CUPRINS
NOTIUNI TEORETICE……………………………..2
Derivata unei functii intr-un punct 2
Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale ..5
Proprietatile functiilor derivabile ………………………...10
APLICATII …………………………………………..……18
tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y
tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y
tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y
tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y
tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y
tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y
tt563y9255nttv 29563yte55ntv2y
Notiuni teoretice
ξ I. Derivata unei functii intr-un punct
I.0o Originea notiunii de derivata
Au existat doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil - si alta geometrica - tangenta la o curba plana -, care au condus la descoperirea notiunii de derivata. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definitia matematica a acestui concept.
I.1o Definitia derivatei unei functii intr-un punct
Fie o functie ƒ : E → R (ER) si, x0 punct de acumulare al multimii E. Retinem ca ƒ este definita in x0.
DEFINITIA 1:
1) Se spune ca ƒ are derivata in punctul x0, daca exista ( in )
notata cu ƒ’(x0);
2) Daca derivata ƒ’(x0) exista si este finita se spune ca functia ƒ este derivabila in
x0.
Observatii. 1. Se poate intampla ca ƒ’(x0) sa existe si sa fie .
2.Trebuie remarcat ca problema existentei derivatei sau a derivabilitatii
nu se pune in punctele izolate ale multimii E (daca E are astfel de puncte!).
Presupunem ca ƒ’(x0) exista; facand translatia x – x0 = h, atunci din relatia de definitie rezulta ca
DEFINITIA 2:
Daca o functie ƒ: E → R este derivabila in orice punct al unei submultimi FE, atunci se spune ca ƒ este derivabila pe multimea F. In acest caz, functia F → R, x → ƒ’(x) se numeste derivata lui ƒ pe multimea F si se noteaza cu ƒ’. Operatia prin care ƒ’ se obtine din ƒ se numeste derivarea lui ƒ.
TEOREMA 1. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.
Demonstratia este simpla: Presupunem ca ƒ: E → R este derivabila in punctul xE, deci limita din definitia 1 exista si este finita.
In general reciproca teoremei este falsa. Un exemplu este functia modul in origine.
In studiul existentei limitei unei functii intr-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptam acest criteriu la studiul derivabilitatii unei functii intr-un punct, tinand cont ca existenta derivatei implica in fond existenta unei anumite limite.
DEFINITIA 3.
Fie ER si x0E un punct de acumulare pentru E. Daca limita
exista (in R barat ), atunci aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei ƒ in punctul x0.Daca , in plus, aceasta limita exista si este finita, atunci se spune ca ƒ este derivabila la stanga in punctul x0.
In mod similar se definesc derivata la dreapta si notiunea de functie derivabila la dreapta in x0.
TEOREMA 2. Daca ƒ: E → R este derivabila in punctul x0E, atunci ƒ este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si
Reciproc, daca ƒ este derivabila la stanga si la dreapta in x0 si daca , atunci ƒ este derivabila in x0 si
Daca E=[ a, b], faptul ca ƒ este derivabila in a (respectiv b) revine la aceea ca ƒ este derivabila la dreapta in punctul a (respectiv la stanga in b).
Exemplu : Pentru ƒ : R→R, ƒ(x) =| x |, avem
Similar se obtine ca:
,
regasim ca ƒ nu este derivabila in punctul x = 0.
I.2o Interpretarea geometrica a derivatei
Daca ƒ: (a, b)→R este o functie derivabila intr-un punct x0 (a, b), atunci conform relatiilor
graficul lui ƒ are tangenta in x0 (sau mai corect in punctul (x0, ƒ(x0)), anume dreapta de ecuatie
Asadar ƒ’(x0) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui ƒ, in punctul (x0,ƒ(x0)). Daca ƒ’(x0)= (in sensul ca limita din definitie este infinita), atunci tangenta in (x0, ƒ(x0)) este paralela cu axa Oy.
