Ecuatii si inecuatii logaritmice

Ecuatii si inecuatii logaritmice

1)Ecuatiile logaritmice sunt ecuatii in care expresiile ce contin necunoscute apar ca baza sau ca argument al unor logaritmi.

De exemplu:log_x+1(x+2)=1;lg(x²+x-2)=3;log_x(5x²+3)=lg(2x+3)-1.

Folosind injectivitatea functiei exponentiale,avem ca rezolvarea unei ecuatii de tipul log_g(x)f(x)=b este echivalenta cu rezolvarea ecuatiei f(x)=g(x)^b.Vom avea insa grija ca solutiile obtinute sa satisfaca f(x)>0,g(x)>0,g(x)pentru care expresia log_g(x)f(x) are sens.

La fel ca la ecuatiile exponentiale,in practica atunci cand avem de rezolvat o ecuatie logaritmica,vom proceda astfel:folosind diverse substitutii precum si proprietatile logaritmice,vom cauta s-o reducem la rezolvarea unor ecuatii simple,de regula de gradul intai sau de gradul al doilea.

Exemplu

Sa se rezolve ecuatia:log_x(x²-3x+9)=2.

Obtinem x -3x+9=x² si deci 3x=9,x=3.Deoarece pentru x=3>0,expresia x²-3x+9 este pozitiva,rezulta ca x=3 este solutie a ecuatiei.

Rezolvarea altor ecuatii se bazeaza pe injectivitatea functiei logaritmice,si anume din log_af(x)=log_ag(x),deducem f(x)=g(x),impunand conditiile:f(x)>0,g(x)>0

Exemple

1) Sa se rezolve ecuatia:lg(x²-15)=lg(x-3).Deducem ca x²-15x=x-3,deci x²-x-12=0

adica x₁=4,x₂=-3.Deoarece pentru x₂=-3 obtinem x-3=-3-3=-6<0,rezulta ca x₂=-3 nu este solutie a ecuatiei.Deci numai 4 este solutie.

2)Sa se resolve ecuatia:2lg(x-1)=lgx⁵-lg.In aceasta ecuatie punem de la inceput conditiile x-1>0,x>0,pentru a avea sens expresiile lg(x-1),lg x⁵,lg.

Ecutia se mai scrie 2lg(x-1)=lgx-lgx si deci 2lg(x-1)=2lgx.Prin urmare,lg(x-1)=lgx,de unde obtinem x-1=x,-1=0,contradictie;rezulta deci ca ecuatia data nu are solutii.

3) Sa se rezolve ecuatia:lg(x+7)+lg(3x+1)=2.Punem conditiile de existenta a logaritmilor:x+7>0,3x+1>0,deci x>-.Obtinem lg(x+7)(3x+1)=2 si deci (x+7)(3x+1)=10²=100.Rezulta ecuatia de gradul al doilea 3x²+22x-93=0,de unde rezulta x₁=3,x₂=-.Deoarece -<-,obtinem ca 3 este singura solutie a ecuatiei date.

Observatie

Ecuatia precedenta nu este echivalenta cu ecuatia lg(x+7)(3x+1)=2,care are doua solutii x₁=3,x₂=-,deoarece pentru amandoua aceste valori ale lui x,lg(x+7)(3x+1) are sens.

4) Sa se rezolve ecuatia:log²₃x-3log₃x-4=0.Avem conditia x>0 si facand substitutia log₃x=y,obtinem y²-3y-4=0.Deci y₁=4,y₂=-1.Din log₃x=4.obtinem x=3⁴,x=81,iar din log₃x=-1,obtinem x=3^-1,x=. 

In continuare vom rezolva cateva ecuatii care nu se pot incadra intr-un anumit tip.Astfel,pot aparea ecuatii cu logaritmi scrisi in diferite baze,ecuatii in care apar expresii continand necunoscute si la exponenti si la logaritmi etc.

5)Sa se rezolve ecuatia:log x+log₃x=1.Deducem,aplicand formula de schimbare a bazei, sau lgx=Deci x=10.

6)Sa se rezolve ecuatia:log₃x+log_x3=2.Deoarece log_x3=,rezulta log₃x+=2.Notand log₃x=y,obtinem y+,adica y²-2y+1=0;deci y=1,adica log₃x=1.Prin urmare,x=3.

7)Sa se rezolve ecuatia:x^lgx+2=1000.Punem conditia de existenta a expresiilor:x>0.Logaritmand,obtinem o ecuatie echivalenta lg(x^lgx+2)=lg1000 care devine (lgx+2)lgx=3.Notand lgx=y,avem y²+2y-3=0 si deci y₁=-3,y₂=1.Din lgx=-3,

obtinem x=10^-3,x=0,001,iar din lgx=1,rezulta x