1.Notiunea de permutare.
Fie A o multime finita de "n" elemente, adica A=.
O functie bijectiva :A A se numeste permutare (substitutie)
de gradul n.
P:Numarul tuturor permutarilor de ordin n este egal cu n! .
2.Produsul (compunerea) permutarilor.
Fie si doua permutari de acelasi grad n.
Prin compunerea celor doua permutari se intelege o noua
permutare o :A A cu prop. ( oτ)(k)=σ(τ(k)).
3.Proprietati ale compunerii permutarilor.
P1: Asociativitatea compunerii
( o o o( o oricare ar fi Sn
P2: Compunerea permutarilor nu este comutativa
o o
P3: Element neutru
o o oricare ar fi Sn
i)=i permutarea identica
P4: Element simetrizabil
o o
4.Transpozitii
Se numeste transpozitie o permutare de forma i,j) sau (i,j) cu proprietatea
Proprietati:
P1: ij =e
P2: ij ij
P3: ij ji
Numarul tuturor transpozitiilor de ordin n este egal cu Cn
Numarul tuturor transpozitiilor de ordin n este egal cu numarul perechilor (i,j) cu proprietatea ca i<j<n.
5.Inversiunile unei permutari.
Se numeste inversiune intr-o permutare o pereche de elemente (i,j) i<j cu proprietatea ca (i)> (j).
Numarul inversiunilor intr-o permutare se noteaza cu M( ) <= Cn
6.Signatura unei permutari.
Fie Sn. Numarul se numeste signatura (semnul) permutarii
e 1 daca M( ) este par
- daca M( ) este impar
* se numeste permutare para daca are un numar par de
inversiuni.
* se numeste permutare impara daca are un numar impar de
inversiuni.
Teorema 1. Orice transpozitie este o permutare impara.
Teorema 2. Daca Sn atunci e i j (i-j).
Teorema 3. Daca εSn atunci e o e o e
Teorema 4. Daca Sn este o permutare atunci poate fi descompusa ca produs de transpozitii.
Obs: Daca este para ea poate fi descompusa ca produs par de
transpozitii si daca este impara ea poate fi descompusa ca
produs impar de transpozitii.
Aplicatii.
1. Fie permutarile si . Sa se calculeze
2 4 1 3 4 1 2 3
o si o
o o
3 2 4 1 1 3 4 2
2. Sa se determine numarul de inversiuni si signatura pentru
fiecare dintre permutarile urmatoare:
2 3 1
M( ) =2 => e
2 4 1 3
M => e
4 1 2 3
M ) =3 => e
5 3 4 1 2
M ) =8 => e
Fie permutarea = 1 2 3 4 5 . Sa se scrie ca produs de
3 1 2 5 4
transpozitii. Aceeasi problema pentru permutarea
.
o = 1 2 3 4 5 o 1 2 3 4 5 = 1 2 3 4 5 =
1 2 3 5 4 3 1 2 5 4 3 1 2 4 5
o 1 2 3 4 5 o 1 2 3 4 5 = 1 2 3 4 5 =
3 2 1 4 5 3 1 2 4 5 1 3 2 4 5
o = 1 2 3 4 5 o 1 2 3 4 5 = 1 2 3 4 5 = e
1 3 2 4 5 1 3 2 4 5 1 2 3 4 5
= (4,5)o(1,3)o(2,3)
*(1,6)o 1 2 3 4 5 6 o 1 2 3 4 5 6 = 1 2 3 4 5 6 =
6 2 3 4 5 1 6 4 5 3 2 1 1 4 5 3 2 6
(2,5)o 1 2 3 4 5 6 o 1 2 3 4 5 6 = 1 2 3 4 5 6 =
1 5 3 4 2 6 1 4 5 3 2 6 1 4 2 3 5 6
(3,4)o 1 2 3 4 5 6 o 1 2 3 4 5 6 = 1 2 3 4 5 6 =
1 2 4 3 5 6 1 4 2 3 5 6 1 3 2 4 5 6
(2,3)o = e
= (1,6)o(2,5)o(3,4)o(2,3).
4. Fie permutarea S2n
= 1 2 3 4. n n+1 n+2. 2n
1 3 5 7. 2n-1 2 4 . 2n .
Sa se determine numarul inversiunilor permutarii
Sa se determine "n" astfel incit sa fie para (respectiv impara).
M( )=1+2+3+.+ n-1=n(n-1)/2
5. Sa se determine
numarul inversiunilor permutarii
M( )=1+2+3+4+ . +n = n(n+1)/2
6. Determinati S astfel incit
7. Rezolvati in S ecuatia:
oX=Xo = 1 2 3 4 5
2 3 1 5 4
X= 1 2 3 4 5
a b c d e
Xo = 1 2 3 4 5 o 1 2 3 4 5 = 1 2 3 4 5
a b c d e 2 3 1 5 4 b c a e d
oX= 1 2 3 4 5 o 1 2 3 4 5 = 1 2 3 4 5
a b c d e a b c d e
=> a b
σ(b c
σ(c a
σ(d e
e =d => d,e
CAZUL I: d=4
e=5
=> a =b
σ(b =c
σ(c =a
i) a=1 => =b dar (1) =2 => b=2
b c => c dar (2) =3 => c
σ(c
=> X = 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
ii a => b dar (2) =3 => b
σ(b c => c dar (3) =1 => c
σ(c
=> X = 1 2 3 4 5
2 3 1 4 5
iii a => b dar (3)=1 => b
σ(b c => c dar (1)=2 => c
=>X 1 2 3 4 5
3 1 2 4 5
CAZUL II: d=5
e=4
i) a=1
=> X = 1 2 3 4 5
1 2 3 5 4
ii) a=2
=> X = 1 2 3 4 5
2 3 1 5 4
iii) a=3
=> X = 1 2 3 4 5
3 1 2 5 4.
8. Fie permutare u = 1 2 3 4 . Sa se arate ca nu exista nici o
3 4 2 1
permutare X S , astfel incit X² =u.
(X²) = 1
(u) =-1 => nu exista X.
9. Fie permutarea = 1 2 3 4 5 6 . Sa se determine i si j astfel
6 4 i 3 j 1
incit sa fie o permutare para (respectiv impara).
i=2 sau i=5
j=5 j=2
*i=2 si j=5
=> e =-1 => permutarea este impara
*i=5 si j=2
=> e =1 => permutare este para.
10. Se dau numerele reale strict pozitive a <a <.<an
Pentru ce permutare Sn suma
este maxima.
Fie o (k,j)
11. Se dau numerele reale strict pozitive a <a <.<an. Pentru ce permutare Sn produsul
(r se s sunt doua
numere naturale >=1).
o(k,j)
12. Pentru ce permutare Sn suma
este minima?
Fie σo
(k,j)
13. Se dau numerele reale a1<a2< . <an.
Pentru ce permurare Sn suma
este maxima?
Fie
σo
(k,j)