Fara nici o dificultate , se poate vorbi de semitangenta la dreapta sau la stanga intr-un punct la un grafic, in legatura cu derivatele laterale respective in acel punct. Geometric, pentru o functie derivabila intr-un punct, directiile semitangentelor la dreapta si stanga la grafic in acel punct coincid.
Daca intr-un punct x0, ƒ este continua si avem (sau invers), atunci punctul x0 se numeste punct de intoarcere al graficului lui ƒ.
Daca o functie ƒ: E → R (ER) este continua intr-un punct x0E, daca exista ambele derivate laterale, cel putin una dintre ele fiind finita, dar functia nu este derivabila in x0, atunci se spune ca x0 este punct unghiular al graficului lui ƒ (fig.2.). Intr-un punct unghiular cele doua semitangente, la stanga si la dreapta, formeaza un unghi α
Exemple :
Pentru functia ƒ(x) = , scriem ecuatia tangentei in punctul x0 = 1.
Avem si ecuatia ceruta este
(fig. 3).
ξ II. Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale
Am intalnit deja exemple de functii derivabile. Este utila o sinteza a derivatelor functiilor uzuale si se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de functii derivabile.
II.1o Derivatele catorva functii uzuale
Orice functie constanta ƒ: R → R, ƒ(x)=c este derivabila pe R, cu derivata nula
(1).
Functia putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real si x > 0) este derivabila pe R si ƒ’(x)=nxn-1.
(2).
Functia logaritmica ƒ: (0, ) → R, ƒ (x) = ln x este derivabila pe domeniul de definitie si are derivata
(3).
Functiile trigonometrice ƒ, g: R → R, ƒ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R si pentru orice x avem
(sin x)’ = cos x
(cos x)’= -sin x
Demonstratiile tuturor acestor derivate se fac usor folosind definitia derivatei.
II.2o Reguli de derivare
In continuare aratam ca pentru functii ca ƒ, g : E→R derivabile, E R, functiile ƒ + g, ƒ-g, fg etc. au aceeasi proprietate.
TEOREMA 3. Presupunem ca ƒ, g sunt derivabile in punctul x0E si o constanta.
Atunci :
(a) suma ƒ + g este derivabila in x0 si
(b) λƒ este derivabila in x0 si
(c) produsul ƒg este o functie, derivabila in x0 si
Demonstratia se face de asemenea usor folosind definitia derivatei.
Generalizand se obtine urmatorul
COROLAR. Daca ƒ1, ƒ2,…ƒk sunt functii derivabile in punctul x0, atnuci suma ƒ1 + ƒ2 + … +ƒk, respectiv produsul ƒ1ƒ2…ƒk sunt derivabile in x0 si, in plus:
si
TEOREMA 4. Presupunem ca ƒ si g sunt derivabile in x0 si ca . Atunci functia – cat este derivabila in x0 si, in plus :
II.3o Derivarea unei functii compuse si a inversei unei functii
Trecem acum la stabilirea altor doua teorema generale de derivare, relativ la compunere si inversare. Deosebit de importanta este formula de derivare a functiilor compuse. In acest sens, are loc
TEOREMA 5. Fie I, J intervale si doua functii. Daca ƒ este derivabila in punctul x0I, si g este derivabila in punctul y0=ƒ(x0), atunci functia compusa G= gƒ este derivabila in x0 si G’(x0) = g’(y0)f’(x0). Daca ƒ este derivabila pe I, g este derivabila pe J, atunci gf este derivabila pe I si are loc formula :
Demonstratie. Avem de aratat ca
Consideram functia ajutatoare F:I→R, definita prin
Functia F este continua in punctul y0 deoarece
Pe de alta parte, pentru orice xx0 avem
Intr-adevar daca f(x) = ƒ(x0), atunci ambii termeni sunt nuli, iar daca ƒ(x) ƒ(x0), atunci ƒ(x) y0 si, conform functiei ajutatoare , deci relatia precedenta este dovedita in ambele cazuri. Observand ca F(f(x))→F(f(x0)=F(y0)=g’(y0) si trecand la limita (x→x0) relatia precedenta rezulta ca
TEOREMA 6. Fie ƒ: I →J o functie continua si bijectiva intre doua intervale. Presupunem ca ƒ este derivabila intr-un punct x0I si ƒ’(x0) 0, atunci inversa g=f-1 este derivabila in punctul y0=f(x0) si, in plus,
Demonstratie. Mai intai trebuie sa punem conditia pentru ca limita ; yy0. Din faptul ca yy0 rezulta ca xx0 si, in plus,
.
