S-a nascut la 15 aprilie 1707 in Basel, Elvetia si a murit pe 18 septembrie 1783 in St. Petersburg, Rusia.
Tatal lui L. Euler a fost Paul Euler. Paul Euler a studiat teologia la Universitatea din Basel si a frecventat cursurile lui Jacob Bernoulli. De fapt Paul Euler si Johann Bernoulli locuiau amandoi in casa lui Jacob Benoulli in timp ce erau studenti in ultimul an. Paul Euler a devenit ministru Protestant si s-a casatorit cu Margaret Brucker, fiica altui ministru Protestant. Fiul lor, L. Euler, s-a nascut in Basel, dar familia s-a mutat in Richen cand acesta avea un an si acolo, nu departe de Basel, a fost crescut Leonhard. Cum am mentionat, Paul Euler avea unele cunostinte de matematica si a putut sa-si invete fiul matematica elementara inainte de alte materii.
Leonhard a fost trimis la scoala din Besel, si in acest timp a locuit cu bunica sa din partea mamei. Aceasta scoala era slaba din toate punctele de vedere si Euler nu a invatat matematica deloc din scoala. Oricum interesul sau pentru matematica fusese deja insuflat de lectiile tatalui sau si a citit texte de matematica pe cont propriu si a luat lectii particulare. Tatal sau Euler dorea ca fiul sau sa-l urmeze spre biserica si l-a trimis la Universitatea din Basel sa se pregateasca pentru minister. El a intrat la Universitate in 1720, la varsta de 14 ani, mai intai pentru a capata o educatie generala inainte de a merge la studii mai avansate. Johann Bernoulli a descoperit curand marile aptitudini ale lui Euler pentru matematica in paticular . Relatarea lui Euler cu privire la scrierile sale autobiografice nepublicate este:
,, Am gasit o ocazie de a fi introdus la un profesor renumit Johann Bernoulli Este adevarat ca el era foarte ocupat si a refuzat clar sa imi dea lectii private; dar mi-a dat un sfat mult mai valoros de a incepe a citi carti de matematica mai grele pe cont propriu si sa studiez cat se poate de sarguincios; daca intalneam unele obstacole sau dificultati , aveam voie sa-l vizitez in fiecare Duminica dupa-amiaza si el imi explica ce nu puteam sa inteleg "
In 1723 Euler si-a luat Master-ul in filosofie prin compararea si contrastarea ideilor filosofice ale lui Descartes si ale lui Newton. Si-a inceput studiile in teologie in toamna lui 1723, indeplinind dorintele tatalui sau, dar, desi trebuia sa fie un Crestin devotat toata viata, nu a gasit in teologie si Greaca entuziasmul pe care l-a gasit in matematica. Euler a obtinut dupa ce Johann Bernoulli si-a folosit puterea de convingere. Faptul ca tatal lui Euler a fost un prieten al lui Johann Bernoulli in timpul ultimului an de studentie a facut sarcina de convingere sa fie mult mai usoara.
Euler si-a terminat studiile la Universitatea din Basel in 1726. El studiase multe lucrari de matematica cat timp a stat in Basel, si Calinger, a reconstituit multe din lucrarile pe care le-a citit Euler cu sfatul lui Johann Bernoulli. Printre acestea se gasesc lucrari de Varignon, Descartes, Newton, Galileo, van Schooten, Jacob Bernoulli, Hermann, Taylor si Wallis. In 1726 Euler avea spre tiparire un articol scurt despre curbe izocrone intr-un mediu rezistent. In 1727 a publicat alt articol despre traiectorii reciproce si a creat o sansa la Marele Premiu din 1727 al Academiei din Paris pentru cel mai bun aranjament al catargelor de pe un vapor.
