rezolvarea urmeaza simplu conform rationamentului si operatiilor de mai jos.
1.Cate pahare s-au cumparat mai mult prima oara ?
6-3=3 (pahare)
2.Cat costa 3 pahare(cu cat s-a platit mai mult prima oara)?
53 000-44 000=9 000 (lei)
3.Cat costa un pahar ?
9 000 :3=3 000 (lei)
4.Cat costa 5 farfurii ?
44 000-9 000=35 000 (lei)
5.Cat costa o farfurie ?
35 000:5=7 000 (lei)
Raspuns:un pahar costa 3 000 lei, iar o farfurie costa 7 000 lei.
IV.3.3.Probleme de presupunere.
Metoda falsei ipoteze
Problemele din aceasta categorie sunt foarte numeroase . Orice
problema ale carei date sunt marimi proportionale poate fi rezolvata prin metoda falsei ipoteze. De regula, se pleaca de la intrebarea problemei, in sensul ca asupra marimii ce o cautam facem o presupu- nere complet arbitrara. Dupa aceea, refacem problema pe baza presupunerii facute. Deoarece marimile sunt proportionale, rezultatele obtinute pe baza presupunerii se « translateaza » in plus sau in minus, dupa cum presupunerea facuta este mai mare, respectiv mai mica, decat rezultatul real. Refacand problema, ajungem la un rezultat care nu concorda cu cel real din problema. Este, fie mai mare, fie mai mic decat acesta.
In acest moment se compara rezultatul pe baza presupunerii cu cel real, din punct de vedere al catului si observam de cate ori am gresit cand am facut presupunerea .Obtinem, asadar, un numar cu ajutorul caruia "corectam" presupunerea facuta in sensul ca o micsoram sau o marim de acest numar de ori.
Problema 1.Pe un vapor s-au vandut 124 bilete pentru clasele I si a II-a ; biletul de clasa I costa 56 000 lei, iar biletul de clasa a II-a 36 000 lei, incasandu-se in total suma de 4 994 000 lei.
Cate bilete de fiecare clasa s-au vandut ?
Rezolvare
Presupunem ca toate cele 124 de bilete au fost de clasa I.
Evident ca aceasta ipoteza este falsa, deoarece in numarul total debilete(124) intrau si cele de clasa I si cele de clasa a II-a.Deci, presupunem ca toate cele 124 bilete ar fi de clasa I.
Planul de rezolvare este urmatorul :
Aflam cat costa biletele :
124*56 000=6 944 000 (lei) F.
In realitate biletele au costat numai 4 944 000 lei.
2.Aflam cu cati lei am obtinut mai mult pe baza presupunerii
facute.
6 944 000-4 944 000=2 000 000 (lei)
Acum, in mod firesc, ne intrebam de unde provine aceasta bilet diferenta. Ea provine din faptul ca au existat si bilete de clasa a II-a si pentru fiecare de clasa a II-a am socotit cu :
56 000-36 000=20 000 (lei) mai mult presupunandu-l de
clasa I.In continuare judecam astfel:
3.Cu cati lei am socotit mai scump un bilet de clasa a II-a ?
56 000-36 000=20 000 (lei)
Pentru cate asemenea bilete de clasa a II-a am socotit in plus cate
20 000 lei ?Pentru atatea bilete, de cate ori 20 000 lei se cuprinde in diferenta totala de 2 000 000 lei.
4.Cate bilete de clasa a II-a s-au vandut ?
2 000 000 :20 000=100 (bilete de clasa a II-a)
5. Cate bilete de clasa I s-au vandut ?
124-100=24 (bilete de clasa I )
Raspuns :s-au vandut 24 bilete de clasa I si
100 bilete de clasa a II-a
Problema 2.Pentru fiecare problema rezolvata bine un elev primeste 3 puncte si i se scad 2 puncte pentru fiecare problema gresita. In total, un elev a rezolvat 54 de probleme si a primit 92 de puncte.
Cate probleme a rezolvat bine si cate nu ?