Trecand la limita cand y→y0, rezulta ca g(y)→g(y0) adica x→x0 si ultimul raport tinde catre . Primul raport din relatia de mai sus va avea limita, deci functia g este derivabila in punctul y0. Ceea ce trebuia de demonstrat.
Aceasta teorema se foloseste la aflarea derivatelor unor inverse de functii. Cum ar fii arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.
II.4o Derivatele functiilor uzuale si a regulilor de derivare
Reguli de derivare
1.
2.
3.
4.
II. Tabloul de derivare al functiilor elementare
Functia
|
Derivata |
Domeniul de derivabilitate |
c(constanta) |
0 |
R |
x |
1 |
R |
xn |
nxn-1 |
R |
xr, r real |
rxr-1 |
cel putin |
|
|
|
ln x |
|
|
ex |
ex |
R |
ax |
axln a |
R |
sin x |
cos x |
R |
cos x |
-sin x |
R |
tg x |
|
cos x |
ctg x |
|
sin x |
arcsin x |
|
(-1, 1) |
arccos x |
|
(-1, 1) |
arctg x |
|
R |
arcctg x |
|
R |
Toate aceste derivate se demonstreaza usor folosind definitia derivatei si teorema 6. Teorema de derivare a functiilor compuse impreuna cu tabloul anterior permite obtinerea urmatoarelor formule utilizate (unde u = u(x) este o functie derivabila).
Tabloul de derivare al functiilor compuse
Functia |
Derivata |
Domeniul de definitie |
u |
u’ |
|
un |
nun-1u’ |
|
ur |
rur-1u’ |
u>0 |
|
|
u>0 |
ln u |
|
u>0 |
eu |
euu’ |
|
au |
au(ln a) u’ |
|
sin u |
u’cos u |
|
cos u |
-u’sin u |
|
tg u |
|
cos u |
ctg u |
|
sin u |
arcsin u |
|
u2<1 |
arccos u |
|
u2<1 |
arctg u |
|
|
arcctg u |
|
|
Adaugam ca daca u, v sunt functii derivabile si u > 0, atunci functia uv = evlnu are derivata
formula care rezulta aplicand teorema de derivare a functiilor compuse functiei evlnu si tinand cont ca
ξ III. Proprietatile functiilor derivabile
In continuare vom da metode de determinare a punctelor de maxim si minim, a intervalelor de monotonie, a intervalelor de convexitate etc. ale unei functii, in care rolul derivatelor este esential.
Unele din teoremele care urmeaza sunt intuitiv evidente (folosind de regula interpretare geometrica a derivatei) si demonstratiile pot fi la inceput omise, insistand pe intelegerea enunturilor.
III.1o Puncte de extrem. Teorema lui Fermat
Intr-o serie de probleme tehnice sau economice, si bineinteles matematice, este important de stiut care sunt maximele si minimele anumitor marimi variabile. Dupa ce problemele capata o formulare matematica, adeseori ele se reduc la determinarea punctelor de extrem ale anumitor functii. Sunt necesare in prealabil cateva definitii precise.
DEFINITIA 4:
Fixam o functie ƒ : A→R (AR). Un punct x0A se numeste punct de maxim relativ (respectiv de minim relativ) al lui ƒ daca exista o vecinatate U a punctului x
