1. Logaritmi

 

1.Definitia logaritmului unui numar pozitiv

Fie a>0 un numar real pozitiv,a.Consideram ecuatia exponentiala

a^x=N,N>0 (1) 13329vrx47ovb7d

Ecuatia (1) are o solutie care este unic determinata.Aceasta solutie se noteaza

X=log_aN (2)

si se numeste logaritmul numarului pozitiv baza a.

Din (1) si (2) obtinem egalitatea rv329v3147ovvb

a^log_a^N=N (3)

care ne arata ca logaritmul unui numar real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicata baza a (a>0,a)pentru a obtine numarul dat

Daca in (1) facem x=1,obtinem a¹=a si deci

log_aa=1 (4)

Exemple

1. Sa se calculeze log₂32.

Cum 2⁵=32,atunci din definitia logaritmului avem log₂32=5.

2. Sa se determine log_2.

Din egalitatea 2^-4=,obtinem log₂=-4.

3)Sa sa determine log_1/327.

Sa consideram ecuatia exponentiala ^x=27.Cum ^-3=_-3=27,obtinem x=-3

si deci log_1/327=-3.

4)Sa se determine log₄256.

Cum 4⁴=256,atunci din definitia logaritmului obtinem log₄256=4.

 

Observatii

 

1.In practica se folosesc logaritmii in baza zece care se mai numesc si logaritmi zecimali.Acestia se noteaza cu lg in loc de log₁₀;de aceea nu mai este nevoie sa se

specifice baza.Astfel,vom scrie lg106 in loc de log₁₀106 si lg5 in loc de log₁₀5 etc.

2.In matematica superioara apar foarte des logaritmi care au ca baza numarul

irational,notat cu e,e=2,718281828… .Folosirea acestor logaritmi permite simpli-

ficarea multor formule matematice.Logaritmii in baza e apar in rezolvarea unor

probleme de fizica si intra in mod natural in descrierea matematica a unor pro-

cese chimice,biologice.De aceea acesti logaritmi se numesc naturali.Logaritmul

natural al numarului a se noteaza lna.

2.Functia logaritmica

Fie a>0,a un numar real.La punctul 1 am definit notiunea de logaritm in baza a;

fiecarui numar pozitiv N i s-a asociat un numar real bine determinat.Acest lucru ne permite sa definim o functie

f:(0,+),f(x)=log_ax numita functie logaritmica.

 

Proprietatile functiei logaritmice:

1.f(1)=0.

Cum a⁰=1 rezulta ca log_a1=0 si deci f(1)=0.

2.Functia logaritmica este monotona.Daca a>1,atunci functia logaritmica este strict crescatoare,iar daca 0<a<1,functia logaritmica este strict descrescatoare.

Sa consideram cazul a>1 si fie x₁,x₂(0,+) astfel incat x₁<x₂.Cum x₁=a^log_a^x₁ si

X₂=a^log_a^x₂,rezulta ca a^log_a^x₁<a^log_a^x_2.

Dar functia exponentiala fiind crescatoare obtinem ca log_ax₁<log_ax₂,adica f(x₁)<f(x₂).

In cazul 0<a<1,din inegalitatea a^log_a^x₁<a^log_a^x₂ si din faptul ca functia exponentiala cu

baza un numar real 0<a<1 este strict descrescatoare,rezulta ca log_ax₁>log_ax₂,adica

f(x₁)>f(x₂).

3.Functia logaritmica este bijectiva

Daca x₁,x₂(0,+) astfel incat f(x₁)=f(x₂),atunci din log_ax₁=log_ax₂.Dar din egalitatea (3) de la punctul 1 obtinem x₁=a^log_a^x₁ si x₂=a^log_a^x₂,adica x₁=x₂.Deci f este o functie in-

jectiva.

Fie y un numar real oarecare.Notam cu x=a^y.Se vede ca x si log_ax=log_aa^y=y

Deci f(x)=y,ceea ce ne arata ca f este si surjectiva.Asadar,f este bijectiva.