Premiul din 1727 a fost acordat lui Bouguer, un expert in matematica legata de vapoare, dar eseul lui Euler a castigat al doilea loc care a constituit o mare reusita pentru tanarul absolvent. Oricum, Euler trebuia acum sa-si gaseasca o intalnire academica si cand Nicolaus Bernoulli a murit la St. Petersburg in 1726 creand un post liber, lui Euler i s-a oferit acel post care il implica in predarea aplicatiilor matematicii si mecanicii in filosofie. A acceptat postul in noiembrie 1726 dar a hotarat ca nu dorea sa calatoreasca in Rusia pana in primavara anului urmator. Avea 2 motive pentru a amana. El dorea timp pentru a studia subiecte de discutie legate de noul sau post dat dorea si o sansa pentru un post la Universitatea din Basel deoarece profesorul de fizica murise. Euler a scris un articol despre acustica, care a devenit clasic, in licitatia sa pentru post dar nu a fost nici macar ales pentru a continua acolo unde se lua decizia finala asupra acelui care va ocupa postul. Aproape sigur este ca tineretea sa (19ani) a fost impotriva sa. Oricum Calinger spunea:
,,Aceasta decizie, in cele din urma, la favorizat pe Euler, deoarece l-a fortat sa se mute dintr-o republica mica intr-o asezare mult mai adecvata pentru stralucita sa cercetare si lucrare tehnologica."
Imediat ce a aflat ca nu va avea postul de fizica, Euler a parasit Basel la 5 aprilie 1727. A calatorit in jos pe Rin cu o barca, a traversat statele Germane cu un tren de marfa, apoi cu barca de la Lubeck a ajuns la St. Petersburg la 17 mai 1727. S-a alaturat Academiei de Stiinta din St. Petersburg doi ani dupa ce fusese gasit de Catherine I sotia lui Peter cel Mare. Prin cererile lui Daniel Bernoulli si Jacob Hermann, Euler a fost desemnat mai degraba pentru divizia mate-fizica a Academiei decat pentru postul de filosofie pentru care fusese recomandat initial. La St. Petersburg, Euler a avut multi colegi care ii ofereau un ambient exceptional:
,, In nici un alt loc nu ar fi putut sa fie inconjurat de oameni de stiinta eminenti, incluzand si pe analistul si geometristul Jacob Hermann, o ruda Diel Bernoulli, de care Euler nu era legat doar prin prietenia personala, dar si prin interesele comune in domeniul matematicii aplicate; savantul multilateral Christian Goldbach cu care Euler a discutat numeroase probleme de analiza si de teorie a numerelor; F. Maier, care lucrase in trigonometrie; si astronomul si geograful J-N Delisle."
Euler a fost un medic locotenent in flota Rusa din 1727 pana in 1730. In St. Petersburg a locuit cu Daniel Bernoulli care, deja nefericit in Rusia, a cerut ca Euler sa-i aduca ceai, cafea, coniac si alte delicatese din Elvetia. Euler a devenit profesor de fizica la academie in 1730 si, cum acesta ii permitea sa devina membru al Academiei, a putut sa renunte la postul din flota Rusa.
Acum Daniel Bernoulli detinea catedra de matematica a Academiei dar cand acesta a parasit St. Petersburg pentru a se intoarce in Basel in 1733 Euler a fost desemnat ca detinator al acesteia. Imbunatatirea financiara survenita i-a permis lui Euler sa se casatoreasca fapt ce a avut loc la 7 ianuarie 1734, cand s-a insurat cu Katharina Gsell, fiica unui pictor de la Gimnaziul din St. Petersburg. Katharina, ca si Euler, provenea dintr-o familie elvetiana. Ei avut in total 13 copii, dar numai 5 au supravietuit copilariei. Euler pretindea ca a facut cateva din marile sale descoperiri in matematica in timp ce tinea un copil in brate cu ceilalti jucandu-se in jurul picioarelor sale.
Vom examina noutitile matematice ale lui Euler in alta parte a aceluiasi articol dar la acest nivel merita sa facem un sumar al lucrarilor lui Euler in aceasta perioada a carierei sale. Aceasta ar fi:
,, dupa 1730 el a creat proiecte de stat care tratau coregrafia, educatia stiintifica, magnetismul, motoarele cu foc, masinile si constructia vapoarelorPartea centrala a programului sau de cercetare a fost inceputa: teoria numerelor; analiza infinitului care includea ramurile sale importante, ecuatiile diferentiale si calculul variatiilor si mecanica rationala. El a vazut aceste 3 campuri ca fiind interconectate personal. Studiile teoriei numerelor erau vitale pentru fundamentele calculelor, si functiile speciale si ecuatiile diferentiale erau esentiale pentru mecanica rationala, care ridica probleme concrete."
