Reprezentarea grafica a functiilor I. Domeniul de definitie al functiei, intersectiile cu axele Domeniul de definitie ori este indicat in enunt, ori este subinteles ca domeniul maxim de definitie. I.1 Domeniul de definitie: I.1.1 I.1.2 I.1.3 I.1.4 I.1.5 I.1.6 I.1.7 I.1.8 I.2 Intersectiile cu axele I.2.1 A1(a1,0) A2(a2,0) A3(a3,0) A4(a4,0) x y I.2.2 y x B(0,f(0)) B(0,f(0)) II. Semnul functiei si eventualele simetrii, periodicitate II.1 Semnul functiei II.1.1 se gaseste sub Ox II.1.2 se gaseste deasupra lui Ox a1 b1 y 0 x a2 b2 II.2 Simetriile graficului II.2.1 x=a este axa de simetrie a lui Gf daca D simetrica fata de a f(x+a)=f(x-a) x+a x-a x=a Caz particular x=a: Functiile pare y x 0 II.2.2 S(a,b) centru de simetrie f(x+a) f(x-a) b A S A’ S’ B’ B SS’ – l.m. AA’SS’ 2SS’=AA’+BB’ Caz particular – functii impare (a=b=0) x x O(0,0) In aceste cazuri, graficul Gf se reprezinta pe intervalul [a,+∞), cealalta parte a lui Gf se construieste simetric fata de axa x=a sau centrul S(a,b). II.3 Periodicitate: f se numeste periodica daca f se reprezinta pe un interval de lungime perioada principala (cea mai mica perioada) [0,T] III. Limitele la capete, continuitate, asimptote III.1 Se calculeaza limitele de pe frontierele domeniului de definitie III.2 Se stabileste multimea pe care functia este continua III.3 Asimptote: III.3.1 Se calculeaza asimptotele verticale in punctele de acumulare finite in care functia nu este continua. asimptota verticala la stanga asimptota verticala la dreapta x y
III.3.2 Daca asimptota orizontala la (nu se cauta asimptote oblice !!!) f(x)=ax a>1 y x O (0,1) III.3.3 Daca x y O IV. Derivata intai IV.1 Calculam derivata si stabilim domeniul de derivabilitate. In general, domeniul maxim de definitie ‚ domeniul de derivabilitate cu exceptia: IV.1.1 !!! IV.1.2 !!! IV.1.3 !!! IV.2 Semitangente la grafic IV.2.1 domeniului de derivabilitate => si este finita y-f(x0)=f’(x0)(x-x0) tangenta la Gf in punctul M0(x0,f(x0)) caz particular f’(x0)= 0 => tangenta la Gf in punctul M0(x0,f(x0)) este orizontala M0(x0,y0) d M0(x0,y0) d IV.2.2 tangenta la Gf este verticala M0(x0,f(x0)) f crescatoare f’(x0)= M0(x0,f(x0)) f’(x0)= f descrescatoare IV.2.3 si cel putin una este finita => Gf are semitangenta la stanga d1: y-f(x0)=f’s(x0)(x-x0) si Gf are semitangenta la dreapta d2: y-f(x0)=f’d(x0)(x-x0). M0(x0,f(x0)) punct unghiular. d1 d2 M0(x0,f(x0)) IV.2.4 ambele infinite => M0(x0,f(x0)) punct de intoarcere. M0(x0,f(x0)) M0(x0,f(x0))
IV.3 Punctele critice f’(x)=0 IV.4 Intervalele in care derivata are semn constant a) strict crescatoare pe I b) strict descrescatoare pe I IV.5 Puncte de extrem M(x0,f(x0)) punct de maxim/minim V. Studiul derivatei a doua V.1 Se calculeaza derivata a doua V.2 Se determina semnul derivatei a doua + convexa - concava V.3 Punctele de inflexiune x0 f’’(x0)=0 semne contrare la stanga si la dreapta lui x0 VI. Tablou de variatie Se face un tabel de forma In rubrica dedicata parametrului x se trec valorile remarcabile obtinute la etapele anterioare. In rubricile corespunzatoare lui f’(x) si f’’(x) se trec semnele lui f’ respectiv f’’ obtinute la etapele anterioare. In rubrica f(x) se trec valorile corespunzatoare lui f(x), limitele la capetele intervalelor si simbolurile care indica monotonia, extremele, convexitatea/concavitatea si punctele de inflexiune. VII. Trasarea graficului In sistemul de axe xOy se reprezinta asimptotele, punctele (x,f(x)) preluat din tabelul de variatie si se unesc aceste puncte printr-o linie curba, tinandu-se cont de rezultatele sintetizate in tabelul de variatie.
x
f’(x)
f’’(x)
f(x)
