NOTIUNI DE BAZA
Clasa a VII-a
Multimea numerelor intregi. Multimi. Produs cartezian
vom numi produs cartezian al multimilor A si B notat A×B, multimea perechilor ( a,b ), unde a є A si b є B
Relatiile <", >" intre numerele rationale
un numar rational a este mai mare decat un numar rational b, ceea ce se scrie a > b, daca exista c є Q astfel incat a = b+c
pe axa numerelor, numarul rational maimmare se va afla la dreapta celui mai mic
pentru a compara doua numere rationale se vor aduce la acelasi numitor si se vor compara numaratorii astfel obtinuti
Puterea unui numar rational
se va folosi notatia : a -ⁿ = 1/a ⁿ
regulide calcul cu puteri :
a m+a n= a m+n
(a m)n = a m×n
a m : a n = a m-n
( a × b )n = a n × b n
( a/b ) n = a n / b n
Ecuatii in Q
se numeste ecuatie propozitia cu o variabila in care variabila trebuie sa verifice o egalitate
se numeste solutie a ecuatiei un numar sau mai multe numere care puse in locul variabilei formeaza o propozitie adevarata
forma generala a unei ecuatii de gradul I cu o necunoscuta este : ax + b = c, unde a, b, c є Q
rezolvarea ecuatiei inseamna gasirea solutiilor : ax + b = c <=> ax = c b <=> x = c b/a , a ≠ 0
Numere reale
se numesc numere irationale acele numere care scrise zecimal au o infinitate de cifre in dreapta virgulei care nu se repeta periodic
definim multimea numerelor reale ca fiind reuniunea dintre multimea Q a numerelor rationale si multimea numerelor irationale
reguli de calcul in R :
a√b + c√b =( a+c )√b
a√b - c√b = (a - c)√b
√a ∙√b = √a ∙ b
√a : √b = √a:b
scoaterea factorilor de sub radical se efectueaza folosind √a2 =|a| => √a2∙b=|a|√b
introducerea sub radical se efectueaza astfel :
a = √a2
a√b = √a2 ∙b
se va rationaliza numitorul prin amplificarea fractiei a/√b = a√b /b
pentru ridicarea la putere a unui numar real se va tine seama de (√a) n=√a n
Calcularea mediilor
Media aritmetica a numerelor a, a1, a2 , an este : ma a+a1+a2 an / n
Media aritmetica ponderata a numerelor a, a1, a2 , an avand ponderile p, p1, p2, pn este : m a p = a1 p1 + a2 p2 ++an pn / p1+p2 + +pn
Media geometrica (proportionala) a numerelor pozitive a1 si a2 este :
mg =√a ∙a2
Calcul algebric
doi termeni sunt asemenea daca au aceeasi parte literara. La litere identice corespunzand exponenti identici
adunarea si scaderea se poate efectua numai intre termeni asemenea
pentru a efectua inmultirea se tine seama de :
a ∙(b+c) = ab + ac
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
formule de calcul prescurtat:
(a + b)2 = a2 +2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a - b)(a + b) = a2 - b2
(a + b +c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc
pentru a rationaliza fractia a / b√c + d√e, se va amplifica cu b√c - d√e
pentru a efectua impartirea se tine seama de : (a + b + c): d a:d+b:d+c:d
Descompunerea in factori
metode de descompunere :
scoaterea factorului comun:
a ∙ b + a ∙c = a ∙(b+c)
a ∙ b - a ∙c = a ∙(b - c)
restrangerea patratului unei sume de doi termeni:
a² 2ab + b² = (a+b)²
a² 2ab + b² = (a - b)²
diferenta patratelor:
a² - b² = (a - b)(a+b)
alte metode:
c(a+b)+d(a+b)= (a+b)(c+d)
x² +x(a+b)+a ∙ b = (x+a)(x+b)
Ecuatii de gradul I cu doua necunoscute
forma generala a unei ecuatii de gradul I cu doua necunoscute este ax+by+c = 0
o ecuatie de radul I cu doua necunoscute are o infinitate de solutii sub forma perechilor (x; -c-ax /b)
multimea punctelor din plan care sunt solutiile unei ecuatii de gradul I cu doua necunoscute formeaza o dreapta numita dreapta solutiilor ecuatiei
Sisteme de ecuatii
forma generala a unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute este :
ax+by = c unde a, b, a`, b` sunt
coeficienti si c, c` termeni liberi
a`c+b`y = c`
se numeste solutie a unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute o pereche de forma (x, y)є R×R care verifica ambele ecuatii ale sistemului
in rezolvarea sistemelor de doua ecuatii cu doua necunoscute se pot intalni urmatoarele situatii:
sistemul are o unica solutie
sistemul nu are solutii(sistem incompatibil)
sistemul are o infinitate de solutii(sistem nedeterminat)
Patrulatere. Paralelogramul
se numeste paralelogram patrulaterul convex care are laturile opuse paralele doua cate doua
proprietatile paralelogramului:
laturile opuse sunt congruente doua cate doua
unghiurile opuse sunt congruente doua cate doua