Publicarea multor articole si a cartii sale Mechanica (1736-37), care pentru intaia data prezenta pe larg dinamica newtoniana sub forma analizei matematice, l-au pornit pe Euler pe drumul marilor lucrari in matematica.
Problemele de sanatate ale lui Euler au inceput in 1735, cand a avut o febra grava si era aproape sa-si piarda viata. Oricum, el a pastrat aceasta stire departe de parintii sai si de membrii familiei Bernoulli intorsi in Basel pana cand si-a revenit. In scrierile sale autobiografice, Euler spune ca problemele sale cu vederea au inceput in 1738 cu si ca in 1740:
,, pierduse un ochi si celalalt ar putea fi in acelasi pericol."
Oricum, Calinger comenteaza ca problemele de vedere ale lui Euler au inceput, in mod aproape sigur, mai devreme si ca grava febra din 1735 a fost un simpton de orbire. El spune si ca un portret al lui Euler din 1753 exprima ca starea ochiului sau stang era buna, in timp ce cea a ochiului drept era proasta dar ochiul nu era complet orb. Calinger spune camai intai a orbit ochiul stang al lui Euler .
In 1740 Euler avea o mare reputatie deoarece castigase Marele Premiu al Academiei de la Paris in 1738 si 1740. In ambele ocazii el a impartit premiul intai cu altii. Aceasta faima i-a adus oferta de a pleca la Berlin, dar la inceput a preferat sa ramana in St. Petersburg. Oricum agitatia politica din Rusia a facut foarte dificila situatia strainilor si a contribuit la razgandirea lui Euler. Acceptand o oferta imbunatatita, Euler, la invitatia lui Frederick cel Mare, a plecat la Berlin, unde, Academia de Stiinta tebuia sa inlocuiasca Societatea Stiintelor. El a parasit St. Petersburg la 19 iunie 1741 si a sosit la Berlin la 25 iulie. Intr-o scrisoare catre un prieten, Euler scria:
,, Pot sa fac doar ceea ce vreau [in cercetarea mea] Regele ma numeste profesorul sau, si cred ca sunt cel mai fericit om din lume."
Chiar in timp ce in Berlin, Euler continua sa primeasca o parte a salariului sau din Rusia. Pentru aceasta recompensa el a cumparat carti si instrumente pentru Academia din St. Petersburg, a continuat rapoartele stiintifice pentru ei, si a educat tinerii rusi.
Maupertuis a fost presedintele Academiei din Berlin cand Euler a fost in 1744 director de matematica. El l-a inlocuit in timpul absentei sale pe Maupertuis si cei doi au devenit buni prieteni. Euler a prestat o cantitate foarte mare de munca pentru Academie:
,, el a supravegheat observatorul si gradinele Satanice; a selectat personalul; a supravegheat diferite probleme financiare; si, in particular, a obtinut publicarea a diferite calendare si harti geografice,a caror vanzare a fost o sursa de venit pentru Academie. Regele l-a insarcinat pe Euler cu probleme practice, cum ar fi proiectul din 1749 de corectare a nivelului Canalului Finow La acea vreme el supraveghea si munca la pompele si tevile Sistemului hidraulic la Sans Souci, resedinta regala de vara."
Aceasta nu era limita datoriiilor sale. A functionat ca membru al comitetului Academiei ocupandu-se de biblioteca si publicatiile stiintifice. Dadea sfaturi guvernului asupra loteriilor de stat, asigurarilor si pensiilor si artileriei. Mai mult decat atat productia sa stiintifica in timpul acestei perioade a fost fenomenala.
In timpul celor 25 de ani petrecuti la Berlin, Euler a scris in jur de 380 de articole. A scris carti despre calculul variatiilor; despre calculul orbitelor planetare; despre artilerie si balistica (extinzand cartea lui Robins); despre analiza; despre constructia vaselor si navigatiei; despre miscarea lumii; cursuri despre calculul diferential; si o publicatie stiintifica cunoscuta: Scrisori unei printese a Germaniei (3 volume, 1768-72).
