Vectori si operatii
1. Adunarea vectorilor B S O A u + v v u Fie u si v doi vectori in plan de directii diferite . Fie O un punct in plan . Construim OA=u si OB=v . Fie S un al patrulea varf opus lui O al paralelogramului cu trei varfuri in O,A si B .
OS = u + v ( regula paralelogramului ) 1) Daca u si v sunt doi vectori de aceeasi directie si acelasi sens atunci u+v este vectorul de aceeasi directie si sens si de lungime | u |+| v | . 2) Daca u si v au aceeasi directie si sensuri opuse atunci daca | u |>| v | vectorul u+v are aceeasi directie cu vectorii u si v , are sensul vectorului u si lungimea | u |-| v | . 3) Daca u si v au aceeasi directie , sensuri opuse si | u |<| v | atunci u+v este vectorul de aceeasi directie cu sensul vectorului v si cu lungimea | v | - | u | . Se stie ca intr-un Δ , AC < AB + BC si atunci | u+v | < | u | + | v | . Cand A,B,C sunt colineare si vectorii AB si BC au acelasi sens atunci | u+v | = | u | + | v | . Deci in general | u+v | ≤ | u | + | v | pentru orice 2 vectori u si v egalitatea avand loc numai daca u si v sunt coliniari si au acelasi sens . Proprietetile adunarii : (u+v) +w = u+ (v+w) – asociativitate ; u+v = v+u – comutativitate ; exista 0 , a.i. oricare ar fi v , v+0 = 0+v = v – element neutru ; oricare ar fi vectorul v exista (–v) a.i v+(-v)=(-v)+v=0 – element sincretic ; (- v) = opusul lui v , are aceeasi directie , lungime dar sensul e opus . | u | + | v | = √(u²+v²+2uv*cos α) ;
2. Inmultirea unui vector cu un scalar
Fie α care apartine lui R , v- vector => αv se obtine din v astfel : pentru α>0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , acelasi sens si lungimea = α|v| ; pentru α<0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , sens opus acestuia si lungimea |α|*|v| ; pentru α=0 => 0*v = 0 ;
Proprietatile inmultirii unui vector cu un scalar : Fie α , β apartin lui R , u,v = 2 vectori ; α( βv ) = ( αβ )v ; α( v+u ) = αv + αu ; 1* (v) = v ; 0* (v) = 0 ; α 0 = 0 ; - Daca α=-1 vectorul (-v) se numeste opusul vectorului v si se obtine din acesta pastrandu-i directia si modulul , dar schimbandu-i sensul . Teorema : 2 vectori nenuli sunt paraleli ( sau coliniari ) daca unul se obtine din celalalt prin inmultire cu un scalar nenul . u,v ≠ 0 u || v <=> exista α apartinand lui R a.i. u = αv ; A C' A' B' C B Daca A',B',C', sunt mijloacele laturilor Δ ABC atunci AA'+BB'+CC'=0
Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi este egal cu semisuma bazelor ( EF=1/2(AB+DC)); -Daca in rel. demonstrata trecem la norme ||EF||=1/2 (||AB|+|DC||)≤1/2(||AB||+||DC||); -Egalitatea are loc<=> vectorii AB si CD sunt coliniari si de acelasi sens <=> AB || DC <=> ABCD – trapez ; -In general FE ≤1/2(AB+DC) – intr-un patrulater ; D E A F B C -Egalitatea are loc in trapez .
Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele celor doua diagonale este egal cu semidiferenta bazelor ( MN=1/2(BC-AD)); A D M N B C Intr-un Δ ABC , M apartine BC a.i. MB/MC=k => AM=1/(k+1)AB-k/(k+1)AC ; - Caz particular MB=MC => mediana AM=1/2(AB+AC) ; Fie G = c.g. Δ ABC , M – un punct in plan , atunci MA+MB+MC=3MG ; Fie H= ortocentrul Δ inscris in C(O,r) , atunci HA+HB+HC=2HO ; H,G,O-coliniare si OH=3OG ; - Dreapta care contine aceste trei puncte ( c.c.circumscris – O , centrul de greutate – G si ortocentrul – H ) se numeste dreapta lui Euler . A M N A' B C G Intr-un Δ , G=c.g. , M apartine lui AB , N apartine lui AC , si MN trece prin G => MB/MA + NC/NA =1 . Teorema lui Menelaus si a lui Ceva
1.Teorema lui Menelaus A C' B' C A' B
O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele A',B',C' . Atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 . Reciproca : Daca A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C' apartine lui AB si daca A',B',C' sunt situate doua pe laturi si unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 atunci punctele A',B',C' sunt coliniare .
