DIVIZIBILITATE
Definitia divizibilitatii:
Spunem ca numarul natural a se divide cu d,daca exista un nr.c, astfel incat a=dxc
Ex:30 se divide cu nr.5,pentru ca exista un nr.6,astfel incat
30=5x6.
d/a se citeste d divide a
d/a <=> exista c,astfel incat a=dxc,d si a sunt nr.nat.
a:d se citeste a este divizibil cu d
Divizor si multiplu
Daca d/a,atunci d se numeste divizor al lui a si a se numeste multiplu al lui d.
Dn=multimea divizorilor lui n.
D6=
D15=
D12=
D30=
Multiplii lui 12:
M12=
Proprietati ale divizibilitatii
1) 1/a, a este nr. nat.
2) a/a,a este nr.nat.
3)d/a => d/ab, a,b si d sunt nr.nat.
d/a =>exista nr.nat.c,a.stfel incat a=dc
ab=dcxb si cb este nr. nat.=> ab:d
4)d/a si d/b=>d/a+b
Demonstratie:
d/a<=> exista a' nr.nat.,a.i. a=dxa'
d/b<=> exista b' nr.nat.,a.i. b=dxb'
a+b=dxa'+dxb'=d(a'+b')
a'+b'=c=> a+b=dxc <=> d/a+b
Obs:la fel si pentru d/a si d/b =>d/a-b
Divizori proprii si improprii
Orice nr.este diizibil prin 1 si prin el insusi.Nr.1 si nr. insusi se numesc divizori improprii.Ceilalti divizori ai nr. se numesc divizori proprii.
Ex:D6=
Numere prime
Numim nr.prim orice nr.nat.mai mare decat 1,care are numai divizori improprii.Nr.prime sunt:2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31
Obs.:Singurul nr.prim si par este 2.
Pentru a afla daca un numar este prim sau nu,il descompunem in factori primi,adica il impartim la toate nr.prime cu care este divizibil.Daca este divizibil doar cu 1 si cu el insusi,atunci nr. este prim.
Criterii de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 2
Un nr. este divizibil cu 2 daca ultima sa cifra este para.
Ex:nr.2345678 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 8 si este cifra para:
nr.2000 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 0 si este cifra para.
Nr. care sunt divizibile cu 2 se numesc nr.pare.
Criteriul de divizibilitate cu 5
Un nr. este divizibil cu 5 daca ultima sa cifra este 0 sau 5.
Criteriul de divizibilitate cu 4
Un nr.este divizibil cu 4,daca nr.format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 4.
Criteriul de divizibilitate cu 8
Un nr.este divizibil cu 8,atunci cand nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8.
Criteriul de divizibilitate cu 25
Un nr.este divizibil cu 25,daca nr. format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25,adica daca ultimele sale 2 cifre sunt:00;25;50; 75.
Criteriul de divizibilitate cu 125
Un nr. este divizibil vu 125,daca nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 125.
Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10
Un nr. este divizibil cu o putere a lui 10,daca ultimele sale n cifre sunt zerouri.
Criteriul de divizibilitate cu 3
Un nr.este divizibil cu 3,daca suma cifrelor sale este un nr.divizibil cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 9
Un nr.este divizibil cu 9,daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9.
Criteriul de divizibilitate cu 6
Un nr. este divizibil cu 6,daca este divizibil cu 2 si cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 15
Un nr. este divizibil cu 15,daca este divizibil cu 5 si cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 11
Un nr. este divizibil cu 11,daca diferenta dintre suma cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare este un nr. divizibil cu 11.
Ex.:1925
11:11=>1925:11
Cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun
Cel mai mare divizor comun al nr. a si b este cel mai mare nr.la care se impart exact si a si b.Cel mai mare divizor comun al nr.a si b se scrie:c.m.m.d.c al nr.a si b sau (a;b)
1)(a;b)=d<=>a=dxa'
b=dxb'
(a';b')=1
2)(a;b)=d<=> d/a si d/b,oricare ar fi d' a.i. d'/a si d'/b=> d'/d
Cel mai mic multiplu comun al nr.a si b este cel mai mic nr. care se imparte exact si la a si la b.Se noteaza:c.m.m.m.c al nr.a si b sau
[a;b]
1)[a;b]=m<=>m=axm'
m=bxm'
2)[a;b]=m<=>a/m si b/m,oricare ar fi m',a.i. a/m' si b/m'=>m'/m
Nr. prime intre ele
Definitie:2 nr.care au cel mai mare divizor comun 1,se numesc nr. prime intre ele.
Obs.:daca a si b sunt prime intre ele,scriem:(a;b)=1
Proprietate:2 nr. consecutive sunt prime intre ele.
