PROGRESII

1. SIRURI    

Definitie: O functie definita pe multimea IN* a numerelor naturale nenule cu

valori intr- o multime E se numeste sir de elemente ale multimii E

Moduri de definire a unui sir: Sirul este un caz particular de functie, de aceea

modurile de definire a unei functii se aplica si pentru definirea unui sir

a)     Siruri definite descriptive

De exemplu, sirul (d_n) definit prin: d₁=1, d₂=11, d₃=111, ., d_n=11.1, .

Acesr sir se poate descrie astfel: fiecare termen al sau se scrie cu ajutorul cifrei 1 si numarul cifrelor este egal cu rangul termenului sirului.

b)     Siruri definite cu ajutorul unei formule care permite sa se gaseasca orice termen al sirului

De exemplu, sirul (b_n) astfel incat pentru fiecare n, b_n este dat de formula:

b_n= n²- n +1

Formula care exprima fiecare termen al sirului cu ajutorul rangului sau n, se numeste formula termenului al n- lea al sirului.

c)     Modul recurent de definire a unui sir

De exemlu sirul (b_n) astfel incat b₁=1, b₂=2, b_n+2 = b_n + b_n+1, pentru n

Cunoscand primii doi termeni b₁, b₂ ai sirului si formula putem sa gasim orice termen al acestui sir: b₃ = 1+2 =3, b₄ = 2+3 = 5 .

O formula care exprima orice termen al sirului, de la un rang oarecare, prin precedentii, se numeste recurenta. Printr- un mod recurent de definire a unui sir indicam, de obicei:

primul termen al sirului

formula care permite sa se defineasca orice termen al sirului cu ajutorul termenilor precedenti cunoscuti.

2. PROGRESII ARITMETICE

Definitie: Un sir de numere in care fiecare termen, incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prin adaugarea aceluiasi numar.

Exemplu: Fie sirul (an), adica   a₁, a₂, a₃, ., a_n, . ,

astfel incat a₁ = 3 si a _n+1 = a_n + 2, pentru n 1. Deci a₁ = 3, a₂ = 3+2 = 5,

a₃ = 5+2 = 7, a₄ = 7+2 = 9 etc.

a₁, a₂, a₃, ., a_n, .   este o progresie aritmetica daca, pentru orice k 1, avem

a _k+1 = a_k + r               unde r este un numar constant pentru sirul dat.

Intr- o progresie aritmetica diferenta dintre orice termen si predecesorul sau este egala cu acelasi numar r.

Numarul r se numeste ratia progresiei aritmetice.

Progresia aritmetica (a_n) este complet determinata daca se cunosc primul termen a₁ si ratia r.

Se spune ca numerele a₁, a₂, a₃, ., a_n sunt in progresie aritmetica daca ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Teorema 1.

Orice termen al unei progresii aritmetice a₁, a₂, ., a _n-1, a _n, a _n+1, ., incepand cu al doilea este media aritmetica a termenilor vecini lui.

Reciproca:

Daca un sir de numere are proprietatea ca fiecare termen al sau,

incepand cu al doilea, este media aritmetica a termenilor vecini lui,

atunci acest sir este o progresie aritmetica.

Formula termenului general al unei progresii aritmetice:

Fie a₁, primul termen al progresiei aritmetice si r ratia sa

Atunci a₂ = a₁ + r,

a₃ = a₂ + r = (a₁+r) + r = a₁ + 2r,

a₄ = a₃ + r = (a₁+2r) + r = a₁ + 3r s.a.m.d

Teorema 2.

Termenul general al unei progresii aritmetice este dat de formula: a_n= a₁+(n-1)r

Formula sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Fie (a_n) o progresie aritmetica de ratie r si fie S_n suma primilor n termini ai sai, adica: S_n = a₁ + a₂ + a₃ = . + a _n-1 + a_n

Numerele a_1, a_2, a_3, ., a _n-1, a_n sunt in progresie aritmetica

Teorema 3.

Fie numerele a_1, a_2, a_3, ., a _n-1, a_n in progresie aritmetica. Atunci:

a_k + a _n-k+1 = a₁ + a_n

Suma oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este egala cu suma numerelor extreme.

Suma primilor n termini ai unei progresii aritmetica este egala cu produsul dintre semisuma termenilor extremi ai sumei si numarul termenilor sumei.

PROGRESII GEOMETRICE

Definitie: Un sir de numere al carui prim termen este nenul, iar fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prin inmultirea cu un acelasi numar nenul.

Exemplu: un sir de numere b₁, b₂, b₃, ., b_n, .(b₁ 0)

Este o progresie geometrica daca, pentru orice k 1, avem b _k+1 = b_k q, unde q 0 este un numar constant pentru sirul dat.

Intr-o progresie geometrica catul dintre orice termen si predecesorul sau este egal cu acelasi numar q.

Numarul q se numeste ratia progresiei geometrice.

Progresia geometrica (b_n) este complet determinata daca se cunosc primul termen b₁ si ratia q.

Numerele b₁, b₂, b₃, ., b_n sunt in progresie geometrica daca ele sunt termenii consecutive ai unei progresii geometrice.

Teorema 4.

Orice termen al unei progresii geometrice cu termini pozitivi

b₁, b₂, ., b _n-1, b_n, b _{n+1, .,}

incepand cu al doilea, este media geometrica a termenilor vecini lui.

Pentru orice n 2, b_n =√ b _n-1 b _n+1

Reciproca: Daca un sir de numere cu termeni pozitivi are proprietatea ca fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, este media geometrica a termenilor vecini lui, atunci acest sir este o progresie geometrica.

Formula termenului general al unei progresii geometrice

Fie b₁ primul termen al progresii geometrice si q ratia sa. Deducem:

b₂ = b₁ q,

b₃ = b₂ ·q = (b₁·q)· q = b₁·q²,

b₄ = b₃ · q = (b₁ · q²) · q = b₁ · q³ s.a.m.d.

Teorama 5.

Termenul general al unei progresii geometrice este dat de formula: b_n= b₁ · q ^n-1

Formula sumelor primilor n termini ai unei progresii geometrice

Fie (b_n) o progresie geometrica de ratie q si fie S_n suma primilor n termini ai sai:

Sn = b₁ + b₂ + b₃ + .+ b _n-1 + b_n

Numerele b₁ , b₂ , b₃ ,., b _n-1 , b_n sunt in progresie geometrica. Ca si pentru numere in progresie aritmetica, pentru numerele b₁ , b₂ , b₃ ,., b _n-1 , b_n , care sunt in progresie geometrica, are loc o relatie analoaga: b_kb _n-k+1 = b₁b_n

Produsul oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este egal cu produsul numerelor extreme.