In 1759 Maupertuis a murit si Euler a preluat conducerea Academiei de la Berlin, desi nu titlul de Presedinte. Regele era responsabil si Euler nu era in buni termeni cu Frederick in ciuda favorului de la inceput. Euler, care se contrazise cu d'Alembert in probleme stiintifice, a fost deranjat cand Frederick i-a oferit acestuia presedentia Academiei in 1763. Oricum d'Alembert a refuzat sa se mute la Berlin dar amestecul continuu al lui Frederick in conducerea Academiei l-a determinat pe Euler sa decida ca este timpul sa plece.
In 1766 Euler s-a intors in St. Petersburg si Frederick s-a infuriat foarte tare la plecarea sa. Curand dupa intoarcerea sa in Rusia, Euler a orbit aproape de tot dupi o boali. In 1771 casa lui a fost distrusa de un incendiu si nu s-a putut salva decat pe sine si manuscrisele sale de matematica. O operatie de cataracta curand dupa incendiu, tot in 1771, i-a redat vederea pentru cateva zile dar se pare ca Euler nu a avut grija necesara de sine si a orbit complet. Datorita memoriei sale remarcabile a fost capabil sa-si continue lucrarea despre optica, algebra, si miscarea lumii. Uimitor este ca dupa intoarcerea sa in St. Petersburg (cand Euler avea 59 de ani) a creat aproape jumatate din toate lucrarile sale, in ciuda orbirii complete.
Desigur Euler nu a atins acest remarcabil nivel de productie fara ajutor. el era ajutat de fii sai, Johann Albrecht Euler care a fost propus pentru postul de fizica al Academiei din St. Petersburg in 1766 (devenind rectorul ei in 1769) si Christoph Euler care a avut o cariera militara. Euler a fost ajutat si de alti doi membri ai academiei, W. L. Krafft si A. J. Lexell, si de tanarul matematician N. Fuss care a fost invitat la Academia din Elvetia in 1772. Fuss, care era nepotul lui Euler, a devenit asistentul sau in 1776. Yushkevich scria:
,, oamenii de stiinta care l-au asistat pe Euler nu erau simpli secretari; el a discutat schema generala a lucrarilor cu ei, si ei au dezvoltat ideile sale, calculand tabele, si uneori exemple fortate."
De exemplu Euler le-a acreditat lui Albrecht,Krafft si Lexell pentru ajutorul lor cele 775 pagini ale lucrarii sale despre miscarea lumii, publicata in 1772. Fuss l-a ajutat pe Euler sa pregateasca peste 250 de articole de publicat intr-o perioada de 7 ani, in care s-a purtat ca asistent al lui Euler, incluzand o importanta lucrare despre asigurare care a fost publicata in 1776.
Yushkevich a descris ziua mortii lui Euler astfel:
,, Pe 18 septembrie 1783 Euler a petrecut prima jumatate a zilei ca de obicei. A dat o lectie de matematica unuia din nepotii sai, a facut cateva calcule cu creta pe doua table cu privire la miscarea baloanelor; apoi a discutat cu Lexell si Fuss despre planeta Uranus descoperita recent. Pe la ora 5 dupaamiaza a suferit o hemoragie cerebrala si a rostit doar ,,Mor" inainte de a-si fi pierdut cunostinta. A murit in jurul orei 11 seara."
Dupa moartea sa, in 1783, Academia din St. Petersburg a continuat sa publice lucrarile nepublicate ale lui Euler inca 50 de ani.
Lucrarea lui Euler in matematica este atat de mare, incat un articol de aceasta natura nu poate sa dea decat o relatare superficiala a acesteia. A fost cel mai prolific scriitor de matematica a tuturor timpurilor. A creat granite largi inainte in studiul geometriei analitice moderne si a trigonometriei, unde a fost singurul care a considerat sin, cos etc. functii in loc de coarde cum o facuse Ptolemy.
El a avut contributii decisive in geometrie, teoria numerelor si calculelor. El a integrat calculul diferential al lui Leibniz si metoda fluctuatiilor a lui Newton in analiza matematica. Ela introdus functiile beta si gamma, si factorii integranti pentru ecuatiile diferentiale. A studiat mecanica continua, teoria lunara cu Clairaut, cele trei probleme ale corpului, elasticitatea, acustica, teoria cu unde a luminii, hidraulica si muzica. A scris fundamentul mecanicii analitice, mai ales in Teoria Miscarii Corpurilor Rigide.