4.Inversa functiei logaritmice este functia exponentiala

Functia logaritmica f:(,f(x)=log_ax,fiind bijectiva,este inversabila.Inversa ei

este functia exponentiala g,g(x)=a^x.

Intr-adevar,daca xavem (gf)(x)=g(f(x))=g(log_ax)=a^log_a^x=x si daca y,atunci

atunci (f^y)=log_aa^y=y.

 

3)Proprietatile logaritmilor

Folosind proprietatile puterilor cu exponenti reali obtinem urmatoarele proprietati

pentru logaritmi:

a.Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci

log_a(AB)=log_aA+log_aB

 

(logaritmul produsului a doua numere este egal cu suma logaritmilor celor doua numere).

Intr-adevar,daca log_aA=x si log_aB=y,atunci a^x=A si a^y=B.Cum a^x+y=a^xa^y,obtinem

A^x+y =A*B si deci log_a(AB)=x+y=log_aA+log_aB.

Observatie.

Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A₁,A₂,...,A_n adica

Log_a(A₁A_2…A_n)=log_aA₁+log_aA₁+log_aA₂+…+log_aA_n.

b.Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci

log_aaA-log_aB

(logaritmul catului a doua numere este egal cu diferenta dintre logaritmul numara-

torului si cel al numitorului).

Intr-adevar,tinand cont de proprietatea a.,avem log_aA=log_a=log_a+log_aB,

de unde rezulta ca log_a=log_aA-log_aB.

Observatie.

Daca punem A=1 si tinem cont ca log_a1=0,obtinem egalitatea:

log_a=-log_aB

c.Daca A este un numar pozitiv si m un numar real arbitrar,atunci

log_aA^m=mlog_aA

(logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si loga-

ritmul numarului).

Intr-adevar,daca log_aA=x,atunci a^x=A.Dar atunci A^m=(a^x)^m=a^mx si deci log_aA^m=mx=

=mlog_aA.

d.Daca A este un numar pozitiv si n un numar natural(n2),atunci

log_a=log_aA/n

(logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si logaritmul numarului).

Intr-adevar, proprieatea d este un caz particular al proprietatii c,punand m=.

 

Exemple

1)Sa se calculeze log₃75.

Log₃75=Log₃(3*25)=Log₃3+Log₃25=1+Log₃5²=1+2Log₃5.

2)Sa se determine log₂1000-log₂125

Avem log₂100-log₂125=log₂=log₂8=log₂2³=3.

3)Sa se calculeze lg0,18-lg180.

Avem lg0,18-lg180=lg=lg=lg10^-3=-3.

4)Sa se calculeze log₆+log_6.

Avem log₆+log₆=-log₆18-log₆12=-(log₆18+log₆12)=-log₆(18*12)=-log₆6³=-3.

5)Sa se calculeze log₂.Avem log₂=log₂81=log₂3⁴=log₂3.

6)Sa se calculeze log_2.Avem log₂=log₂8=log₂2³=log₂2=.

 

4.Schimbarea bazei logaritmului aceluiasi numar

Daca a si b sunt doua numere pozitive diferite de 1,iar A un numar pozitiv oarecare,are loc egalitatea:

Log_aA=Log_bA*Log_ab

Intr-adevar,daca Log_aA=x si Log_bA=y,atunci avem a^x=A si b^y=A,de unde obtinem a^x=b^y.Dar atunci Log_aa^x=Log_ab^y sau xLog_aa=yLog_ab.

Cum Log_aa=1,avem x=yLog_ab,adica Log_aA=Log_bA*Log_ab.

Observatie.

Daca in egalitatea de mai sus A=a,obtinem Log_aa=Log_ba*Log_ab.Cum Log_aa=1,rezulta

ca:

Log_ab=

 

Exemple

1)Sa se scrie log₂x in functie de log₄x.

Avem log₂x=log₄x*log₂4=2log₄x.

2)Sa se arate ca log₂6+log₆2>2.

Avem log₂6+log₆2=log₂6+.

