MATRICI SI DETERMINANTI

MATRICI

1.1. Despre matrici

Acest concept l-am intalnit inca din primul an de liceu, atunci cand s-a pus problema rexolvarii unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute x, y, de forma .

Acestui sistem i-am asociat un teblou patratic, care contine coeficientii necunoscutelor (in prima linie sunt coeficientii lui x, y din prima ecuatie, iar in a doua linie figureaza coeficientii lui x, y din ecuatia a doua): .

Am numit acest tablou matrice patratica (sau matricea sistemului). Pe cele doua coloane ale matricei figureaza coeficientii lui x (pe prima coloana a,) si respectiv coeficientii lui y (pe a doua coloana b, ).

Definitie. Se numeste matrice cu m linii si n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii si n coloane

ale carui elemente sunt numere complexe.

Uneori aceasta matrice se noteaza si undesi. Pentru elementul , indicele i arata linia pe care se afla elementul, iar al doilea indice j indica pe ce coloana este situat.

Multimea matricilor de tip cu elemente numere reale se noteaza prin . Aceleasi semnificatii au si multimile ,,.

Cazuri particulare

O matrice de tipul (deci cu o linie si n coloane) se numeste matrice linie si are forma

.

O matrice de tipul (cu m linii si o coloana) se numeste matrice coloana si are forma

.

O matrice de tipse numeste nula (zero) daca toate elementele ei sunt zero. Se noteaza cu O

.

Daca numarul de linii este egal cu numarul de coloane, atunci matricea se numeste patratica.

.

Sistemul de elemente reprezinta diagonala principala a matricii A, iar suma acestor elemente se numeste urma matricii A notata Tr(A). Sistemul de elemente reprezinta diagonala secundara a matricii A.

Multimea acestor matrici se noteaza. Printre aceste matrici una este foarte importanta aceasta fiind

si se numeste matricea unitate (pe diagonala principala are toate elementele egale cu 1, iar in rest sunt egale cu 0).

1.2. Operatii cu matrici

Egalitatea a doua matrici

Definitie. Fie,. Spunem ca matricile A, B sunt egale si scriem A = B daca =, ,.

Exemplu: Sa se determine numerele reale x, y astfel incat sa avem egalitatea de matrici

.

R. Matricile sunt egale daca elementele corespunzatoare sunt egale, adica:

        Rezolvand acest sistem gasim solutia x = 1, y = -3.

1.2.2. Adunarea matricilor

Definitie. Fie,,. Matricea C se numeste suma matricilor A, B daca: =+, ,.

Observatii

Doua matrici se pot aduna daca sunt de acelasi tip, adica daca au acelasi numar de linii si acelasi numar de coloane, deci A, B .

Explicit adunarea matricilor A, B inseamna:

+=.

Exemplu: Sa se calculeze A + B pentru:

1. ;

2.

R. 1. Avem

2. Avem

.

Proprietati ale adunarii matricilor

(Asociativitatea adunarii). Adunarea matricilor este asociativa, adica:

, A, B, C .

(Comutativitatea adunarii). Adunarea matricilor este comutativa, adica:

, A, B.

(Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nula ca element neutru, adica astfel incat A += A, A.

(Elemente opuse). Orice matrice A are un opus, notat, astfel incat

.

1.2.3. Inmultirea cu scalari a matricilor

Definitie.Fie C si A =. Se numeste produsul dintre scalarul C si matricea A, matricea notata definita prin =.

Obs.: A inmulti o matrice cu un scalar revine la a inmulti toate elementele matricii cu acest scalar.

Deci =.

Exemplu Fie . Atunci 6A = .

Proprietati ale inmultirii matricilor cu scalari

, C, A;

,C, A, B;

,C, A;

,1C, A;

1.2.4. Inmultirea matricilor

Definitie. Fie A =, B =. Produsul dintre matricile A si B (in aceasta ordine), notat AB este matricea C = definita prin

, ,.

Observatii

Produsul AB a doua matrici nu se poate efectua intotdeauna decat daca A, B, adica numarul de coloane ale lui A este egal cu numarul de linii ale lui B, cand se obtine o matrice C = AB.

Daca matricile sunt patratice A, B atunci are sens intotdeauna atat AB cat si BA, iar, in general, ABBA adica inmultirea matricilor nu este comutativa.

Proprietati ale inmultirii matricilor

(Asociativitatea inmultirii). Inmultirea matricilor este asociativa, adica

,A,B,C.

(Distributivitatea inmultirii in raport cu adunarea). Inmultirea matricilor este distributiva in raport cu adunarea matricilor, adica

A, B, C matrici pentru care au sens operatiile de adunare si inmultire.

Daca este matricea unitate, atunci

A.

Se spune ca este element neutru in raport cu operatia de inmultire a matricilor.

1.2.5. Puterile unei matrici

Definitie. Fie A. Atunci, , , ., , n. (Convenim ).

TEOREMA Cayley - Hamilton. Orice matrice A isi verifica polinomul caracteristic .

Pentru n = 2.

.

polinom caracteristic

Generalizat.

