Regula lui l’Hospital

Folosind derivatele se poate stabili o metoda generala care acopera multe din situatiile intalnite si face calculul limitelor mai simplu.

0

a)Incepem cu examinarea cazului –, mai precis al limitelor de forma

0

f(x) 15624qhb89gqh4f

Prelucrand convenabil raportul------ si aplicand teoreme asupra limitelor,

g(x)

putem calcula limita acestuia.

Regula lui l’Hospital.Fixam doua functii reale f,gdefinite pe un interval<a,b> hq624q5189gqqh

si un punct X0 e <a,b>.Presupunem satisfacute urmatoarele conditii:

1.f si g sunt derivabile pe <a,b>\X0 si continue in X0;

2.f(X0)=0,g(X0)=0;

3.g’(X) nu se anuleaza intr-o vecinatate V a lui X0(" XeV\X0);

f’(x)

4.exista limita lim¾¾ =l

g’(x)

f(x)

In aceste conditii,exista limita lim¾¾ =l

g(x)

Demonstratie.Aplicand teorema lui Cauchy rezulta ca pentru orice x e [a,b]

f(x) f(x)-f(x0) f’(c)

I V, ¾ == ¾¾¾¾ = ¾¾ ,cu c=cx situat intre x0 si x.Daca x®x0,atunci

g(x) g(x)-g(x0) g’(c)

f(x)

cx®x0 si ,folosind ipoteza 4 rezulta ca ¾¾ ®l pentru x®x0.Trebuie

g(x)

observat ca nu este nevoie ca f si g sa fie derivabile si in punctulx0;subliniem

de asemenea,includerea cazului cand l=+¥ sau l=-¥ . f(x)

O situatie des intalnita este urmatoarea.Se cere lim ¾ ,stiind ca lim

g(x)

f(x)=0 lim g(x),fara ca functiile f si g sa fie ambele definite in punctul x0.Are loc analogul teoremei enuntate (pentru limite la stanga)si anume:

Fie f,g:[a,x0]®R.Presupunem satisfacute urmatoarele conditii:

1.f si g derivabile pe (a,x0);

2.lim f(x) = lim g(x) =0;

3.g(x) si g’(x) nu se anuleaza intr-o vecinatate V a lui x0,(" x e V I (a,x0));

f’(x)

4.Exista lim¾¾ =l

g’(x)

f(x)

In aceste conditii,lim ¾ exista si este egala cu l.

g(x)

Demonstratia este imediata,de indata ce remarcam ca functiile f1, g1 : :[a,x0]®R,f1(x)=f(x),daca x e[a,x0],f1(x0)=0;g1(x)=g(x),daca x e [a,x0] si g1(x0)=0 sunt continue pe [a,x0] (ele sunt prelungirile prin continuitate in punctul x=x0 ale lui f,respectiv g) si ca se verifica conditiile regulii lui l’Hospital.

Desigur are loc o teorema similara,inlocuind intervalul [a,xo] cu intervalul [xo,b],pentru limite la dreapta.

b)Regula lui l’Hospital ne permite sa tratam si alte cazuri exceptate de

¥ f(x)

pilda cazul ¾ .Daca ne intereseaza lim ¾ si daca f(x)®¥,g(x)®¥,atunci

¥ 1 g(x)

¾

f(x) g(x) 1 1

putem scrie ¾ = ¾ si atunci ¾ ®0, ¾ ®0,reducandu-neastfel la cazul

g(x) 1 g(x) f(x)

¾

0 f(x)

¾,studiat anterior.

0

c)Este interesant ca regula lui l’Hospital se aplica nu numai pentru xo finit,dar si in cazul cand xo este “aruncat la infinit”.Are loc atunci:

Fie f si g doua functii reale definite pe un interval [a,¥),a>0.Presupunem ca:

1.f si g sunt derivabile pe [a,¥);

2.lim f(x) = lim g(x) = l,unde l = 0,¥ sau -¥;

3.g’(x) ¹ 0pentru orice x suficient de mare(x³A,A³a);

f’(x)

4.Exista l = lim ¾¾ ;

g’(x) f(x)

Atunci exista si limita lim ¾¾,egala cu l.

g(x)

(un enunt similar are loc pentru x® -¥)

1

Demonstratie.Presupunem l = 0.Facem schimbarea de variabila x = ¾.

1 u

Intervalul [a,¥) se transforma in (0,¾) in sensul ca,daca x e [a,¥),atunci

1 a 1 1

u e (0,¾ ] si reciproc. Notam j(u) = f(¾),d(u)=g(¾);deoarece l=0,avem

a u u 1 1

lim j(u) = lim d(u) = 0.Derivatele lor vor fi j’(u) = - ¾f’(¾),

1 1 u u

d’(u) = - ¾ g’(¾).Putem aplica functiilor j si d teorema 2 si rezulta:

u u

Cazul l =¥ sau l=-¥ rezulta din b).

In calculul limitelor de functii se recomanda combinarea metodelor elementare cu regula lui l’Hospital.

Cazurile considerate anterior acopera multe din situatiile intalnite. Retinem ca in conditiile teoremelor enuntate,existenta limitei catului derivatelor asigura existenta limitei catului initial,limitele respective fiind egale. 0 ¥

Pana acum am considerat numai cazurile ¾ si ¾.

1. ¥

In cazurile exceptate 0*¥,¥-¥,0 ,¥ ,1 ,nu exista reguli de tip l’Hospital care sa fi direct aplicate si sunt necesare unele prelucrari ale functiei de sub limita.

 

 

Aplicatii

 

1)Sa se calculeze ,folosind regula lui l’Hospital,urmatoarele limite:

2)Cum poate fi utilizata regula lui l’Hospital pentru a calcula:

consideram functia:

si aplicam limita:

2’:

3)Sa se arate ca,desi limita:

exista,regula lui l’Hospital nu poate fi aplicata aici direct.

pentru x®¥ raportul f(x) nu are limita.

4)Se da functia f:R®R,f derivabila pe R cu derivata continua pe R si f’(a)¹0 pentru a fixat.Daca g,h sunt functii derivabile pe R cu derivata continua si daca g’(a)=h’(a)=0si h(a)¹0,atunci limita:

nu depinde de functia f.

Scriitori romani