Punctul A ▪ A
Dreapta d sau dreapta AB d A B
Semidreapta OA, notata [OA O A
Segmentul AB, notat [AB] A B 48532zyu61ptl1k
Orice multime nevida de puncte este o figura geometrica
Definitie :
Punctul, dreapta si planul sunt multimi de puncte, deci sunt figuri geometrice.
- MN puncte distincte sau diferite
- E=F puncte identice sau confundate yt532z8461pttl
Mai multe puncte care apartin aceleiasi drepte se numesc puncte coliniare.
Definitie :
D
A B ● C a
Prin doua puncte distincte trece o dreapta si numai una
Axioma dreptei :
Definitii :
Pentru doua puncte A si B, segmental AB este multimea ale carui elemente sunt A,B, impreuna cu toate punctele care sunt intre A si B.
Punctele A si B se numesc capetele lui [AB]. A B
Fie A si B doua puncte diferite. Semidreapta AB este multimea :
[AB]este intre A si B} C A B M
Punctul A se numeste originea lui [AB
Daca A este intre B si C, atunci [ AB si [ AC se numesc semidrepte opuse.
C A B
Orice dreapta d dintr-un plan il imparte in doua semiplane, numite semiplane opuse.
? Dreapta d nu este inclusa in nici unul din semiplane.
? Daca 2 puncte sunt in acelasi semiplan, atunci
seg. care le uneste este in acelasi semiplan, > seg.
care le uneste este in acel semiplan si deci nu inters.
dreapta d.
semiplan A
d B M
semiplan N
Doua drepte care au un singur punct comun se numesc drepte concurente. O a
; O este punctual de intersectie b
Doua drepte a si b din acelasi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele
a ¦ b a
?
b
Doua drepte nesituate in in acelasi plan se numesc drepte necoplanare. a
= ? b
Doua figuri geometrice se numesc congruente daca prin suprapunere coincid.
Lungimea unui segment este numarul care exprima de cate ori o unitate de masura se cuprinde in segmental respective.
Distanta dintre doua puncte A si B, notata AB, este lungimea lui [AB].
?Punctul M este intre A si B daca A, M si B sunt puncte diferite doua cate doua pe aceeasi dreapta si AM+MB=AB.
?Doua segmente care au lungimi egale sunt segmente congruente si reciproc, doua segmente congruente au lungimi egale.
Daca [AB] este congruent cu [CD] scriem [AB]=[CD]
- Mijlocul unui segment este acel punt al segmentului care-l imparte in doua segmente congruente.
Definitii:
• Daca cele doua semidrepte care formeaza un unghi sunt semidrepte opuse, atunci unghiul se numeste unghi alungit sau unghi cu laturile in prelungire.
B O A este unghi alungit
• Un unghi format din doua semidrepte identice se numeste unghi nul.
O M N este unghi nul
• Un unghi care nu este nici alungit si nici nul se numeste unghi propriu.
• Interiorul unui unghi propriu AOB este multimea punctelor M din planul unghiului AOB a.i. M si B sunt de aceeasi parte a dreptei OA si M si A sunt de aceeasi parte a dreptei OB.
• Exteriorul unghiului propriu AOB este multimea punctelor din planul unghiului AOB care nu este nici pe laturi , nici in interiorul sau. exterior B interior
O • M
Exterior exterior A
Numarul de grade ale unui unghi se numeste masura sa.
Daca are n grade, scriem
Unghiul cu laturile in prelungire are .
Unghiul nul are .
Axioma de adunare a unghiurilor
Doua unghiuri cu masuri egale sunt congruente si reciproc, doua unghiuri congruente au masuri egale.
Un grad are 60 de minute
Un minut are 60 de secunde.
Daca M este in interiorul unghiului AOB atunci
B M
A
Pentru a aduna masurile a doua unghiuri exprimate in grade, minute si secunde se aduna numerele care reprezinta unitati de acelasi fel (grade, minute, secunde). Daca numarul minutelor sau secundelor obtinute este m. mare de 60 se transforma in unitati mai mari.
Exemplu:
Pentru a scadea masurile a doua unghiuri expr. in grade, minute si secunde se scad numerele care reprezinta unitati de acelasi fel. Daca nr. de min. sau sec. de la descazut este m.mic decat cel de la scazator, se transforma un grad in minute sau un minut in secunde si se adauga la cele existente, apoi se efectueaza scaderea.
Exemplu: a)
b)
Definitii:
Doua unghiuri proprii care au varful comun , o latura comuna, iar celelalte doua sunt situate de o parte si de alta a dreptei care contine latura comuna, se numesc unghiuri adiacente.
Se numeste bisectoarea unui unghi propriu semidreapta cu originea in varful unghiului, situata in interiorul lui, a.i. cele doua unghiuri formate de ea cu laturile unghiului initial sa fie congruente.
C A
B
Doua unghiuri proprii pentru care suma masurilor este , se numesc unghiuri suplementare. Fiecare dintre cele doua unghiuri se numeste suplementul celuilalt.
C M
A P Unghiurile ABC si MNP sunt suplementare
este suplementul si invers.
B N
Daca laturile necomune a doua unghiuri adiacente sunt semidrepte opuse, atunci unghiurile sunt suplementare. A
B O A
Teorema: Daca doua unghiuri sunt congruente, atunci si suplementale lor sunt congruente
Ipoteza: si suplementul si suplementul
Concluzie: Demonstratie
AFIRMATII |
EXPLICATII |
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. |
Dat in ipoteza Unghiurile congruente au masuri egale Definitia unghiurilor suplementare Definitia unghiurilor suplementare Simetria si tranzitivitatea Scaderea egalitatilor 5. si 2. Unghiurile cu masuri egale sunt congruente.
|
Definitii:
Se numeste unghi drept orice unghi care este congruent cu suplementul sau.