DETERMINANTI

2.1. Definitia determinantului de ordin n

Fie A= o matrice patratica. Vom asocia acestei matrici un numar notat det(A) numit determinantul matricii A.

Definitie. Daca A= este o matrice patratica de ordinul intai, atunci

det(A) =.

Definitie. Determinantul matricii este numarul

si se numeste determinant de ordin 2. Termenii , se numesc termenii dezvoltarii determinantului de ordin 2.

Definitie. Determinantul matricii

este numarul

si se numeste determinant de ordin 3. Termenii care apar in formula se numesc termenii dezvoltarii determinantului.

Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaza trei tehnici simple:

Regula lui Sarrus

Fie determinantul de ordin 3, Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizeaza tabelul de mai jos.

(am scris sub determinant

primele doua linii)

Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonala descendenta este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: .

Produsul elementelor de pe o diagonala ascendenta este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse: .

Suma celor sase produse da valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeste "regula lui Sarrus".

Regula triunghiului

Am vazut ca determinantul de ordin trei are in dezvoltarea sa sase termeni, trei cu semnul plus si alti trei cu semnul minus.

Primul termen cu plus se gaseste inmultind elementele de pe diagonala principala, iar ceilalti doi, inmultind elementele situate in varfurile celor doua triunghiuri care au o latura paralela cu cu diagonala principala. Dupa aceeasi regula, referitoare la diagonala secundara, se obtin termenii cu minus.

Obs.: Atat "regula lui Sarrus" cat si "regula triunghiului" se aplica numai determinantilor de ordin 3.

Exemplu. Sa se calculeze prin cele doua metode de mai sus determinantul

R. Regula lui Sarrus.

Regula triunghiului

Recurent (sau dezvoltare dupa o linie sau o coloana)

Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilalti cu semnul minus.

Are loc urmatoarea proprietate:

, (1)

= . (2)

Observatii

Egalitatea (1) se mai numeste dezvoltarea determinantului dupa elementele liniei intai, iar egalitatea (2) se numeste dezvoltarea determinantului dupa elementele coloanei intai.

Formulele (1) si (2) sunt relatii de recurenta, deoarece determinantul de ordin 3 se exprima cu ajutorul unor deteminanti de ordin inferior (2).

2.2. Definitia determinantului de ordin n

Voi defini in continuare determinantul de ordin n prin recurenta cu ajutorul determinantilor de ordin n - 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizari.

Fie A=.

Definitie1. Se numeste minor asociat elementului determinantul matricii patratice de ordin n - 1 obtinut prin suprimarea liniei i si coloanei j din matricea A. Se noteaza acest minor prin sau .

Definitie2. Se numeste complement algebric al elementului numarul . Exponentul al lui (-1) este suma dintre numarul liniei i si coloanei j pe care se afla .

Definitie. Determinantul matricii A=de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complementii lor algebrici adica

.

Observatii

Elementelor, liniilor si coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile si coloanele determinantului

.

Formula din definitie spunem ca reprezinta dezvoltarea determinantului de ordin n dupa elementele primei linii.

Definitia determinantului de mai sus este inca putin eficienta (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietati ale determinantilor care sa fie comode atat din punct de vedere al teoriei si din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprietati le prezint in paragraful urmator.

Continuand cu explicitarea determinantilor de ordin n - 1 din definitie se obtine pentru o suma de produse de elemente din determinant, fiecare produs continand elemente situate pe linii si coloane diferite.

Determinantul este o functie .

Exemplu Sa se calculeze determinantul de ordin 4:

.

R. Aplicam definitia data mai sus pentru n = 4 si dezvoltam determinantul dupa elementele liniei intai. Avem:

=

=,

unde determinantii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinantii de ordin 3.

2.3. Proprietatile determinantilor

Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adica daca A, atunci .

Demonstratie. Fie si .

Atunci , iar . Prin urmare .

Daca toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.

Demonstratie. Avem si .

Daca intr-o matrice schimbam doua linii (sau doua coloane) intre ele obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii initiale.

Demonstratie. Prin schimbarea liniilor sa arat ca avem egalitatea . Avem evident .

Daca o matrice are doua linii (sau coloane) identice, atunci determinantul sau este nul.

Demonstratie. Verific pentru linii (si tot odata pentru coloane). Avem:

.

Daca toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt inmultite cu un numar , obtinem o matrice al carei determinant este egal cu inmultit cu determinantul matricii initiale.

Demonstratie. Verificam pentru linii proprietatea.

.

Daca elementele a doua linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proportionale, atunci determinantul este nul.

Demonstratie. Verificam pentru linii.

.

Daca linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinanti corespunzatori matricelor care au aceleasi linii ca A, cu exceptia liniei i unde au cate unul din cei doi vectori.

.

Demonstratie. Am de aratat ca:

.

Intr-adevar membrul stang este egal cu . Membrul drept este si egalitatea se verifica.

Obs.: O proprietate analoga are loc si pentru coloane.

Daca o linie (o coloana) a unei matrici patratice este o combinatie liniara de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.