Ii datoram lui Euler notatiile f(x) pentru o functie (1734), e pentru baza logaritmilor naturali (1727), i pentru radacina patrata -1 (1777), p pentru pi, S pentru suma (1755), notatia pentru diferente finite Dy si D2y si multe altele.
Sa examinam mai in detaliu lucrarea lui Euler. Mai intai lucrarea sa despre teoria numerelor pare sa fi fost stimulata de Goldbach dar probabil original reiesita din interesul membrilor Bernoulli in acel domeniu. Goldbach l-a intrebat pe Euler, in 1729, daca stia din conjunctura lui Fermat ca numerele 2n+1 erau tot timpul prime daca n este o putere a lui 2. Euler a verificat pentru n=1, 2, 4, 8 si 16 si, prin 1732 cel mai tarziu, a aratat ca urmatorul caz 232+1=4294967297 este divizibil prin 641 si deci nu este prim. De asemenea Euler a studiat si alte rezultate nedemonstrate ale lui Fermat si a introdus astfel functia Euler phi f(n), numarul de intregi k cu 1£ k £ n si k si n prime intre ele. A demonstrat alta declaratie a lui Fermat, si anume ca daca a si b sunt prime intre ele atunci a2+b2 nu are divizor de forma 4n+1, in 1749.
Poate ca rezultatul care i-a adus lui Euler cea mai multa faima in tineretea sa a fost solutia a ceea ce a devenit problema Basel. Aceasta era de a gasi o forma restransa a sumei unei serii infinite S(2)=S(1/u2), problema ce i-a invins pe multi dintre matematicienii de varf, printre care Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli si Daniel Bernoulli. Problema fusese studiata fara succes si de Leibniz, Stirling, de Moivre si altii. Euler a aratat in 1735 ca S(2)=p2/6 dar a continuat sa demonstreze mai mult, si anume ca S(4)=p4/90, S(6)=p6/945, S(8)=p8/9450, S(10)=p10/94555 si S(12)=p12/638512875. In 1737 a demonstrat legatura dintre functia zeta si seria numerelor prime dand renumita relatie:
S(s)=S(1/ns)= p(1-p-s)-1
Deci suma este pentru toate numerele naturale n in timp ce produsul este pentru toate numerele prime. In 1739 Euler gasise coeficientii rationali C in S(2n)=Cp2n in termenii numerelor lui Bernoulli. Alta lucrare facuta de Euler cu privire la seriile infinite include introducerea faimoasei constante a lui Euler g, in 1735, care s-a aratat a fi limita expresiei:
1/1+1/2+1/3++1/n - logen
cand n tinde la infinit. El a calculat constanta g cu 16 zecimale. Euler a studiat si seriile lui Fourier si in 1744 a fost primul care a exprimat o functie algebrica printr-o astfel de serie cand a dat rezultatul:
intr-o scrisoare catre Goldbach. Ca la toate lucrarile lui Euler exista o perioada rezonabila de tratare inainte de publicarea rezultatelor; acest rezultat nu a fost publicat pana in 1755.
Euler i-a scris lui James Stirling pe 8 iunie 1736 despre rezultatul sau la insumarea de reciproce ale puterilor, seria armonica si constanta lui Euler si alte rezultate la serii. In particular a scris:
,, Privind insumarea seriilor foarte lent convergente, in anii trecuti am tinut o prelegere la Academia noastra cu privire la o metoda speciala cu careia am dat suficienta multor serii si cu foarte putin efort."
Apoi el continua si descrie ceea ce este acum numit formula de suma Euler - Maclaurin. Doi ani mai tarziu Stirling a replicat spunand lui Euler ca Maclaurin:
,, va publica o carte despre fluctuatii el are doua teoreme pentru insumarea seriilor cu ajutorul derivatilor termenilor, care este insasi rezultatul pe care mi l-ai transmis."
Euler a replicat:
,, Am chiar mica dorinta ca orice sa fie ferit din faima renumitului domn Maclaurin din moment ce el probabil s-a gandit la aceeasi teorema pentru insemnarea seriilor inaintea mea, si merita sa fie numit primul descoperitor al ei. Am gasit aceasta teorema acum patru ani, moment cand am descris si demonstratia si aplicatia in cel mai mare detaliu la Academia noastra."