Rezolvare:
1.Presupunem ca elevul a rezolvat bine toate cele 54 probleme si primeste :
54*3=162 (puncte) F
In realitate el a primit 92 de puncte.
2.Cu cate puncte a obtinut elevul mai mult decat in realitate ?
162-92=70(puncte)
Pe baza ipotezei facute ne-a dat o diferenta de punctaj de 70 puncte. Aceasta diferenta provine din faptul ca fiecare problema
rezolvata gresit am socotit-o bine rezolvata.
Pentru o problema gresita elevul a primit in plus 5 puncte:2 puncte trebuie sa le acopere pe cele care nu s-au scazut si a primit inca 3 puncte considerand problema buna. Am acordat 5 puncte in plus pentru atatea probleme de cate ori se cuprinde 5 in 70.
3.Cate probleme a rezolvat gresit elevul ?
70:5=14 (probleme)
4.Cate probleme a rezolvat bine ?
54-14=40 (probleme)
Raspuns:elevul a rezolvat bine 40 probleme si
gresit 14 probleme.
IV.3.4.Probleme de rest din rest.
Metoda mersului invers
Aceasta metoda consta in faptul ca enuntul unei probleme trebuie urmarit de la sfarsit spre inceput. Analizand operatiile facute in problema si cele pe care le facem noi in rezolvarea problemei, constatam ca de fiecare data, pentru fiecare etapa, facem operatia inversa celei facute in problema. Deci, nu numai mersul este invers, ci si operatiile pe care le facem pentru rezolvare sunt operatiile inverse celor din problema.
Proba (verificarea) se face aplicand asupra rezultatului obtinut peratiile indicate de problema. Pentru a surprinde metoda, care- ia ii spunem metoda mersului invers, analizam urmatorul exemplu.
Problema 1.M-am gandit la un numar. Il impart la 7, catului obtinut ii adun 4, suma gasita o inmultim cu 8, iar din produsul obtinut scad 12, obtinand 60.La ce numar m-am gandit ?
Rezolvare :
Notand cu x numarul cautat, enuntul se scrie prescurtat astfel :
(x :7+4)*8-12=60
Am obtinut oegalitate care in algebra se numeste ecuatie. Sa o rezolvam prin rationament aritmetic, urmarind enuntul de la sfarsit spre inceput, adica invers, de unde metoda mersului inver
1.Care este ultuma operatie facuta pentru a obtine 60 ?
Ultima operatie este o scadere in care necunoscuta figureaza la descazut. Deci:
D=R+S, unde D-descazut, S-scazator si R-rest.
D=60+12=72
Problema devine: (x:7+4)*8=72
2.Care este ultima operatie facuta pentru a obtine pe 72?
Inmultirea.Necunoscuta se afla la deinmultit. Deci :
D=P :I, D-deinmultitul, I-inmultitorul, P-produsul.
D=72 :8=9
Problema devine :
x :7+4 =9
Cautarile continua in acelasi mod.
3.Care este ultima operatie facuta pentru a obtine pe 9 ?
Adunarea. Necunoscuta figureaza la unul din termeni.
Deci :
T =S-T T
Problema devine :x :7=5
Aici am ajuns la ultima operatie pe care trbuie sa o facem pen- tru determinarea lui x (numarul la care m-am gandit).Ea este de fapt prima la care m-am gandit, care este si prima operatie din enunt. Avem oimpartire, necunoscuta figureaza la deimpartit.
D=C*I,unde D-deimpartitul, I-impartitorul si C-catul.
Deci :x=5*7=35
Numarul la care m-am gandit este 35.
Pe scurt, etapele parcurse se redacteaza astfel :
(x :7+4)*8-12=60
1.(x :7+4)*8=60+12=72
2. x :7+4=72 :8=9
3. x :7=9-4=5
4. x=7*5=35
Raspuns :35
IV.3.5.Probleme de impartire a unui numar
in parti proportionale
Probleme de acest gen, la randul lor, sunt de impartire :
in parti direct proportinale cu numerele date ;
in parti invers proportionale cu numerele date .
Baze teoretice
Definitie-Mai multe rapoarte care au aceeasi valoare formeaza un sir de rapoarte egale.
