XI.28. Sa se determine 
pentru care limita
sirului 
definit prin termenul
general 
este finita
si nenula.
Pentru a dispare radicalul de la numitor, scriem an in forma urmatoare:
=
.
Limita sirului are acum forma:
; facand
calculele obtinem nedeterminarea 
(pentru p<0).
Pentru a elimina nedeterminarea folosim teorema Stolz-Cesaro, si avem:
Pentru 
, obtinem egalitate de grade la numarator
si la numitor, lucru care ne va conduce la o limita finita
nenula.
amplificam cu
conjugata numitorului si avem:
amplificam din nou cu conjugata si avem:
Deci pentru limita sirului este finita
si nenula.
IX.26 Daca 
, sa se rezolve ecuatia 
. Discutie.
Ecuatia se poate scrie si astfel:
Aducem la acelasi numitor in paranteza si avem:
Inmultim
ecuatia cu -1 si avem:
Aducem la acelasi numitor in paranteza si avem:
, nu are solutie!
sau
, are solutii, iar acum trebuie sa aflam ce
forma generala are o astfel de solutie, atunci cand .
In fond, trebuie sa gasim doua valori a caror produs sa fie a, lucru care este usor de realizat pentru a, numar natural, dar va fi mult mai dificil in cazul numerelor rationale.
I) Sa luam a=1, atunci avem
; gasim ca una dintre solutii ar fi 
, pentru ca 
.
Pentru a=2 avem 
cu o solutie 
, pentru ca 
.
Aparent formula generala nu ar avea o forma fixa la
aceasta problema, deoarece, pentru un a oarecare, a=2 in cazul de
fata, obtinem doua forme pentru x: 
si 
. Prelucrand aceste forme ale lui x, ajungem la concluzia
ca 
, unde t este un numar natural nenul
oarecare. Formula aceasta este valabila numai pentru a, numar
natural.
II) In cazul in care a este un numar rational, ne inspiram de la punctul I) al acestei probleme.
Sa luam, de exemplu a=5,34 ; gasim 
. Explicatia acestei forme pentru x ar fi urmatoarea:
Se dubleaza a, se inmulteste cu puterea (minima)
a lui 10 (sa zicem 
) astfel incat sa devina numar natural, iar
apoi ii adunam un numar subunitar rezultat din impartirea
numarlui 1 la 
, iar apoi inmultim acest numar subunitar cu 5.
Deci formula generala, pentru 
ar fi: 
Pentru a verifica formula aceasta vom lua, de exemplu, a=8,745.
Avem 
Daca vom calcula 
vom obtine: 
(A), deci formula este
corecta.
Concluzie: Cheia acestei probleme este compensarea. Astfel, trebuie ca, numarul natural care reprezinta partea intreaga a lui x, inmultit cu numarul rational ce reprezinta partea fractionara a lui x sa faca 1(element neutru la inmultire).
CIUREANU BOGDAN
CLASA A XI- A B
LICEUL DE INFORMATICA
"GRIGORE MOISIL" - IASI