Unele dintre rezultatele lui Euler din teoria numerelor au fost mentionate mai sus. Rezultatele mai importante ale lui Euler in teoria numerelor au inclus demonstratia ultimei teoreme a lui Fermat pentru cazul n=3. Poate mult mai semnificativ decat rezultatul aici a fost faptul ca el a introdus o demonstratie incluzand numerele de forma a+bg-3 pentru intregii a si b. Desi erau probleme cu apropierea sa aceasta a dus aparitia lucrarii majore a lui Rummer cu privire la ultima teorema a lui Fermat si la introducerea conceptului unui inel.
S-ar putea pretinde ca analiza matematica a inceput cu Euler. In 1748 in Introductia in Analysin infinitorum (Introducere in analiza infinitorie) Euler a facut ideile lui Johann Bernoulli mai precise in definirea unei functii, si a stabilit ca analiza matematica consta in studiul functiilor. Aceasta lucrare pune baza calculului in teoria functiilor elementare mai mult decat in curbele geometrice, cum s-a facut anterior. In aceasta lucrare Euler a dat si formula
eix=cosx + i sinx
In Introductia in analysin infinitorum Euler a tratat logaritmul unei variabile luand doar valori pozitive desi descoperise formula
ln(-1)=piin 1727. El si-a publicat intreaga teorie a logaritmilor numerelor complexe in 1751.
Functiile analitice ale unei variabile complexe au fost verificate de Euler in diferite contexte, incluzand studiul traiectoriilor ortogonale si cartografiei. El a descoperit ecuatiile Cauchy-Riemann in 1777, desi d'Alembert le descoperise in 1752 in timp ce cerceta hidrodinamica.
In 1755 Euler a publicat Institutiones calculi differentialis, care incepe cu studiul calculului diferentelor finite. Lucrarea face o investigatie asupra cum se comporta diferentiatorii sub substitutie.
In Institutiones calculi differentialis (1768-70) Euler a facut o cercetare a integralelor care pot fi exprimate in termenii unei functii elementare. El a studiat si functiile beta si gamma, care fusesera introduse prima data in 1729. Legendre a numit aceste integrale Euleriene de primul si al doilea fel respectiv cand li se da numele functiei beta si functiei gamma, respectiv Binet si Gauss. Asa cum a investigat integralele duble, Euler a considerat ecuatiile diferentiale ordinare si diferentiale in aceasta lucrare.
Calculul variatiilor este alt domeniu in care Euler a facut descoperiri fundamentale. Lucrarea saMethodus inveniendi lineas curvas publicata in 1740 a inceput studiul propriu-zis al calculului variatiilor. Caratheodory a considerat aceasta ca fiind:
,, una dintre cele mai frumoase lucrari de matematica scrise vreodata."
Problemele in fizica matematica l-a impins pe Euler la un larg studiu al ecuatiilor diferentiale. El a considerat ecuatiile lineare cu coeficienti constanti, ecuatiile diferentiale de gradul doi cu coeficienti variabili, seria puterilor solutiei ale ecuatiilor diferentiale, o metoda a variatiei constantelor, factori integranti, o metoda de aproximare a solutiei si multe altele. Cand a considerat membranele vibrante a ajuns la ecuatia Bessel a rezolvat-o prin introducerea functiei Bassel.
Euler a avut contributii substantiale in geometria diferentiala, cercetand teoria suprafetelor . Multe rezultate nepublicate de Euler in acest domeniu au fost descoperite de Gauss. Alta investigatie geometrica l-a dus la ideile fundamentale din topologie cum ar fi caracteristica poliedrului data de Euler.
In 1736 Euler a publicat Mechanica care a oferit un avantaj major in mecanica. Yushkevich scria:
,, Trasatura distinctiva a cercetarilor lui Euler in mecanica comparata cu cea a precedentilor este aplcatia sistematica si plina de succes a analizei. Precedent, metoda mecanicii fusese mai mult sintetica si geogeometrica; si ei au dorit o apropiere de problemele separate. Euler a fost primul care a apreciat importanta introducerii metodei analitice uniforme in mecanica, dand astfel posibilitatea problemelor ei sa fie rezolvate intr-o maniera clara si directa."