De exemplu- daca
atunci
..... 
Proprietatea fundamentala a unui sir de rapoarte egale :
Intr-un sir de rapoarte egale suma numaratorilor pe suma numitorilor ne da un raport egal cu fiecare din rapoartele date (avand aceeasi valoare )
a1+a2+a3+.an
. 
b1+b2+b3+.bn
Demonstratie :Notam cu p valoarea comuna a rapoartelor din sirul de mai sus, adica :
..... 
Avem : a1=pb1, a2=pb2, .....an=pbn.
Insumand vom gasi:
a1+a2+...+an=(a1+a2+....+an)*p, de unde
a1+a2+...+an
= p
b1+b2+....+bn
adica raportul intre suma numaratorilor si suma numitorilor are tot valoarea p ca si toate rapoattele din sir.
Daca avem sirul de rapoarte egale (1), spunem ca numerele
a1,a2,..,an sunt proportionale,respectiv, cu numerele b1,b2,...,bn,
sau ca lui a1 ii corespund b1*p lui a2 ii corespund b2*p,..,lui an ii
corespund bn*p parti.
Exemplul 1-In sirul de rapoarte egale
10/4=30/12=5/2=70/28=p
spunem ca numerele 10; 30; 5 si 70 sunt proportionale cu numerele
4; 12; 5 si 28 sau numarului 10 ii corespund 4*p parti, lui 30, ii corespund 12*p parti, lui 5 ii corespund 2*p parti si lui 70 ii corespund 28*p parti.
Exemplul 2-Sa se gaseasca toate numerele proportionale cu
numerele 2 ;7 ;3 ;5.
Rezolvare -pentru aceasta le inmultim pe toate cu p si obti- nem numerele 2p, 7p, 3p, 5p dand lui p orice valoare dorim.
In anumite probleme formularea unei conditii suplimentare
permite determinarea lui p in mod unic.
Exemplul 3-Sa se afle 4 numere proportionale cu numerele
2 ; 7 ; 3 si 5 stiind ca al treilea numar este 27.
Rezolvare-Toate numerele proportionale cu 2; 7; 3 si 5 sunt de forma 2p ; 7p ; 3p ;5p(cu p oarecare).Conditia suplimentara din enunt permite calcularea in mod unic a lui p
3p=27 p=27/3=9
Deci numerele cautate sunt: 2*9=18; 7*9=63; 27 si 5*9=45.
Impartirea unui numar in parti invers proportionale
cu mai multe numere date
Definitie : Numerele a1 , a2,...,an sunt invers proportionale cu numerele date b1,b2,..bn, daca ele sunt direct proportionale cu inversele numerelor date, adica:
a1 a2 an
1/b1 1/b2 ... 1/bn sau
a1*b1=a2*b2=....an*bn
Exemplu: Numerele 3,2 si 6 sunt invers proportionale cu numere le 8, 12 si 4 si se scrie :
3 2 6
1/8 1/12 1/4 deoarece 3*8=2*12=4*6.
Regula. Impartirea unui numar in parti invers proportionale cu numere date revine la impartirea acelui numar in parti direct proportionale cu inversul numerelor date.
Problema 1.Sa se imparta numarul 206 in patru parti invers
proportionale cu numerele : 3/2 ; 2 ; 10/3 ; 4 .
Inversele acestor numere sunt :2/3; 1/2; 3/10; 1/4.
Fie a,b,c,d numerele cautate, parti ale numarului 206. Scriem ca ele sunt direct proportionale cu numerele 2/3; 1/2;10 si 1/4 aducand totodata aceste fractii la acelasi numitor.
a b c d
2/3 1/2 3/10 1/4 sau
a/40=b/30=c/18=d/15=p
a+b+c+d=p(40+30+18+15)
206=p*103
p=2 Deci: a=40*2=80
b=30*2=60
c=18*2=36
d=15*2=30
IV.3.6.Probleme rezolvabile cu regula
de trei simpla.Metoda proportiilor
Baze teoretice
Definitia 1: Doua marimi care depind una de alta se numesc direct proportionale daca indeplinesc conditiile :
Daca una creste si cealalta creste
Daca una creste de n ori, atunci cealalta creste de
acelasi numar de ori.
