NOTIUNI DE BAZA
Clasa a VI-a
Algebra
Proportie. Proprietatea fundamentala a proportiei
proportia este o egalitate a doua rapoarte;
- in orice proportieprodusul extremilor este egal cu produsul mezilor;
Aflarea unui termen necunoscut al unei proportii
un extrem = produsul mezilor "supra" celalalt extrem;
un mez = produsul extremilor "supra" celalalt mez;
Proportii derivate
a/b = c/d => d/b = c/a
a/b = c/d => a/c = b/d
a/b = c/d => b/a = d/c
a/b = c/d => af/bf = c/d
a/b = c/d => a:f/b:f = c/d
a/b = c/d => a·f/b = c·f/d
a/b = c/d => a/b·f = c/d·f
a/b = c/d => a/b:f = c/d:f
a/b = c/d => a+b/b = c+d/d
a/b = c/d => a-b/b = c-d/d
a/b = c/d => a/a+b = c/c+d
a/b = c/d => a/b-a = c/d-c
a/b = c/d => a/b = a+c/b+d
a/b = c/d => a/b = a-c/b-d
Procente. Aflarea a p% dintr-un numar
prin notatia p% se intelege p
pentru aflarea a p% dintr-un numar dat se efectueaza p/100 din numarul respectiv adica p/100 inmultit cu numarul dat
Aflarea unui numar cand se cunoaste p% din el
intrucat exista un numar necunoscut il vom nota cu x, obtinand p/100 din x=a, a fiind dat, rezulta x=a:p/100
Aflarea raportului procentual
se numeste raport procentual raportul p/100
pentru a afla cat la suta reprezinta numarul a din numarul b, ne folosim de relatia a = p/100 ·b sau a/b = p/100 → p = 100 ·a/b
Probabilitati
se numeste probabilitatea realizarii unui eveniment (rezultatul unei experiente) raportul dintre numarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului si numarul cazurilor posibile ale experientei
probabilitatea unui eveniment se noteaza cu P(A)
P(A) = numarul cazurilor favorabile evenimentului A / numarul cazurilor posibile ale experientei
Proportionaliate directa
intre doua multimi finite de numere se stabileste o proportionalitate directa daca se poate forma un sir de rapoarte egale, diferite de 0, astfel incat numaratorii rapoartelor sa fie elementele primei multimi si numitorii rapoartelor sa fie elementele celeilalte multimi
intre si se stabileste o proportinalitate directa daca x/a = y/b = z/c
Proportionalitate inversa
intre doua multimi finite de numere se stabileste o proportionalitate inversa, daca se poate forma un sir de rapoarte egale, diferite de 0, astfel incat multimea primilor factori ai produselor sa fie una din multimi, iar multimea celorlalti factori sa fie cealalta multime
intre si se stbileste o proportionalitate inversa daca: x ·a = y · b = z · c
Regula de trei simpla
fiind date doua multimi intre care este stabilita o proportionalitate directa sau inversa, procedeul de aflare a unuia din elemente se numeste regula de trei simpla
Adunarea si scaderea numerelor intregi. Desfacerea parantezelor
la adunarea numerelor intregi apar trei cazuri:
ambele numere sunt intregi pozitive (deci naturale)→ suma este suma numerelor naturale a si b
ambele numere sunt intregi negative → suma este -(|a|+|b|)
un numar este intreg negativ si celalalt intreg pozitiv → suma este 0 daca: |a|=|b|. Daca |a|≠|b| efectuam operatie de scadere intre modulul mai mare si modulul mai mic, iar la rezultat se scrie semnul numarului care era modulul mai mare
se defineste opusul numarului a ca fiind -a si opusul numarului - a ca fiind a
la scaderea a doua numere intrgi se efectueaza operatie de adunare intre primul numar si opusul celui de al doilea
daca in fata unei paranteze este semnul atunci se suprima paranteza si semnul si se scrie expresia din paranteza neschimbata
daca in fata unei paranteze este semnul "-" atunci se suprima paranteza si semnul si se scrie expresia din paranteza schimband semnele
Divizorii unui numar intreg
un numar intreg a este divzibil cu un numar intreg b≠0, daca exista un numar intreg c astfel incat a=b · c
notatie: a : b (a se divide cu b) si b|a (b divide a)
Geometrie
Dreapta
un punct A apartine dreptei a, adica A є a daca punctul A se afla pe dreapta A
doua puncte determina o singura dreapta
se numesc puncte coliniare trei sau mai multe puncte care se afla pe o dreapta
se numesc drepte concurente doua sau mai multe drepte care au un punct comun
Semidrepte si segmente