unghiurile consecutive sunt suplementare
diagonalele se intersecteaza una pe cealalta in parti congruente
Linia mijlocie intr-un triunghi
segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi senumeste linie mijlocie
intr-un triunghi segmentul care uneste mijloacele a doua laturi este paralel cu cea de-a treia latura si are lungimea jumatate din lungimea acesteia
intr-un triunghi ABC, paralela prin mijlocul D al laturii [AB] la latura [BC] contine mijloul E al laturii [AC] si avem DE=1/2 BC
Dreptunghiul
se numeste dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept
proprietati caracteristice:
are toate unghiurile congruente, deci drepte
are diagonalele congruente
un patrulater convex este dreptunghi daca are toate unghiurile congruente
paralelogramul care are diagonalele congruente este dreptunghi
Rombul
se numeste romb un paralelogram care are doua laturi consecutive congruente
- proprietati caracteristice:
toate laturile rombului sunt congruente
diagonalele rombului sunt perpendiculare intre ele
diagonalele rombului sunt bisectoare pentru unghiurile rombului
patrulaterul convex cu toate laturile congruente
paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb
paralelogramul in care o diagonala este bisectoarea unui unghi este romb
Patratul
se numeste patrat un dreptunghi care are doua laturi consecutive congruente
patratul are toate proprietatile dreptunghiului si rombului
intr-un triunghi dreptunghic mediana corespunzatoare ipotenuzei are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei
daca intr-un triunghi o mediana are lungimea cat jumatatea lungimii laturii care ii corespunde, atunci triunghiul este dreptunghic
Trapezul
se numeste trapez patrulaterul care are doua laturi paralele si celelalte doua neparalele
un trapez este isoscel daca laturile neparalele sunt congruente
un trapez este dreptunghic daca o latura neparalela este perpendiculara pe baza
intr-un trapez unghiurile alaturate unei baze sunt congruente daca si numai daca trapezul este isoscel
intr-un trapez diagonalele sunt congruente daca si numai daca trapezul este isoscel
Linia mijlocie in trapez
segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numeste linie mijlocie in trapez
linia mijlocie a trapezului este paralla cu bazele si are lungimea jumatate din suma lungimilor bazelor
lungimea segmentuui inclus in linia mijlocie a unui trapez cuprins intre intersectiile sale cu diagonalele este egala cu smidiferenta lungimilor bazelor
Arii
aria unui dreptunghi este egala cu produsul dintre lungime si latime
aria unui patrat este egala cu patratul lungimii laturii
aria unui romb este egala cu semiprodusul lungimii diagonalelor
aria unui trapez este egala cu produsul dintre semisuma lungimilor bazelor sale si lungimea inaltimii
Relatii metrice. Teorema lui Thales
o paralela la una din laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente proportionale
mai multe paralele determina pe doua secante segmente proportionale
intr-un triunghi o bisectoare determina pe latura opusa doua segmente proportionale cu celelalte doua aturi
daca o dreapta determina determina pe laturile unui triunghi segmente respectiv proportionale cu aceste laturi atunci aceasta dreapta este paralela cu cea de-a treia latura a triunghiului
Asemanarea triunghiurilor
doua triunghiuri se numesc asemenea daca au toate laturile respectiv proportionale si unghiurile opse lor respectiv congruente
teorema fundamentala a asemanarii:
O paralela dusa la una din laturile unui unghi formeaza cu celelalte sau cu prelungirile lor un unghi asemenea cu cel dat.
cazurile de asemanare:
daca doua triunghiuri au doua unghiuri respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea
daca doua triunghiuri au cate un unghi congruent si laturile ce-l formeaza respectiv proportionale, atunci ele sunt asemenea
daca doua triunghiuri au cele trei laturi respectiv proportionale, atunci ele sunt asemenea
Relatii metrice in triunghiuri dreptunghice
in triunghiul dreptunghic ABC, m A=90s, AD inaltime, D є (BC) se cunosc urmatoarele relatii:
teorema inaltimii: AD² = DB · DC
teorema catetei: AB² = BD · BC
3. teorema lui Pitagora: BC² = AB²+AC²
reciproca teoremei lui Pitagora :
Daca intr-un triunghi suma patratelor lungimilor a doua laturi este egala cu patratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.