In Mechanica Euler a considerat miscarea unei multimi de puncte si intr-un mediu vid si intr-un mediu rezistent. El a analizat miscarea unei multimi de puncte sub o forta centrala si a considerat si miscarea unei multimi de puncte pe o suprafata. In acest ultim subiect a avut de solutionat diferite probleme de geometrie diferentiala .
Mechanica a fost urmata de alta lucrare importanta in mecanica rationala, de aceasta data lucrarea de 2 volume a lui Euler in stiinta navala. Este descrisa astfel:
,, Remarcabil in ambele mecanici teoretica si aplicata, se adreseaza intensei ocupatii a lui Euler cu problema propulsatiei unui vapor. Ea aplica principii variate pentru a determina design-ul optim si pentru a stabili mai intai principiile hidrostaticii Aici Euler incepe si sa dezvolte dinamica corpurilor rigide, introducand in parte ecuatiile diferentiale pentru mitcarea lor."
Desigur hidraulica fusese studiata de la Arhimede, dar Euler i-a dat o forma definitiva.
In 1765 Euler a publicat alta lucrare majora in mecanica Theoria motus corporum solidorum in care a descompus miscarea unui solid intr-o miscare rectilinie si una de rotatie. El a considerat unghiurile Euleriene si a studiat problemele de rotatie care erau cauzate de problema preciziei echinoctiilor.
Lucrarea lui Euler in mecanica fluidelor este si ea remarcabila. El a publicat multe bucati majore ale lucrarii totusi in 1750 s-a instituit formulele principale pentru subiect, ecuatia continua, ecuatiei potentiale a vitezei data de Leplace, si ecuatiile lui Euler in miscarea unui fluid nevascos si incompresibil. In 1752 a scris:
,, Oricat de sublime sunt cercetarile asupra fluidelor, pe care le datoram lui Messrs Bernoulli, Clairout si d'Alembert, ele reies atat de natural din cele 2 formule generale ale mele incat nu sunt admirate suficient acest acord al profundelor sale meditatii cu simplicitatea principiilor din care am dedus eu cele 2 ecuatii "
Euler a contribui la cunoasterea a multor alte domenii, si in toate a implicat cunostintele sale de matematica si aptitudinile sale. A avut lucrari importante in antronomie, incluzand:
,, determinarea orbitelor cometelor si planetelor prin cateva observatii, metode de calcul a Soarelui, teoria refractiei, considerarea naturii psihice a cometelor . Lucrarile sale cele mai remarcabile, pentru care a castigat multe premii de la Academia de stiinte de la Paris, privesc mecanica cereasca, care oameni de stiinta ai timpului au fost special atrasi."
De fapt teoria lunara a lui Euler a fost folosita de Tabias Mayer in construirea tabelelor sale. In 1765 vaduva lui Tabias Mayer a primit 3000 de . din partea M. Britanii pentru contributia tabelelor facute in problema determinarii longitudinii, in timp ce Euler a primit 300 de . din partea guvernului britanic pentru contributia sa teoretica la lucrare.
Euler a publicat si teoria muzicii, in particular el a publicat Tentamen novae theoriae musicae in 1739 in care a incercat sa faca muzica:
,, o parte din matematica si deductie intr-o maniera ordonata, de la principii corecte oriceea ce se poate potrivi la un loc si amestecul agreabil de tone."
Oricum lucrarea a fost:
,, pentru muzicieni prea avansata in matematica ei si pentru matematicieni prea muzicala."
Cartografia a fost alt domeniu in care Euler s-a interesat cand a fost propus pentru postul de director al sectiei de geografie a Academiei din St. Petersburg in 1735. El a avut sarcina specifica de a ajuta pe Delide sa intocmeasca o harta a intregului Imperiu Rus. Atlasul Rusesc a fost rezultatul acestei colaborari si a aparut in 1745, continand 20 de harti. Euler, aflat in Berlin la timpul publicarii, a remarcat mandru ca aceasta lucrare i-a situat pe Rusi atat de sus ca si pe Germani in arta cartografiei.