Deci trebuie sa aratam ca log₂6+>2 sau (log₂6)²-2log₂6+1>0,sau inca (log₂6-1)²>0

inegalitate evidenta deoarece log₂61.

 

5)Operatia de logaritmare a unei expresii

 

Sa consideram expresia:

E=

Vom logaritma expresia intr-o anumita baza convenabila a.Folosind proprietatile logaritmilor,obtinem:

log_aE =log_a(-log_a=log_a17³+log_a+log_a-=

=3log_a17+log_a131+log_a92-log_a37-log_a98-log_a23.

Deci am obtinut egalitatea:

Log_aE=3log_a17+log_a131+log_a92-log_a37-log_a98-log_a23.

In general,daca E este o expresie algebrica in care apar produse de puteri si radicali,

putem sa-I asociem,exact ca in exemplu de mai sus,o expresie,notata log E,in care apar

sume (diferente) de logaritmi inmultite eventual cu anumite numere rationale.Operatia

prin care expresiei E i se asociaza expresia log E se numeste”operatie de logaritmare”.

 

Exemple

 

1. Fie E=a² .Prin operatia de logaritmare,obtinem:

loc_cE=log_c(a² )=log_ca²+log_c=2log_ca+log_ca+log_cb.

2)Fie E=.Prin operatia de logaritmare,obtinem:

log_cE =log_c=log_c=(log_ca³-log_cb⁵)=log_ca-log_cb.

 

Adesea in calcule este nevoie sa se faca si operatia inversa,adica unei expresii in care intervin logaritmi sa-i asociem o expresie fara logaritmi.

De exemplu,sa consideram expresia log_cE=2log_ca-log_cb-3log_c3.

Folosind proprietatiile logaritmilor,avem:

Log_cE=log_ca²-log_c-log_c3³=log_c=log_c,de unde obtinem ca

E=.

 

 

 

 

 

Ecuatii si inecuatii logaritmice

 

 

1)Ecuatiile logaritmice sunt ecuatii in care expresiile ce contin necunoscute apar ca baza sau ca argument al unor logaritmi.

De exemplu:log_x+1(x+2)=1;lg(x²+x-2)=3;log_x(5x²+3)=lg(2x+3)-1.

Folosind injectivitatea functiei exponentiale,avem ca rezolvarea unei ecuatii de tipul log_g(x)f(x)=b este echivalenta cu rezolvarea ecuatiei f(x)=g(x)^b.Vom avea insa grija ca solutiile obtinute sa satisfaca f(x)>0,g(x)>0,g(x)pentru care expresia log_g(x)f(x) are sens.

La fel ca la ecuatiile exponentiale,in practica atunci cand avem de rezolvat o ecuatie logaritmica,vom proceda astfel:folosind diverse substitutii precum si proprietatile logaritmice,vom cauta s-o reducem la rezolvarea unor ecuatii simple,de regula de gradul intai sau de gradul al doilea.

 

Exemplu

 

Sa se rezolve ecuatia:log_x(x²-3x+9)=2.

Obtinem x²-3x+9=x² si deci 3x=9,x=3.Deoarece pentru x=3>0,expresia x²-3x+9 este pozitiva,rezulta ca x=3 este solutie a ecuatiei.

 

Rezolvarea altor ecuatii se bazeaza pe injectivitatea functiei logaritmice,si anume din log_af(x)=log_ag(x),deducem f(x)=g(x),impunand conditiile:f(x)>0,g(x)>0

 

Exemple

 

1) Sa se rezolve ecuatia:lg(x²-15)=lg(x-3).Deducem ca x²-15x=x-3,deci x²-x-12=0

adica x₁=4,x₂=-3.Deoarece pentru x₂=-3 obtinem x-3=-3-3=-6<0,rezulta ca x₂=-3 nu este solutie a ecuatiei.Deci numai 4 este solutie.

 

2)Sa se resolve ecuatia:2lg(x-1)=lgx⁵-lg.In aceasta ecuatie punem de la inceput conditiile x-1>0,x>0,pentru a avea sens expresiile lg(x-1),lg x⁵,lg.