Daca la o linie (o coloana) a matricii A adunam elementele altei linii (coloane) inmultite cu acelasi numar, atunci aceasta matrice are acelasi determinant ca si matricea A.

Demonstratie. Voi aduna la linia intai linia a doua inmultita cu . Vom nota acest fapt prin . Avem:

.

A.

Daca A= este o matrice triunghiulara (sau diagonala), atunci . (Valoarea determinantului este egala cu produsul elementelor de pe diagonala principala).

Daca A, B, atunci (Determinantul produsului a doua matrici patratice este egal cu produsul determinantilor acelor matrici).

In particular n.

Teorema. Determinantul unei matrici A este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii si complementii lor algebrici, adica

.

(Formula lui da dezvoltarea determinantului dupa elementele liniei i).

Aceasta teorema permite sa calculam determinantul unei matrici dupa oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (cat mai usor) mai multe zerouri.

Observatie: Tinand seama de proprietatea teorema precedenta are loc si pentru coloane sub forma:

.

2.4. Calculul inversei unei matrici

Definitie. Fie A. Matricea A se numeste inversabila daca exista matricea B cu proprietatea ca , fiind matricea unitate.

Matricea B din definitie se numeste inversa matricii A si se noteaza . Deci

.

Teorema. Matricea A este inversabila daca si numai daca O astfel de matrice se numeste nesingulara.

Constructia lui presupune urmatorii pasi:

Pasul 1. (Constructia transpusei)

Daca ,

atunci construim transpusa lui A .

Pasul 2. (Constructia adjunctei)

Matricea

obtinuta din , inlocuin fiecare element cu complementul sau algebric se numeste adjuncta matricii A.

Pasul 3. (Constructia inversei) Se tine cont de teorema precedenta si se gaseste ca:

iar de aici

Ultimele egalitati arata ca

2.5. Ecuatii matriciale

Voi prezenta in continuare o tehnica de rezolvare a unor ecuatii de forma , , , unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matricea de aflat. Astfel de ecuatii se numesc ecuatii matriciale.

Astfel de ecuatii se pot rezolva numai atunci cand A, B sunt matrici patratice inversabile.

Pentru rezolvarea ecuatiei inmultim la stanga egalitatea cu si avem:

.

Deci solutia ecuatiei date este .

Pentru determinarea solutiei ecuatiei vom inmulti la dreapta cu si analog vom gasi , solutia ecuatiei matriciale.

Pentru gasirea solutiei ecuatiei inmultim egalitatea la stanga cu si la dreapta cu si obtinem .

APLICATII

1. Manual

pg. 67 Sa se determine numerele reale x, y, z astfel incat sa aiba loc egalitatea de matrici, in cazurile

1)

2)

3)

I.        daca , atunci

II.     daca , atunci

4)

pg. 71 1. Sa se calculeze in cazurile:

1) , .

2) ,

2. Se considera matricile

, , .

Sa se determine m, n, p astfel incat .

.

Deci

pg. 75 1. Se considera matricile .

, .

Sa se calculeze: , .

pg. 87 1. Calculati produsele de matrici , unde

a) si

b) si

c) si

d) si

e) si

2. Sa se calculeze , daca:

;

3. Fie . Sa se calculeze , .

Inductie matematica

(A)

Deci .

pg. 120 1. Calculati determinantii de ordinul doi:

1)

2)

3)

2. Calculati determinantii de ordinul trei:

1)

2)

3)

3. Calculati determinantii urmatori:

1)

2)

4. Sa se rezolve ecuatiile:

1)

Deci .

5. Sa se rezolve ecuatiile:

1)

6. Fie pentru care . Sa se arate ca , .

Pentru x = 0 si y = 1

Pentru x = 1 si y = 0

Pentru x = 1 si y = 1

Pentru x = 1 si y

Deci

2. Bacalaureat

pg. 94 1. Sa se determine matricea X din ecuatia

2. a) Gasiti matricea X astfel incat

b) Sa se determine m astfel incat sistemul urmator sa fie compatibil si apoi rezolvati-l:

a)

Deci .

b)

3. a) Fie matricea A; , . Sa se calculeze si si apoi sa se determine, in functie de n.

b) Sa se afle numere reale astfel incat

a)

Inductie matematica

(A)

Deci .

b)

Deci .

4. a) Sa se determine astfel incat:

b) Sa se detrmine matricea A astfel incat:

a)

b)

.

pg. 147 1. Sa se rezolve ecuatia:

2. Daca sunt radacinile ecuatiei sa se calculeze determinantul .

BIBLIOGRAFIE

1. Mircea Ganga, Manual de Matematica, Elemente de Algebra liniara, si geometrie analitica, clasa a XI-a, Editura Mathpress,

2. Gh. Andrei, D. Barbosu, Gh. Boroica, Admiterea in invatamantul superior, Editura Gil,

3. Dan Branzei, Sorin Ulmeanu, Matematica in concursurile scolare, Editura Paralela 45, 2000

C. Nastasescu, C. Nita, Culegere de probleme pentru liceu, Algebra, Editura Rotech Pro, 1999

Caiet de notite