REZOLVAREA PROBLEMELOR-TIP
Prin problema tipica intelegem acea constructie matema- tica a carei rezolvare se realizeaza pe baza unui anumit algoritm specific fiecarui tip. O asemenea problema se considera teoretic rezolvata in momentul in care i-am stabilit tipul si suntem in posesia algoritmului de rezolvare.
IV.3.1Probleme care se rezolva prin
metoda figurativa(metoda grafica)
Metoda figurativa este o metoda ce consta in reprezen ta- rea printr-o figura a marimilor necunoscute si fixarea in acest desen a relatiilor intre ele si marimile date in problema.
Figura reprezinta o schematizare a enuntului, pentru a se pastra in atentie relatiile matematice si nu toate aspectele concret. Rezolvitorul de probleme de aritmetica simte nevoia sa-si« apropie » datele problemei, precum si relatiile dintre acestea din textul enuntului. Pentru aceasta realizeaza un desen, o figura, un model, care sa oglindeasca datele problemei.Daca rezolvitorul este « la inceput de drum » desenul sau este cat mai detaliat, iar pe masura ce el isi formeaza unele priceperi si deprinderi, figura devine cat mai abstracta, cat mai schematica, ea « prinzand » in cadrul modelului numai esentialul.
Problemele care se rezolva prin metoda figurativa le putem imparti in doua mari categorii si anume :
A.Cu date sau marimi « discrete » intelegand prin aceasta ca marimile pot fi numarate cate una si ca se pot pune in corespondenta dupa anumite criterii. In acest caz marimile le "figuram" prin simboluri.
B.Cu date sau marimi « continui »,caz in care, le figuram
prin segmente.
APLICATII
Problema 1.Daca se asaza cate un elev intr-o banca raman 14 elevi in picioare. Daca asezam cate 2 elevi intr-o banca ra -man 3 banci libere. Cati elevi si cate banci sunt ?
Scriem datele :
1elev.....1banca..14elevi.2elevi..1banca...3banci.. ....?elevi.?banci.
Observam ca datele problemei sunt marimi carora le-am zis « discrete »(banci si elevi),marim care se pot pune in coresponden- ta dupa criterii desprinse din analiza textului. Deci din analiza primei parti a enuntului desprindem ca multimea elevilor si multi- mea bancilor pot fi in asa fel « privite » incat elementele lor sa fie organizate astfel: fiecarui elev ii corespunde o banca, situatie in care 14 elevi raman in picioare, deci nu au loc.
Figuram banca cu B si elevul cu e. Asezam cate un elev intr-o banca. Obtinem grupe de forma :
e e e e e...e 14 elevi
B B B B B..B
Acum, legatura cu partea a doua a enuntului s-ar face astfel :cei 14 elevi ce erau in picioare vor completa 14 banci pana la doi elevi.
e e e e e..e..e e....e
B B B B B.B..B B...B
e e e e e..e...e
14 B nu stim cate
Deoarece enuntul mentioneaza ca asezandu-i cate doi intr-o banca raman 3 banci libere, inseamna ca din aceste banci s-au mai ridicat 3 elevi ( initial fiecare banca avea cate un elev ) care au completat ca si ceilalti colegi ai lor inca trei banci cu doi elevi.
e e e e...e e e e
B B B B..B B B B B B B
e e e e...e e e e
14 B 3 B 3 B
Sa recapitulam deci : avem 14 banci cu cate doi elevi com-
pletate de cei 14 elevi ce erau in picioare si inca 3 banci cu doi elevi completate astfel prin ridicarea din 3 banci care trebuie sa ramana libere si, in fine, raman 3 banci libere.
Deci in acea clasa erau :
14+3+3=20 (banci)
Aflarea numarului de elevi, in continuare, nu mai constituie o greutate. Il putem afla din prima parte a enuntului :
20+14=34 (elevi)
Raspuns :20 de banci si 34 de elev
Problema 2.Intr-o curte alearga gaini si purcei.In total sunt 40 de capete si 100 de picioare. Cate gaini si cati purcei erau ?
Comentand enuntul, la prima vedere s-ar parea ca acesta este incomplet deoarec nu se expliciteaza cate picioare are o gaina si cate picioare are un purcel.
Dar, in mod normal, aceste date se subinteleg ( toata lumea stie ca o gaina are 2 picioare si un purcel are4 piciore).
Sa figuram cele 40 de vietati prin niste ovale.
....
40
Acum le desenam picioarele. Dar unde asezam 2 picioare si unde 4 ?Observam ca oricum doua picioare are fiecare vietate sile desenam.Figura apare astfel :
....
