Divizibilitatea numerelor naturale Definitia divizibilitati. Divizor. Multiplu Definitie: Un numar natural a este divizibil cu un numar natural b daca exista un numar natural c astfel incat a = b c. Exemplu: Fie numerele naturale 8 si 2. Exista oare un numar natural astfel incat inmultindu-l cu 2 sa obtinem 8? Da. Acest numar este 4. Intr-adevar: 8 = 2 4. Se mai spune: “a se divide cu b”, “b divide pe a “, “b este divizor al lui a”, “a este multiplu al lui b”. 57888gbt82epf7r Daca a si b sunt numere naturale, b | a se citeste “b divide pe a” sau 2 | 6. Definitie: Fie a si b doua numere naturale. Spunem ca b | a daca exista un numar natural c astfel incat a = b c. Observatii: Nu orice numar natural par este divizibil cu 4. De ex.:6 nu este divizibil cu 4. bp888g7582eppf Nu orice numar natural de forma 6n – 1, unde n apartine N*, se divide numai cu 1 si cu el insusi. De ex.: Daca n = 6, avem 6 6 – 1 = 35, iar 35cu 1, cu 35, cu 5 si cu 7. Proprietati ale divizibilitatii numerelor naturale Orice numar natural este divizibil cu 1 sau 1 | a oricare ar fi a apartine N. 0 este divizibil cu orice numar natural sau a | 0, oricare ar fi a apartine N. Orice numar natural se divide cu el insusi sau a | a, oricare ar fi a apar-tine N. Fie a si b doua numere naturale. Daca a este divizibil cu b si b este divizibil cu a atunci a = b sau daca a | b si b | a, oricare ar fi a, b apartine N. Fie a, b, c trei numere naturale. Daca b se divide cu a iar c se divide cu b atunci c se divide cu a sau daca a | b si b | c, atunci a | c, oricare ar fi a,b,c apartine N. Daca un numar natural se divide cu nu numar natural, atunci primul se divide cu toti divizorii celui de-al doilea. Daca fiecare termen al unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural, atunci si suma lor se divide cu acel numar natural. Daca un numar natural a se divide cu un numar natural m si daca un numar natural b se divide cu acelasi numar natural m, atunci si suma lor a + b se divide cu m sau daca m | a si m | b, atunci m | a + b oricare ar fi a, b, m apartine N. Daca unul din termenii unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural, iar celalalt termen nu se divide cu acel numar natural, atunci suma nu se divide cu acel numar natural. Fie numerele naturale a si b. Daca numarul a se divide cu numarul natural m si daca b nu se divide cu m atunci suma lor a + b nu se divide cu m sau daca m | a si m \| b,atunci m \| a + b oricare ar fi a, b, m apartine N. (8) Fie a, b si m numerele naturale, a >b. Daca a se divide cu m si b se divide cu m atunci si a – b se divide cu m sau daca m | a si m | b, atunci m | a – b oricare ar fi a, b, m apartine N, a > b. (9) Daca un numar natural a se divide cu un numar natural m, atunci produsul lui a cu orice numar natural se divide cu m, sau daca m | a, atunci m | ab, oricare ar fi a, b, m apartine N. Criterii de divizibilitate Criteriul de divizibilitate cu 10,100 Un numar natural a carui ultima cifra este zero este un numar divizibil cu 10, adica cu 2 5. Un numar natural a carui ultima cifra nu este 0 nu este divizibil cu 10. Un numar natural care are ca ultima cifra pe 0 se divide si cu 2 si cu 5. Un numar natural la care ultimele doua cifre sunt zerouri se divide cu 100, adica cu 2 5. Criteriul de divizibilitate cu 2 Daca ultima cifra a unui numar natural este o cifra para (0, 2, 4, 6, 8), atunci acel numar natural se divide cu 2. Daca ultima cifra a unui numar natural nu este o cifra para, atunci acel numar natural nu se divide cu 2. Criteriul de divizibilitate cu 5 Daca ultima cifra a unui numar natural este 5 sau 0, atunci acel numar se divide cu 5. Daca ultima cifra a unui numar natural nu este nici 5, nici 0, atunci acel numar nu este divizibil cu 5. Criteriul de divizibilitate cu 4 Daca numarul natural format din untimele doua cifre ale unui numar natural este divizibil cu 4, atunci numarul natural considerat este divizibil cu 4. Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural nu este divizibil cu 4, atunci numarul natural considerat nu este divizibil cu 4. Criteriul de divizibilitate cu 25 Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural este divizibil cu 25, atunci numarul natural considerat este divizibil cu 25. Daca numarul natural format din ultimele doua cifre ale unui numar natural nu este divizibil cu 25, atunci numarul natural considerat nu este divizibil cu 25. Criteriul de divizibilitate cu 3 Daca suma cifrelor unui numar natural este divizibil cu 3, atunci acel numar este divizibil cu 3. Daca suma cifrelor unui numar natural nu este divixibila cu 3, atunci acel numar nu este divizibil cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 9 Daca suma cifrelor unui numar natural este divizibila cu 9, atunci acel numar este divizibil cu 9. Daca suma cifrelor unui numar natural nu este divizibila cu 9, atunci acel numar nu este divizibil cu 9. Multimea divizorilor unui numar natural Divizorii lui 6( D ) = {1, 2, 3, 6} Divizorii lui 15( D ) = {1, 3, 5, 15} Divizori proprii. Divizori improrii Orice numar natural m are divizorii improprii 1 si m. Orice alt divizor se numeste divizor propriu. Exemplu: Multimea divizorilor lui 6 este D = {1, 2, 3, 6}. 1 si 6 se numesc divizori improrii ai lui 6, iar 2 si 3 se numesc divizori proprii ai lui 6. Multimea multiplilor unui numar natural Multimea multiplilor lui 2 este M ={0, 2, 4, 6,…, 2n,…} Multimea multiplilor lui 3 este M ={0, 3, 6, 9,…, 3n,…} Numere prime Definitie: Se numeste prim orice numar natural, diferit de 1, care are ca divizori numai pe 1 si pe el insusi. Sau Se numeste numar prim orice numar natural, diferit de 1, care admite numai divizori improprii. Exemplu: Numarul 2 se divide numai cu 1 si cu 2, adica numai cu 1 si cu el insusi. Numarul 3 se divide, de asemenea, numai cu 1 si cu el insusi. Urmatoarele numere sunt prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47. Orice numar natural care nu este prim se numeste neprim. Numerele neprime diferite de 1 se numesc numere compuse. De exemplu numerele naturale 0, 4, 6, 8, 10, 24, 1470 sunt compuse. Cum recunoastem daca un numar natural este prim Impartim numarul, pe rand, la toate numerele prime in ordine crescatoare, incepand cu 2, pana cand obtinem un cat mai mic ssau egal cu impartitorul. Daca numarul se divide cu unul din aceste numere prime, este evident ca el nu este prim. Daca numarul considerat nu se divide cu nici unul din aceste numere prime, atunci el este numar prim. Exemplu numarul 137 137 nu se divide cu 2, cu 3, cu 5. Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 7 facem impartirea lui 137 la 7 si obtinem catul 19 si restul 4. Deci 137 nu se divide cu 7. Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 11, facem impartirea lui 137 la 11. Obtinem catul 12 si restul 5. Deci 137 nu se divide cu 11. Deoarece catul (12) este mai mare decat impartitorul (11), continuam sa facem impartiri. Pentru a vedea daca 137 se divide cu 13 facem impartirea si obtinem catul 10 si restul 7. Numarul 137 nu se divide cu 13. Am aratat ca 137 nu se divide cu nici un numar prim mai mic sau egal cu 13. Afirmam ca el nu se divide nici cu numerele compuse mai mici decat 13. Intr-adevar, daca 137 nu se divide cu 2, el nu se divide nici cu urmatorii multiplii ai lui 2:4, 6, 8, 10, 12, iar daca 137 nu se divide cu 3, el nu se divide nici cu 6, 9, 12. Pana aici am aratat ca numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13. Este oare posibil ca 137 sa se divida cu un numar natural c mai mare decat 13 ? Acest lucru nu este posibil, caci daca 137 se divide cu un numar c mai mare dacat 13, atunci el se divide si cu catul impartirii lui 137 la numarul natural c; acest cat este un numar mai mic decat 13. Or, am aratat ca 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13. In concluzie: numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13, nici cu un numar natural mai mare decat 13. El este deci numar prim. Ciurul lui Eratostate 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Numerele prime mai mici dacat o 100 Scrierea unui numar natural ca produs de puteri de numere prime Consideram numarul 12 = 2 3 5544 = 2 2772 = 2 2 1386 = 2 2 2 693 = 2 2 2 3 231 = 2 2 2 3 3 77 = 2 2 2 3 3 7 11 = 2 3 7 11. 