Dem.:
Fie d/a si d/a+1=>d/a+1-a<=> d/1=>(a;a+1)=1,oricare ar fi nr.nat. a si nr. nat. nenul d.
Tipuri de probleme de dvizibilitate
1)Aflati nr.a si b,stiind ca (a;b)=15 si a+b=135
Rezolvare:
(a;b)=15<=>a=15a' ;b=15b':(a';b')=1=>a+b=135
15a'+15b'=135
15(a'+b')=135
<=>a'+b'=9
a'=1;b'=8=>a=15;b=120
a'=2;b'=7=>a=30;b=105
a'=4;b'=5=>a=60;b=75
2)Aflati cel mai mic nr.care are exact 6 divizori.
Rezolvare:
6=1x6=2x3
n1=a la puterea a cincea
n2-b la patrat x c
Pt. ca nr. sa fie cel mai mic,trebuie ca puterea care are exponentul cel mai mare sa aiba cea mai mica baza.
n1=2 la puterea a cincea=32
n2=2 la patrat x3=4x3=12=> cel mai mic nr. care are exact 6 divizori este 12.
3)Determinati cel mai mic a,astfel incat nr. 3579a sa fie divizibil cu 11.
Rezolvare:
a+7+3=a+10
[14-(10+a)]:11
14-(10+a)=0
<=>10+a=14
<=>a=14-10
<=>a=4
(3+7+4)-(5+9)=14-14=0=>0:11=>35794:11
4)Care este nr. divizorilor naturali ai nr.:
p=2x3x5
Rezolvare:
Nr. divizorilor este:
(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24
5)Sa se arate ca pentru orice nr. nat. n,nr. urmator indeplineste conditiile:
A=7 -7 -7,A:41
Rezolvare:
A=7 -7 -7=7 x7 -7 x7-7 x1=7 (49-7-1)=7 x41=>A:41
6)Sa se afle cu ce nr. nat. nenul trebuie adunat nr. 2xy :25 pentru a obtine rasturnatul acestuia.
Rezolvare:
2xy+a=yx2 =>y nu poate fi 0.
2xy:25=>xy:25=>2xy==>
=>225+a=522
<=>a=522-225=297
275+a=572
<=>a=572-275=297
=>a=297
7)Care sunt nr. prime de 2 cifre,avand produsul cifrelor 6?
Rezolvare:
ab=?,a este nr. nat. nenul si axb=6
=>a;b sunt divizori ai lui 6
D6=
a=1,b=6=>ab=16 si nu este nr. prim
a=2,b=3=>ab=23 si este prim
a=3,b=2=>ab=32 si nu este prim
a=6,b=1=>ab=61 si este prim
ab=
8)Sa se afle cel mai mic nr. nat. de doua cifre,care impartit la 10, 15 si 18 sa dea restul 2.
Rezolvare:
x:10=c1 (r2)
x:15=c2 (r2)
x:18=c3 (r2)
<=>x=10c1+2
x=15c2+2
x=18c3+2
=>x-2=[10;15;18]
<=>x-2=90
<=>x=90+2=92
9)Sa se afle nr. a si b,stiind ca axb=560,a<b,(a;b)=4
Rezolvare:
(a;b)=4=>a=4a'
b=4b'
axb=4a'x4b'=16xa'xb'
560=16xa'xb'
<=>a'xb'=560:16=35
35=1x35=5x7
Daca a'=1,b'=35=>a=4,b=140
Daca a'=5,b'=7=>a=20,b=28
10)Sa se afle doua nr. nat.,stiind ca c.m.m.d.c.=4 si c.m.m.m.c=144
Rezolvare:
(a;b)=4
[a;b]=144
=>(a;b)x[a;b]=axb=>axb=4x144=576
Daca (a;b)=4=>a=4k,b=4p,k si p sunt nr. nat. nenule
=>576=4kx4p=16xkxp
kxp=576:16=36
=>k si p sunt divizori ai lui 36
D3=
Nr. a,b cautate sunt:(4;144);(15;36);(36;16);(144;4)
Algoritmuri
Pentru a afla c.m.m.d.c.al unor numere,se descompun nr.in factori primi si se inmultesc factorii comuni,luati o singura data,la puterea cea mai mica.
Ex.:120=2 x3x5
132=2 x3x11
(120;132)=2 x3
Pentru a afla c.m.m.m.c al unor nr,se descompun nr. in factori primi si se inmultesc factorii comuni si necomuni,luati o singura data la puterea cea mai mare.
Ex.:36=2 x3
200=2 x5
[36;200]=2 x3 x5 =1800