Elemente de trigonometrie
intr-un triunghi dreptunghic se definesc:
sinusul unui unghi ascutit este egal cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului si lungimea ipotenuzei
cosinusul unui unghi ascutit este egal cu raportul dintre lungimea catetei alaturate unghiului si lungimea ipotenuzei
tangenta unui unghi ascutit este egala cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului si lungimea catetei alaturate
cotangenta unui unghi ascutit este egala cu raportul dintre lungimea catetei alaturate unghiului si lungimea catetei opuse
se vor retine urmatoarele relatii:
sin² x + cos² x = 1 sin (90s - x)= cos x
tg x = sin x / cos x = 1/ ctg x cos (90s - x)= sin x
tg(90s - x)= ctg x
ctg(90s - x)= tg x
Cercul
se numeste cerc locul geometric al punctelor egal departate de un punct fix numit centru
se numeste coarda un segment cu capetele pe cerc
se numeste diametru coarda care contine si centru cercului(capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse)
un unghi cu varful in centrul unui cerc se numeste unghila centru. Masura unui unghi la centru este egala cu masura arcului mic cuprins intre laturile unghiului
in acelas cerc sau in cercuri congurente, la arce congurente corespund coarde congurente
perpendiculara din centrul cercului pe coarda injumatateste coarda
in acelas cerc sau in cercuri congurente, daca doua coarde sunt congurente, atunci ele se afla la aceeasi distanta de centru si reciproc
o dreapta poate sa intersecteze un cerc astfel:
intr-un punct si se numeste tangenta la cerc
in doua puncte si se numeste secanta
tangenta la cerc este perpendiculara pe raza cercului in punctul de contact
se numeste unghi inscris in cerc, unghiul cu varful pe cerc si care are ca laturi doua coarde. Masura unui unghi inscris in cerc este egala cu jumatate din masura arcului cuprins intre laturile sale
masura unui unghi cu varful pe cerc care are o latura coarda si cealalta latura tangenta la cerc este egala cu jumatate din masura arcului cuprins intre laturi
toate unghiurile inscrise intr-un semicerc sunt unghiuri drepte
dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce doua tangente la acest cerc cu urmatoarele proprietati:
tangentele sunt congruente(segmentele cu capetele in punctul de tangenta si punctul exterior de unde se duce tangenta)
semidreapta dusa din punctul exterior cntine si centtrul cercului este bisectoarea unghiului format de tangente
se numeste patrulater inscris, un patrulater care are varfurile pe cerc
un patrulater se numeste circumscris daca laturile sale sunt tangente unui cerc
patru puncte se numesc conciclice daca apartin unui cerc
un patrulater se numeste inscriptibil daca varfurile sunt puncte conciclice
un patrulater in care unghiurile formate de diagonale cu doua laturi opuse, sunt congruente, este patrulater inscriptibil
un patrulater este inscriptibil daca si numai daca unghiurile opuse sunt suplementare
Poligoane regulate
se numeste poligon convex, un poligon in care oricare ar fi o latura a sa, toate varfurile nesituate pe latura considerata se afla de aceeasi parte a dreptei in care este inclusa latura respectiva
suma masurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi este (n - 2)·180s
se numeste poligonregulat un poligon convex cu toate laturile sale congruente si toate unghiurile sale congruente
orice poligon regulat se poate inscrie in cerc
se numeste apotema a unui poligon regulat segmentul care uneste mijlocul unei laturi a poligonului cu centru cercului circumscris acelui poligon
intre latura, apotema, aria poligonului si raza cercului circumscris acelui poligon exista reltiile:
pentru triunghiul echilateral:
a3 = l3√3/6 = R/2
A3 = l3²√3/4 = 3R²√3/4
pentru patrat:
l4 = R√2
a4 = l4 / 2 = R√2 /2
A4 = l4 ² = 2R²
pentru hexagonul regulat:
l6 = R
a6 = l6√3 /2 = R√3 /2
A6 = 60 · l6² √3 /4 = 3R²√3
lungimea unui cerc este 2πR
aria unui cerc este πR²
se numeste sector circular portiunea din interiorul unui cerc cuprinsa intre doua raze
aria unui sector circular este πusR² /360s , unde us este masura arcului cuprins intre razele sectorului
lungimea unui sector circular corespunzator unui arc de cerc avand masura de us este 2πRus /360s
