ECUATIA DE GRADUL AL II-LEA

Fie problema:

O casa are baza in forma de dreptunghi, cu lungimea de 13m si latimea de 7,5m. Proprietarul doreste sa-si construiasca o bordura de ciment, de aceeasi latime pe toate laturile casei (vezi desenul). Fondurile pe care le are il obliga la o suprafata construibila de 33m².

x 13m

In conditiile date, care este latimea

maxima pe care o poate avea bordura

casei?

7,5m

Pentru rezolvarea acestei probleme notam cu x, in metri, latimea bordurii si putem scrie urmatoarea ecuatie:

4x² + 41x =33 4x² + 41x -33 = 0

Se observa ca aceasta ecuatie este diferita de tipul de ecuatii invatate anterior. Deoarece necunoscuta x apare si la puterea a doua, aceasta ecuatie spunem ca se numeste de gradul al II-lea.

Forma generala a unei ecuatii de gradul al II-lea este:

ax² + bx + c = 0 (1)

unde a,b,c sunt numere reale, cu a 0. Aceasta ecuatie se numeste de gradul al II-lea cu coeficienti reali.

Rezolvarea ecuatiei (1) presupune determinarea tuturor solutiilor (radacinilor) sale.

Existenta radacinilor reale precum si numarul lor depind de expresia

b² - 4ac (2)

care se numeste discriminantul ecuatiei de gr. al II-lea si se noteaza cu D

Daca discriminantul este pozitiv, atunci ecuatia are doua radacini reale, diferite intre ele:

(3)

In cazul in care D = 0, atunci ecuatia are doua solutii reale, egale:

Putem avea si doua cazuri particulare de rezolvare a ecuatiei (1) si anume:

a)Daca coeficientul b al lui x este nul atunci ecuatia devine:

ax² + c = 0

In aceasta situatie ecuatia are doua solutii reale, egale numai daca c si ele sunt:

b)Daca termenul liber c este egal cu zero. atunci forma ecuatiei este:

ax² + bx = 0

Rezolvarea este:

Ecuatia de gradul al doilea, care are discriminantul D 0, admite si doua forme particulare importante, si anume:

1. Daca in ecuatia (1) coeficientul b al lui x este de forma: b = 2b₁ atunci obtinem: ax² + 2b₁x + c = 0, pentru care discriminantul devine

iar radacinile vor fi de forma                                               .

2. Forma redusa a ecuatiei de gradul al doilea. O ecuatie de gradul al doilea se numeste redusa daca coeficientul lui x² = 1. Forma generala a ecuatiei reduse este: x² + px + q = 0,

unde p, q sunt numere reale.

Daca in relatiile (1), (2), (3) inlocuim a, b, c respectiv cu 1, p, q vom obtine formula pentru radacinile ecuatiei de gradul al doilea sub forma redusa:

Intre coeficientii si radacinile unei ecuatii de gr. al II-lea (1) se poate stabili
un set de relatii cu aplicatie practica:

(4)

Relatiile (4) poarta denumirea de Relatiile lui Viète. Cu aceste relatii se poate deci calcula suma si produsul radacinilor reale ale ecuatiei (1) fara a le afla efectiv.

s = x₁ + x₂ , p = x₁ x₂                                                 

Aceste relatii ne permit sa formam o ecuatie de gr. al II-lea atunci cand cunoastem radacinile, astfel:

x² - sx + p = 0

De utilitate practica mai este si studiul semnelor radacinilor unei ecuatii de gr al II-lea, mai ales cand aceasta este cu parametru. Acest lucru se poate face studiind semnul discriminantului, sumei si produsului radacinilor din relatia (2), respectiv din relatiile lui Viète (4).

Se poate construi urmatorul tabel:

Observatii: 1. Fie s . Ecuatia are radacini reale numai daca p 0. In acest caz avem x₁ +x₂ = 0 adica x₁ = -x₂ .

2. Fie p = 0 . Atunci x₁ = 0 si x₂ = s.

APLICATII

Sa rezolvam ecuatia problemei din introducerea lucrarii:

4x² + 41x - 33 = 0

D

aceasta solutie nu este acceptabila din

punctul de vedere al problemei pentru ca este negativa. Deci bordura casei va avea latimea maxima de 0,75m.

2. Sa se studieze natura radacinilor ecuatiei

mx² +(m - 1)x - (m - 2) = 0 in functie de parametrul real m.

Vom calcula si vom studia, mai intai, semnul pentru D, s, si p.

D= (m -1)² + 4m(m -2)= m² - 2m +1 +4m² - 8m = 5m² - 10m +1

D va fi negativ intre valorile m₁ si m₂ si pozitiv in rest.