2. Teorema lui Ceva A K B' C' B A' C
Se da Δ ABC si dreptele concurente AA',BB',CC' ≠ laturi atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 . Reciproca : Se da Δ ABC , A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C' apartine lui AB ≠ varfuri , situate pe laturi sau un punct pe o latura si doua pe prelungirile laturilor . Daca A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 => dreptele AA' , BB' , CC' sunt concurente . OBSERVATIE ! Dreptele concurente A'A , B'B , C'C se numesc ceviene . Reciproca Teoremei lui Ceva este utila in rezolvarea problemelor de concurenta . Geometria analitica a dreptei O B A xA xB yA P x y yB 1. Geometria analitica a dreptei – distanta dintre doua puncte AB=√[(xA-xB)²+(yA-yB)²] 2. Elemente de geometrie analitica Se numeste versor al dreptei d un vector de lungime 1 , care are directia dreptei d . Daca A apartine lui d ii asociem un numar real , unic x , numit coordonata sa . Atunci OA=x*i . Daca x>0 atunci A este in sensul pozitiv al axei Ox . Daca x<0 atunci A este in sensul negativ al axei Ox . Fie xOy un sistem de axe ortogonale . Fie i si j versorii axelor . Fie u un vector in plan . Orice vector u poate fi scris in mod unic u=xi+yj ; x O y B A u i j M AB = (xB-xA)i + (yB-yA)j ; x O y B A 3. Modulul uni vector u = xi + yj => |u| = √(x²+y²) |AB|=||AB||=AB x O y B M u A |u|=||u||=u 4. Suma a doi vectori u=x1i+y1j v=x2i+y2j u+v = (x1+x2)i+(y1+y2)j 5. Conditia de paralelism
u||v <=> x1/x2=y1/y2 , pt. x2,y2 ≠0 6. Conditia de coliniaritate a 3 puncte
A,B,C – coliniare <=> AB||AC => (x2-x1)/(x3-x1)=(y2-y1)/(y3-y1) 7. Conditia de perpendicularitate
u┴v <=> x1*x2+y1*y2 = 0 8. Coordonatele mijlocului unui segment
xM=(xA+xB)/2 yM=(yA+yB)/2
9. Coordonatele centrului de greutate al unui Δ xG=(xA+xB+xC)/3 yG=(yA+yB+yC)/3
10. Ecuatia dreptei in plan
Graficul functiei de gradul I , f : R → R , f(x) = ax + b , cu a≠0 este o dreapta formata din punctele de coordonatele (x,y) unde y=ax+b . Orice dreapta este bine determinata de doua puncte distincte ale sale . - Daca a=0 , dreapta de ecuatie y=b este orizontala dusa prin b ; - Daca a≠0 dreapta de ecuatie y=ax+b este oblica ; - Mai exista dreapta verticala de ecuatie x=c . 11. Ecuatia dreptei care trece printr-un punct dat si are o directie data
Ecuatia dreptei care trece printr-un punct A(x0,y0) si are directia vectorului u=pi+qj este (x-x0)/p=(y-y0)/q , p,q ≠0 Daca p=0 => u=qj => d||Oy si dreapta este verticala cu ecuatia x=x0 Daca q=0 => u=pi => d||Ox si dreapta este orizontala cu ecuatia y=y0 12. Coeficientul unghiular . Panta unei drepte . A a B O x y d
Fie d o dreapta in sistemul de axe xOy . Unghiul α format de dreapta d cu sensul pozitiv al axei Ox se numeste coeficientul unghiular al dreptei d . Dreapta d:y=mx+n are panta m=tg.α , unde α = unghiul format de dreapta d cu sensul pozitiv al axei Ox . Ecuatia dreptei care trece printr-un punct dat A(x0,y0) si are panta data m , este y--y0=m(x-x0). 13. Conditia de paralelism a doua drepte d1 : y=m1x+n1 d2 : y=m2x+n2 d1||d2 d1||d2 <=> m1=m2 ( au aceeasi panta ) 14. Conditia de perpendicularitate a doua drepte
d1 : y1=m1x+n1 d2 : y2=m2x+n2 d1┴d2 <=> m1*m2 = -1 15. Ecuatia dreptei care trece prin 2 puncte date
Ecuatia dreptei care trece prin 2 puncte date A,B = AB : (y-yA)/(yB-yA)=(x- -xA)/(xB-xA)
CONCLUZIE : Ecuatia generala a dreptei d : ax+by+c=0 unde a²+b²≠0 . -8-