40
Am « folosit » 40*2=80 (picioare) si ne-au mai ramas :
100-80=20 (picioare).
Acum asezam picioarele ramase cate doua la fiecare vie- tate care are deja cate doua picioare. Formam astfel "purcei". Asezam
doua picioare la prima, doua picioare la adoua vietate si asa mai departe pana terminam cele 20 picioare ramase. Gasim astfel, numarul de purcei.
........
10 purcei
....
30 gaini
Se va realiza proba :
10*4+30*2=100 (picioare)
In continuare vom rezolva probleme tot prin metoda figurativa cu marimi e se preteaza a fi ilustrate prin segmente.
Problema 3.Un tractor pleaca pe sosea de la kilometrul 0, mergand cu aceeasi viteza. Dupa 2 ore de mers, nu ajunsese la canton ; mai avea pana acolo 14 kilometri. Dupa 5 ore de mers trecuse de acel canton cu 25 de kilometri.
La ce kilometru era situat cantonul ?
Din analiza enuntului trebuie sa retinem o informatie esentiala si anume aceea ca tractorul se deplasa cu o viteza constanta.Constatarea ne sugereaza realizarea unei figuri in care distantele parcurse in fiecare ora sa le putem desena prin seg- mente egale, puse cap la cap.Figuram mai intai soseaua pe care ne-o imaginam rectilinie.
Prin sageata indicam sensul de deplasare. Punctul 0 sa fie kilometrul 0(zero) de unde incepe deplasarea tractorului.Nu stim unde trebuie plasat cantonul. Problema ne spune ca dupa 2 ore de mers,tractorul nu ajunsese la canton.
Convenind ca spatiul parcurs intr-o ora sa-l figuram prin
segmentul ,asezam doua asemenea segmente cap la cap incepand cu
punctul 0. Figura devine :
14 Km
O A C B
Deci dupa 2 ore tractorul ajunge la punctul A. Cantonul va fi situat la dreapta lui A si il materializam prin punctul C, iar pozitia tractorului dupa 5 ore de la plecare in punctul B.
Acum observam pe grafic ca distanta de la A la C este de 14 km, iar distanta de la C la B este de 25 kilometri. Graficul arata astfel :
dupa 2 h
O A C B
14 km 25 km
Rezolvarea problemei apare din citirea graficului.
1.In cate ore parcurge tractorul distanta AB ?
5-2=3 (ore)
2.Ce distanta parcurge tractorul in acest timp ?
14+25=39 (kilometri)
3.Care este viteza tractorului ?
3=13 (kilom
4.Ce distanta parcurge tractorul in 2 ore ?
13*2=26 (kilome
5.La ce kilometru era situat cantonul ?
26+14=40 (kilometri)
Raspuns :viteza tractorului era de 13 km/h
iar tractorul se afla la distanta de 40 kilometri.
Exemplu
Problema. Aflati doua numere daca: suma lor este 840, iar diferenta460.
Rezolvare:
Vom reprezenta cele doua marimi care intervin in problema prin doua segmente.
460 840
Diferenta dintre lungimile celor doua segmente este chiar
diferenta dintre cele doua numere, iar suma celor doua numere este reprezentata de doua segmente de aceeasi lungime si inca un segment ce reprezinta tocmai diferenta de 460. Atunci putem determina numarul mai mic astfel:
(840-460) :2=190,iar numarul mare va fi:
190+460=650
Raspuns :numarul mic este 190 iar numarul mare este 650.
suma sau diferenta lor si raportul lor
Prin raportul a doua numere, in ipoteza ca ele se impart exact, intelegem catul lor. Acesta (catul) ne arata de cate ori un numar este mai mare decat celalalt. Problemele de aflare a doua numere cand cunoscand suma sau diferenta lor si raportul lor, se rezolva tot prin metoda figurativa.
Sa analizam problema urmatoare :
Problema. Aflati doua numere daca suma lor este 480, iar unul dintre ele este de cinci ori mai mare decat celalalt.
Rezolvare :
Figura acestei probleme este asemanatoare cu cea de la problema precedenta, cu observatia ca segmentul mai mare este format din 5 segmente mici, care reprezinta numarul mic, iar suma celor doua numere este practic reprezentata de 6 segmente reprezentand numarul mic.
480
Pentru a afla numarul mic vom efectua :
480 :6=80
fie 480-80=400
Numarul mare poate fi aflat :
fie 5*80=400
Raspuns:numarul mic este 80 iar numarul mare este 400