Teorema 1 : Raportul a doua valori ale uneia din marimi
este egal cu raportul valorilor corespunzatoare ale celeilalte marimi
Definitia 2 :Doua marimi care depind una de alta se numesc invers proportionale daca indeplinesc conditiile:
Daca una creste, cealalta descreste;
Daca una creste de n ori, atunci cealalta descreste de n ori.
Teorema 2 : Fiind date doua marimi invers proportionale raportul a doua valori ale uneia din marimi este egal cu inversul raportului dintre valorile corespunzaroare ale celeilalte marimi.
Problema. O cantitate de 250 kg cartofi a fost ambalata in
lazi. Dar 375 kg de cartofi in cate lazi se vor ambala ? Asezam datele problemei pe doua siruri astfel :
250 kg........10 lazi x1...y1
375 kg........x lazi x2...y2
In aceasta problema cele doua marimi, cantitatea de cartofi si
numarul de lazi,sunt direct proportionale.
Pe primul sir se scriu cele doua valori corespunzatoare date.
Pe al doilea sir (rand) se scrie o valoare data a uneia din marimi si valoarea corespunzatoare ,necunoscuta, a celeilalte marimi.
Deoarece cele doua marimi sunt direct proportionale, conform teoremei 1 putem scrie:
250 kg 10 lazi
375kg x lazi
Deoarece raportul a doua valori ale unei marimi este egal cu raportul numerelor care le masoara, avem:
250 10
375 x x=375*10:250=15(lazi)
V. CULTIVAREA CREATIVITATII ELEVILOR
IN ACTIVITATEA DE REZOLVARE SI
COMPUNERE A PROBLEMELOR
Activitatea de rezolvare si compunere a problemelor ofera terenul cel mai fertil din domeniul activitatilor matematice pentru cultivarea si educarea creativitatii si a invetivitatii. Diferenta dintre a invata "rezolvarea unei probleme" si "a sti" (a putea) sa rezolvi o problema noua inseamna,in esenta, creativitate, dar de niveluri diferite. Rezolvarea unei probleme « invatate » ofera mai putin teren pentru creativitate decat rezolvarea unei probleme noi care, la randul ei, este depasita de alcatuirea unor probleme noi.
Aceasta nu inseamna ca in activitatea de rezolvare de probleme
avem de-a face numai cu probleme creative, renuntand in totalitate la cele reproductive. Opozitia dintre algoritm si euristic, dintre deprindere si abilitatea de rationament este numai aparenta. Creativitatea gandirii, miscarea ei libera, nu se poate produce decat pe baza unor deprinderi corect formate, stabilizate si eficient transferate.
In rezolvarea problemelor, deprinderile si abilitatile se refera in special la analiza datelor, a conditiei, la capacitatea de a intelege intrebarea problemei si a orienta intreaga desfasurare a rationamentului in directia descoperirii solutiei problemei.
In scopul cultivarii creativitatii, adica a gandirii, inteligentei si imaginatiei elevilor in activitatea de rezolvare a problemelor se folosesc
variate procedee, cum ar fi:
Complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea intrebarii.
Rezolvarea problemei prin doua sau mai multe procedee.
VI. BIBLIOGRAFIE
1.METODICA PREDARII MATEMATICII LA CLASELE I-IV
AUTORI :
Lector univ. dr. IOAN NEACSU-coordonator
Prof. HORIA RADU
2. METODE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR DE
ARITMETICA
EXPUNERI-PRELEGERI-CONSULTATII
AUTOR:
Prof. CORIOLAN TEMPIAN
3.PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CLASELE
EDITURA DIDACTICA SI PEDAGOGICA - BUCURESTI
4.MANUAL PENTRU CLASA a V-a
EDITURA DIDACTICA SI PEDAGOGICA -BUCURESTI 1977
AUTORI:
Prof. MARIANA IANCU
Prof. ALINA BIRTA