Ecutia se mai scrie 2lg(x-1)=lgx-lgx si deci 2lg(x-1)=2lgx.Prin urmare,lg(x-1)=lgx,de unde obtinem x-1=x,-1=0,contradictie;rezulta deci ca ecuatia data nu are solutii.

3) Sa se rezolve ecuatia:lg(x+7)+lg(3x+1)=2.Punem conditiile de existenta a logaritmilor:x+7>0,3x+1>0,deci x>-.Obtinem lg(x+7)(3x+1)=2 si deci (x+7)(3x+1)=10²=100.Rezulta ecuatia de gradul al doilea 3x²+22x-93=0,de unde rezulta x₁=3,x₂=-.Deoarece -<-,obtinem ca 3 este singura solutie a ecuatiei date.

 

Observatie

 

Ecuatia precedenta nu este echivalenta cu ecuatia lg(x+7)(3x+1)=2,care are doua solutii x₁=3,x₂=-,deoarece pentru amandoua aceste valori ale lui x,lg(x+7)(3x+1) are sens.

 

4) Sa se rezolve ecuatia:log²₃x-3log₃x-4=0.Avem conditia x>0 si facand substitutia log₃x=y,obtinem y²-3y-4=0.Deci y₁=4,y₂=-1.Din log₃x=4.obtinem x=3⁴,x=81,iar din log₃x=-1,obtinem x=3^-1,x=.

In continuare vom rezolva cateva ecuatii care nu se pot incadra intr-un anumit tip.Astfel,pot aparea ecuatii cu logaritmi scrisi in diferite baze,ecuatii in care apar expresii continand necunoscute si la exponenti si la logaritmi etc.

5)Sa se rezolve ecuatia:log₂x+log₃x=1.Deducem,aplicand formula de schimbare a bazei, sau lgx=Deci x=10.

6)Sa se rezolve ecuatia:log₃x+log_x3=2.Deoarece log_x3=,rezulta log₃x+=2.Notand log₃x=y,obtinem y+,adica y²-2y+1=0;deci y=1,adica log₃x=1.Prin urmare,x=3.

7)Sa se rezolve ecuatia:x^lgx+2=1000.Punem conditia de existenta a expresiilor:x>0.Logaritmand,obtinem o ecuatie echivalenta lg(x^lgx+2)=lg1000 care devine (lgx+2)lgx=3.Notand lgx=y,avem y²+2y-3=0 si deci y₁=-3,y₂=1.Din lgx=-3,

obtinem x=10^-3,x=0,001,iar din lgx=1,rezulta x=10.

 

 

 

 

2)Sisteme de ecuatii logaritmice

 

In astfel de sisteme se aplica metodele aratate anterior la ecuatiile de tipul respectiv.

 

Exemplu

 

Sa se rezolve sistemul x²+y²=425

lgx +lgy=2

Obtinem,pe rand sistemele x²+y²=425 x²+y²=425

lgxy =2 xy=1000

x,y>0 x,y>0

 

Acest sistem simetric il putem rezolva pe caile cunoscute din clasa a IX-a:punem s=x+y,p=xy si vom avea s²-2p=425 s²=625 s=25

P=100 p=100 p=100

Sistemul s=25

P=100 da solutiile (5,20),(20,5) care satisfac si conditiile de existenta ale sistemului initial,x>,y>0.Sistemul s=-25

P=100 da solutiile (-20,-5),(-5,-20),care nu convin.

 

 

 

3)Inecuatii logaritmice

Rezolvarea inecuatiilor logaritmice se bazeaza pe proprietatile de monotonie ale functiei logaritmice.Am vazut ca functia logaritmica este crescatoare daca baza este supraunitara si descrescatoare daca baza este subunitara.

