Logo referatecarte



referat, proiect, rezumat, caracterizare, lucrare de nota 10 despre: AstronomieBiologieChimieDesenDiverseDrept
 EconomieEnglezaFilozofieFizicaFrancezaGeografie
 GermanaInformaticaIstorieItalianaMarketingMatematica
 MedicinaMuzicaPsihologieRomanaRomana1Spaniola

ANALIZA COMBINATORIE BINOMUL LUI NEWTON, INDUCTIA MATEMATICA COMPLETA



METODA INDUCTIEI MATEMATICE

COMPLETE. ANALIZA COMBINATORIE. BINOMUL LUI NEWTON. SUME.


1. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE

Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:



O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural n k atunci sunt satisfacute simultan conditiile:

a)    Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kIN

b)    (P(k), k n) T P(n+1), ( ) n k, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice k n rezulta p(n+1) adevarata, pentru orice n k.


2. PERMUTARI


Fie E= o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E E.


Notam permutarea in felul urmator

Notam numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3.n

conditie de existenta:                            nIN

conventie:          0!=1 ; 1!=1

Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!

3. ARANJAMENTE


Notam cu Ank

Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (n k), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.


Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2).(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1

c.e. n k

conventie:  n=k T Ann=Pn


4. COMBINARI Cnk

conventie Cn0=Cnn=1 c.e. n k


Formule pentru combinari complementare:  Cnk=Cnn-k

Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1

5. BINOMUL LUI NEWTON

Daca a, bIR, nIN, atunci:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+.+Cnkan-kbk+.+Cnn-1abn-1+Cnnbn


sau

Tk+1=termen general

k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii 


(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-.+(-1)n-kCnkan-kbk+.+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn


sau

Obs 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.

2) Cn0, Cn1, Cn2,.,Cnn se numesc coeficienti binomiali

3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.


4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:

5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci:

Cn0+Cn1+Cn2+.+Cnn=2n

Cn0+Cn2+Cn4+.=Cn1+Cn3+Cn5+.=2n-1

6) Identitatile utile:

a)    Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+.+Ck-1k-1

b)    Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+.+CnkCm0


7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale



Fie k 1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+.+nk

Folosim dezvoltarea (a+1)2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1,2,.n.



Folosim dezvoltarea (a+1)3=a3+3a2+3a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,.n.


Folosim dezvoltarea (a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, pentru demonstratie, unde     a=1,2,.n



Caz particular


6. PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE


Teorema : Fie numerele an-1, an, an+1 in progresie aritmetica. Atunci:

2an=an-1+an+1



Def Fie numerele a1, a2, a3,.,an in progresie aritmetica, daca an=a1+(n-1)r sau an=an-1+1, unde:     an= ultimul termen

a1=primul termen

an-1=penultimul termen

n=numarul de termeni

r=ratia progresiei aritmetice



Obs Pentru verificare r=a2-a1=a3-a2=a4-a3=.=an-an-1


Teorema Fie numerele bn-1, bn, bn+1 in progresie geometrica. Atunci

bn2=bn-1.bn+1

Def Fie numerele b1, b2,.bn in progresie geometrica, daca bn=b1.qn  sau bn=bn-1.q unde: bn=ultimul termen

b1=primul termen bn-1=penultimul termen n=numarul de termeni q=ratia progresiei geometrice



Obs pentru verificare q=a2/a1=a3/a2=.=an/an-1