se numeste semidreapta o portiune dintr-o dreapta marginita intr-oparte si prelungita la nesfarsit in cealalta parte
marginea se numeste originea semidreptei si se noteaza:[OA semidreapta inchisa, adica O є [OA, O originea semidreptei, A un punct oarecare de pe semidreapta si (OA semidreapta deschisa, adica O ¢ (OA
(OA si (OB se numesc semidrepte opuse daca A, O, B sunt puncte coliniare in aceasta ordine
se numeste segment de dreapta o portiune dintr-o dreapta, marginita an ambele parti. Deci un segment are doua capete
segmentul (AA)= ø este segmentul nul
[AA]
Lungimea unui segment. Operatii cu segmente
numim distanta dintre doua puncte A si B, lungimea segmentului AB
se numesc segmente congruente doua segmente care au aceeasi lungime
se numeste mijlocul unui segment AB, punctul M є AB, care imparte segmentul in doua segmente congruente (AM)≡(MB)
mijlocul unui segment este intotdeauna unic
Unghiul
se numeste unghi figura geometrica formata din doua semidrepte care au aceeasi origine
cele doua semidrepte se numesc laturi si originea comuna este varful unghiului
a masura un unghi inseamna a masura "deschiderea" dintre semidreptele care formeaza unghiul
unitatea de masura este gradul cu submultiplii : minutul, secunda 1o=60' si 1
unghiul nul este format din doua semidrepte identice, el are masura de 0 o
ungiul alungit este unghiul format de doua semidrepte opuse, el are masura de 180 o
se numesc unghiuri congruente ungiurile care au aceeasi masura
se numesc unghiuri adiacente doua unghiuri care au o latura comuna, varful comun si celelalte laturi de o parte si de alta a laturii comune
se numesc unghiuri complementare doua unghiuri care au suma de 90 o
se numesc unghiuri suplementare doua unghiuri care au suma de 180 o
Bisectoarea unui unghi. Unghiuri formate in jurul unui punct
se numeste bisectoarea unui unghi semidreapta cu originea in varful unghiului, situata in interiorul unghiului si care formeaza, cu laturile unghiului initial unghiuri congruente
se numeste unghi drept orice unghi congruent cu suplementul sau
se numeste unghi ascutit orice unghi cu masura mai mica de 90 o
se numeste unghi obtuz orice unghi cu masura cuprinsa intre 90 o si 180 o
suma masurilor unghiurilor formate in jurul unui punct este 360 o
se numesc unghiuri opuse la varf doa unghiuri cu acelasi varf si laturile unuia in prelungirea laturilor celuilalt
daca doua laturi sunt opuse la varf atunci ele sunt congruente
Cazurile de congruenta a triunghiurilor
se distig trei cazuri de congruenta :
cazul L.U.L: - doua triunghiuri oarecare care au doua laturi si unghiul cuprins intre ele respectiv congruente, sunt congruente
cazul U.L.U: doua triunghiuri oarecare care au cate o latura si unghiurile alaturate ei respectiv congruente, sunt congruente
cazul L.L.L: doua triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente, sunt congruente
pentru a dovedica doua segmente (doua unghiuri) sunt congruente, cautam sa incadram segmentele (unghiurile) respective in doua triunghiuri a caror congruenta poate fi demonstrata
Perpendicularitate in plan. Drepte perpendiculare
se numesc drepte perpendiculare doua drepte concurnte care formeaza un unghi drept → se formeaza patru unghiuri drepte
notatie : d1 ┴ d2
prin distanta de la un punct la o dreapta se intelege lungimea perpendicularei din punct pe dreapta
se numeste mediatoarea unui segment dreapta perpendiculara pe segment in mijlocul segmentului
doua triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente, sunt congruente
doua triunghiuri dreptunghice care au cite o cateta si un unghi ascutit alaturat acesteia respectiv congruente, sunt congruente
doua triunghiuri dreptunghice ce au ipotenuzele si cate o cateta respectiv congruente, sunt congruente
Paralelism. Drepte paralele
doua drepte distincte a si b, continute in acelasi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele
daca doua drepte formeaza cu o secanta o pereche de unghiur alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele si reciproc
notatie : a║b
Proprietatile triunghiului.
