Proprietatile determinantilor
Determinantul unei matrici coincide cu
determinantul matricii transpuse, adica daca A
, atunci 
.
Demonstratie.
Fie 
si 
.
Atunci 
, iar 
. Prin urmare .
Daca toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice
sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.
Demonstratie. Avem 
si 
.
Daca intr-o matrice schimbam doua linii (sau doua
coloane) intre ele obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul
determinantului matricii initiale.
Demonstratie.
Prin schimbarea liniilor sa arat ca avem egalitatea 
. Avem evident 
.
Daca o
matrice are doua linii (sau coloane) identice, atunci determinantul
sau este nul.
Demonstratie. Verific pentru linii (si tot odata pentru coloane). Avem:
.
Daca toate
elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt inmultite cu un
numar 
, obtinem o matrice al carei determinant este egal
cu inmultit cu
determinantul matricii initiale.
Demonstratie. Verificam pentru linii proprietatea.
.
Daca
elementele a doua linii (sau coloane) ale unei matrici sunt
proportionale, atunci determinantul este nul.
Demonstratie. Verificam pentru linii.
.
Daca linia i
a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este
egal cu suma a doi determinanti corespunzatori matricelor care au
aceleasi linii ca A, cu exceptia liniei i unde au cate
unul din cei doi vectori.
.
Demonstratie. Am de aratat ca:
.
Intr-adevar
membrul stang este egal cu 
. Membrul drept este 
si egalitatea se
verifica.
Obs.: O proprietate analoga are loc si pentru coloane.
Daca o linie
(o coloana) a unei matrici patratice este o combinatie
liniara de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este
zero.
Daca la o
linie (o coloana) a matricii A adunam elementele altei linii
(coloane) inmultite cu acelasi numar, atunci aceasta
matrice are acelasi determinant ca si matricea A.
Demonstratie.
Voi aduna la linia intai
linia a doua inmultita cu 
. Vom nota acest fapt prin 
. Avem:
.
A.
Daca A=
este o matrice triunghiulara (sau diagonala),
atunci 
. (Valoarea determinantului este egala cu produsul
elementelor de pe diagonala principala).
Daca A,
B, atunci 
(Determinantul
produsului a doua matrici patratice este egal cu produsul
determinantilor acelor matrici).
In
particular 
n
.
Teorema.
Determinantul unei matrici A este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii
si
complementii lor algebrici, adica
.
(Formula lui 
da dezvoltarea
determinantului dupa elementele liniei i).
Aceasta teorema permite sa calculam determinantul unei matrici dupa oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (cat mai usor) mai multe zerouri.
Observatie:
Tinand seama de proprietatea 
teorema
precedenta are loc si pentru coloane sub forma:
.
https://www.scriru.com/14/11/82124639889.php