Daca suma masurilor a doua unghiuri proprii este atunci ele se numesc complementare, iar fiecare dintre ele se numeste complement al celuilalt.
obtuz ascutit
Daca doua unghiuri sunt congruente, atunci complementele lor sunt congruente.
Definitii:
Daca [AB si [AC formeaza un unghi drept, atunci ele se numesc drepte perpendiculare si se noteaza [AB [AC.
Daca [AB [AC., dreptele AB si AC se numesc drepte perpendiculare si se noteaza ABAC.
Daca [AB [AC. determina dreptele perpendiculare AB si AC, atunci ele se numesc segmente perpendiculare si se noteaza [AB] [AC].
-
Teoreme:
Daca duoa unghiuri sunt complementare, atunci amandoua sunt ascutite
Orice doua unghiuri drepte sunt congruente.
Daca doua unghiuri sunt congruente si suplementare, ? fiecare dintre ele este drept.
Definitii:
Doua unghiuri proprii se numesc opuse la varf daca laturile lor formeaza doua perechi de semidrepte opuse.
Teorema unghiurilor opuse la varf
Unghiurile opuse la varf sunt congruente C O B
Ipoteza : si sunt opuse la varf.
Concluzie : D A
Demonstratie :
Demonstratie
AFIRMATII |
EXPLICATII |
1. sunt opuse la varf
2. <[OA si [OC; [OB si [OD semidry. opuse
3. sunt suplementare
4. sunt suplementare
5. <BOC<AOD
6. <AOB<COD |
Dat in ipoteza Definitia unghiurilor opuse la varf
3.4.Unghiuri adiacente cu lat. Necomune semidrepte opuse
Reflexivitatea congruentei Teorema suplementului
|
Definitii:
Trei sau m.multe unghiuri care au varful comun, nu au puncte interioare commune si care, impreuna cu interioarele lor, acopera intreg planul, se numesc unghiuri in jurul unui punct.
Teorema unghiurilor in jurul unui punct
B
A’
Suma masurilor unghiurilor in jurul unui punct este 360°
C O A
A’ este interior <BOC <AOB si <BOA’ sunt suplementare
<A’OC si <COA sunt suplementare
<AOB si <BOA’ sunt adiacente
<A’OC si <COA sunt adiacente
[OA’ si [OA sunt opuse
Demonstratie :
Teorema:
Daca la intersectia a doua drepte distincte si concurente se formeaza un unghi drept, atunci toate unghiurile care se formeaza sunt unghiuri drepte.
2 1
3 4
< 1 este drept 5.
<1 si < 3 sunt opuse la varf 6.
< 3 este drept 7. <4 este drept
<1 si < 2 sunt suplementare
Demonstratie :
Definitii:
Daca A,B si C sunt trei puncte necoliniare, distincte duoa cate doua, atunci () [AB][AC][BC] se numeste triunghi si se noteaza cu ?ABC.
Orice ?ABC determina trei unghiuri:<BAC, <ABC, <ACB
Acestea se numesc unghiurile triunghiului ABC.
Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor sale.
Un punct este interiorul unui triunghi daca este in interiorul fiecaruia din unghiurile triunghiului.
Un punct este in exteriorul triunghiului daca este in planul acestuia, dar nu este nici pe triunghi si nici in interiorul lui.
?ABC este isoscel A
[AB]=[AC]
[BC] baza
<BAC unghi la varf
<ABC si <ACB B C
unghiuri de baza
Un triunghi cu doua laturi congruente se numeste isoscel.
Latura ramasa se numeste baza.
Cele doua <alaturate bazei se numesc <de baza.
Unghiul opus bazei se numeste <de varf.
Un triunghi cu toate laturile congruente se numeste echilateral.
Un triunghi in care orice doua laturi nu sunt congruente se numeste oarecare sau scalen.
?MNP echilateral M
[MN]=[NP]=PM]
N P
Daca un triunghi are toate unghiurile ascutite, el se numeste triunghi ascutitunghic.
Daca un triunghi are un unghi drept, el se numeste triunghi dreptunghic. Latura care se opune unghiului drept se numeste ipotenuza, iar celelalte doua se numesc catete.
Daca un triunghi are un unghi obtuz, el se numeste obtuzunghic.
Un unghi adiacent si suplementar unui unghi al unui triunghi se numeste unghi exterior al triunghiului.
Ascutitunghic
Cateta ipotenuza
Bateta
obtuzunghic
Intr-un triunghi suma lungimilor oricaror doua laturi este m.mare decat lungimea laturii a treia.
Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este
Congruenta triunghiurilor
?ABC este congruent cu ?MNP, notat ?ABC=?MNP, inseamna A
Sase congruente (sau egalitatile corespunzatoare lor):
[AB]=[MN] sau AB=MN
[AC] =[MP] sau AC=MP B C
[BC] =[NP] sau BC=NP M
<BAC=<NMP sau m(<BAC) =m(<NMP)
<ABC=<MNP sau m(<ABC) =m(<MNP)
<ACB=<MPN sau m(<ACB) =m(<MPN) N P
L.UL. |
Latura-unghi-latura |
U.L.U. |
Unghi-latura-unghi |
L.L.L. |
Latura-latura-latura |
L.U.U. |
Latura-unghi-unghi |
Criteriile de congruenta a triunghiurilor
Metoda triunghiurilor congruente
Pentru a dovedi ca doua segmente (sau doua uhnghiuri) sunt congruente, cautam sa incadram segmentele (sau unghiurile) respective in doua triunghiuri, a caror congruenta o putem demonstra, a.i. segmentele (unghiurile) de care ne ocupam sa fie elemente omoloage.