578000 2 5 578 2 289 17 17 1 578000 = 2 5 17 Inmultirea si impartirea numerelor naturale scrise ca produs de puteri de numere prime A = 2 3 5 7; B = 2 3 5 A B = (2 3 5 7) (2 3 5) = 2 3 5 7 Ne intrebam daca B divide pe A, adica daca exista un numar natural C, astfel incat inmultind pe B cu C sa obtinem A. A = B C Se vede ca putem lua C =2 3 7, adica C = 2 3 7 Prin urmare, A se divide cu B. Acest lucru a fost posibil datorita faptului ca a fost indeplinita urmatoarea conditie: A contine trei factori pe care ii contine B cu exponenti mai mari sau egali cu exponentii factoriloi lui B. Divizor comun. Cel mai mare divizor comun al mai multor numere naturale D {1, 2, 3, 4, 6, 12}, D {1,4, 5, 10, 20} D = D D = {1, 2, 4}. Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al celor doua numere este 4. Cel mai mare divizor comun a doua sau al mai multor numere naturale, nu toate nule, este cel mai mare numar natural care divide numarele date. Deci scriem: c.m.m.d.c.(12, 20)= 4 sau (12, 20)= 4. Aflarea celui mai mare divizor comun prin descompunere in factori primii Pentru a afla c.m.m.d.c. al unor numere procedam in felul urmator: luam, o singura data, factorii primi comuni, cu exponentii cei mai mici, cu care figureaza in descompuneri si ii inmultim intre ei. Numerele prime intre ele Doua numere naturale se numesc prime intre ele daca cel mai mare divizor comun al lor este 1. (4, 9) = 1; (7, 8) = 1; (5, 7) = 1. Daca un numar natural este divizibil cu doua numere naturale prime intre ele, atunci el este divizibil cu produsul acestora. De exemplu, daca un numar natural este divizibil cu 2 si 3, atunci el este divizibil cu 6 Daca un numar natural este divizibil cu 5, 9 atunci el este divizibil cu 45. Observatie importanta: Atragem atentia ca, de exemplu, numarul 12 este divizibil cu 4 si 6, dar el nu este divizibil cu 4 6, adica 24. Numerele 4 si 6 nu sunt prime intre ele. Multiplu comun. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere naturale M = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,…, 4n,…} M = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36,…, 6n,…} Multimea multiplilor comuni ai numerelor 4 si 6 M = {0, 12, 24, 36,…} Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 si 6, diferit de zero, este, dupa cum se vede, 12 Cel mai mic multiplu comun al doua sau al mai multor numere naturale, diferite de zero, este cel mai mic numar natural, diferit de zero care se divide cu numerele date. Deci scriem: [4, 6] = 12. Aflarea celui mai mic multiplu comun prin descompunere in factori primi Pentru a afla c.m.m.m.c. al acestor numere procedam in felul urmator: luam, o singura data, factorii primi comuni si necomuni cu exponentii cei mai mari si ii inmultim intre ei. Observatie C.m.m.m.c. al mai multor numere naturale divide orice multiplu comun al lor. Numerele pare. Numerele impare Urmatorul sir de numere naturale: 0, 2, 4, 6, 8,… se numeste sirul numerelor naturale pare, iar sirul de numere naturale: 1, 3, 5, 7, 9,…se numeste sirul numerelor naturale impare. Numerele naturale pare sunt numerele de forma 2n unde n apartine N. Numerele naturale impare sunt numerele de forma 2n + 1, unde n apartine N. Suma a doua numere naturale pare este un numar par. Suma a doua numere naturale impare este un numar par. Suma dintre un numar par si un numar natural impar este un numar impar.