suma masurilor unghiurilor unui triunghi este egala cu 180 o
intr-un triunghi echilateral, masura unui unghi este 60 o
intr-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascutite sunt complementare
un triunghi isoscel in care masura unuia dintre unghiuri este 60 o este echilateral
se numeste unghi exterior al unui triunghi, un unghi care este adiacent si suplementar cu un unghi al triunghiului
masura unui unghi exterior al unui triunghi este egala cu suma masurilor celor doua unghiuri ale triunghiului neadiacente cu el
bisectoarea unui unghi exterior al unui triunghi se numeste bisectoare exterioara a triunghiului corespunzatoare unghiului respectiv
bisectoare exterioara si interioara a aceluiasi unghi sunt perpendiculare
Triunghiul isoscel
se numeste triunghi isoscel triunghiul care are doua laturi congruente
proprietatile triunghiului isoscel :
daca un triunghi este isoscel, atunci unghiurile opuse laturilor congruente, sunt congruente si reciproc
in orice triunghi isoscel, bisectoarea unghiului din varf, mediana corespunzatoare bazei, inaltimea corespunzatoare bazei si mediatoarea bazei coincid
Triunghiul echilateral
se numeste triunghi echilateral triunghiul care are toate laturile congruente
proprietatile triunghiului echilateral :
unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente
triunghiul cu toate unghiurile congruente este echilateral
in orice triunghi echilateral bisctoarele unghiurilor coincid cu medianele, mediatoarele si inaltimile triunghului
Triunghiul dreptunghic
se numeste triunghi dreptunghic triunghiul care are un unghi drept
intr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unui unghi cu masura de 30 o are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei
in orice triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunzatoare ipotenuzei este egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei
Relatiile intre laturile si unghiurile unui triunghi
intr-un triunghi, unui unghi mai mare i se opune o latura mai mare si reciproc
dintre doua oblice duse dintr-un punct pe aceeasi dreapta, cea "mai departata" de piciorul perpendicularei este "cea mai lunga
intr-un triunghi, lungimea oricarei laturi este mai mica decat suma lungimilor celorlalte doua laturi si mare decat valoarea absoluta a diferentei lor
Patrulatere. Suma unghiurilor unui patrulater
pentru a defini un patrulater sunt necesare patru puncte distincte A, B, C, D astfel incat:
oricare trei puncte sunt necoliniare
oricare doua dintre segmente [AB] si [CD] sau [BC] si [DA] n-au nici un punct interior comun
figura formata din reuniunea [AB] cu [BC] cu [CD] cu [DA] si care indeplineste conditiile 1. si 2. de mai sus, este patrulater
un patrulater se numeste patrulater convex daca, oricare ar fi o latura a sa, cele doua varfuri, nesituate pe latura considerata, se afla pe aceeasi parte a dreptei in care este inclusa latura respectiva
patrulaterul care nu este convex se numeste concav
suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este de 360 o
Paralelogramul
se numeste paralelogram, patrulaterul convex care are laturile opuse paralele doua cate doua
proprietatile paralelogramului:
laturile opuse sunt congruente doua cate doua
unghiurile opuse sunt congruente doua cate doua
unghiurile consecutive sunt suplementare
diagonalele se intersecteaza in parti congruente
un patrulater convex este paralelogram daca:
laturile opuse sunt congruente doua cate doua
unghiurile opuse sunt congruente doua cate doua
diagonalele se intersecteaza in parti congruente
doua laturi opuse sunt paralele si congruente
Dreptunghiul
se numeste dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept
proprietati caracteristice:
are toate unghiurile congruente, deci drepte
are diagonalele congruente
un patrulater convex este dreptunghi daca are toate unghiurile congruente
paralelogramul care are diagonalele congruente este dreptunghi
Rombul
se numeste romb un paralelogram care are doua laturi consecutive congruente
proprietati caracteristice:
toate laturile rombului sunt congruente
diagonalele rombului sunt perpendiculare intre ele
diagonalele rombului sunt bisectoare pentru unghiurile rombului
patrulaterul convex cu toate laturile congruente
paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb
paralelogramul in care o diagonala este bisectoarea unui unghi este romb
Patratul
se numeste patrat un dreptunghi care are doua laturi consecutive congruente
patratul are toate proprietatile dreptunghiului si rombului
intr-un triunghi dreptunghic mediana corespunzatoare ipotenuzei are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei
daca intr-un triunghi o mediana are lungimea cat jumatatea lungimii laturii care ii corespunde, atunci triunghiul este dreptunghic