 

Exemple

 

1)Sa se rezolve inecuatia:log(2x-1)>-3.Avem ca -3=log27 si inecuatia devine log(2x-1)>log27.Deoarece baza a logaritmului este subunitara (functia g:(0, este descrescatoare),inecuatia devine 2x-1<27,adica x<14.In acelasi timp,din conditia de existenta a logaritmului initial,avem 2x-1>0,deci x>.Deci obtinem pentru x valorile posibile x.

 

4) Sisteme de inecuatii logaritmice

 

In astfel de sisteme se aplica proprietatile si metodele aratate anterior la inecuatiile

Logaritmice.Rezolvarea acestora se reduce in definitiv la rezolvarea sistemelor de ine-

cuatii intalnite in clasa a IX-a.

Exemplu

 

Sa se rezolve sistemul

 

2>2^x+1

log₃(x²-3x+9)<3. Observam,mai intai,ca x²-3x+9>0 oricare ar fi x real(

|x-2|>3 deci logaritmul este definit pentru orice x real.

 

Deoarece 3=log₃27 si,tinand seama de monotonia functiilor exponentiala si logaritmica,rezulta sistemul echivalent

 

X²-2x-3>x+1 x²-3x-4>0

X²-3x+9<27 x²-3x-18<0

|x-2|>3 |x-2|>3

Multimea solutiilor inecuatiei x²-3x-4>0 este M₁=(multimea solutiilor inecuatiei x²-3x-18<0 este M₂=(-3,6),iar multimea solutiilor inecuatiei

|x-2|>3 este M₃=(Atunci multimea solutiilor sistemului este M=M₁

 

 

 

 

 

 

Aplicatii

 

I.Admiterea in invatamantul superior

1.Sa se calculeze expresia:

E=log₂25-log₂

_{Informatica,Baia Mare,1997}

 

E=log₂E=log₂35*log₂log₂1=0

E=0.

 

2.Sa se rezolve sistemul

 

xy=40

x^lgy=4

_{Colegiu de Informatica,Cluj,1997}

 

xy=40y=

x^lgy=4

 

lgx^lgy=lg4

lgy*lgx=lg4

lg*lgx=lg4

(lg40-lgx)lgx=lg4

lgx*lg40-lg²x=lg4

lg²x-lgxlg40+lg4=0

Notam lgx=y

y²-ylg40+lg4=0

lg²40-4lg4=(lg4+lg10)²-4lg4=lg²4+2lg4+1-4lg4=lg²4-2lg4+1=(lg4-1)²

y_1,2=

=

 

3.Stiind ca log₄₀100=a,sa se exprime log₁₆25 in functie de a.

_{Chimie,Metalurgie,1981}

Log₄100=a=a

 

 

4.Stiind ca a=lg2 si b=lg3 sa se calculeze x=3

_{Matematica-Fizica,Sibiu,1998}

 

X=3

5.Sa se arate ca expresia: E=este independenta de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor x,z,y.

_{Inginerie,Constanta,1996}

 

Notam x

 

 

 

II.Concursurile scolare

 

1.Gorj2001-faza locala

 

Sa se arate ca daca x,,y,zare loc inegalitatea:

 

Log_xyz+log_yxz+log_zxy

 

Log_xyz+log_yxz+log_zxy=(log_xy+log_yx)+(log_xz+log_zx)+(log_yz+log_zy)

Daca x,y

Log_xyz+log_yxz+log_zxy are loc doar cand x=y=z.

 

2.Bacau2001-faza locala

 

Sa se calculeze:

=E

Notam a=log₂12

Log₂24=log₂12*2=log₂12+log₂2=a+1

Log₉₆2=

Log₂192=log₂12*16=log₂12+log₂16=a+4

Log₁₂2=

(a+1)(a+3)-a(a+4)=3

 

 

 

 

 

 

3.Cluj2001-faza locala

 

Sa se rezolve ecuatia:

unde este partea intreaga a numarului .

Cos Z

I.

II.

III.

S₃=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Petrariu Alexandru clasa aX-a A

Liceul De Informatica „Spiru Haret”

Suceava

 

 

Indrumator,profesor Oanea Calin

 

Scriitori romani