Concursul interjudetean Pitagora, Clasa a IV-a, V-a, VI, VII, VIII

CONCURSUL INTERJUDETEAN "PITAGORA"

PROBA INDIVIDUALA

Clasa a IV-a

a) Aflati suma cifrelor numarului de forma   stiind ca sunt indeplinite simultan conditiile: i) d > e; ii) ; iii) b + ; iv) d + b + e = 10; v) .

b) Aflati x + y + z stiind ca: i) marind pe x de 3 ori suma creste cu 48; ii) mcsorand pe y de 3 ori suma scade cu 32; iii) inlocuind pe z cu 48 suma creste cu 12.

Dumitru Avram, invatator, Rm. Valcea

Cand un sfert din numarul baietilor din clasa a IV-a A pleaca din curtea scolii, in clasa raman 24 de elevi. Cand un sfert din numarul fetelor pleaca din clasa, raman in clasa 25 de elevi. Cati elevi sunt in clasa a IV-a A.

Constantin Dinca, invatator, Rm. Valcea

Proprietarul unei galerii de arta a cumparat 4 tablouri cu 500000 lei fiecare pe care le-a vandut cu 400000 lei bucata. A mai cumparat cateva tablouri cu 200000 lei bucata pe care le-a vandut cu 300000 lei bucata. Dupa ce a vandut toate tablourile cumparate constata ca a castigat 1500000 lei. Cate tablouri cu 200000 lei bucata achizitionase?

Maria Grecu, invatatoare, Rm. Valcea

Din A pleaca spre B, iar din B sprea A cate un automobil cu aceeasi viteza. La un moment dat, distanta dintre ele este de 4800 m pe care o parcurg in doua minute pana ce se intalnesc. Apoi isi continua drumul spre B, respectiv A si, fara oprire, se intorc si are loc a doua intalnire dupa 42 minute de la prima intalnire.

a)     Care este viteza de deplasare? b) Care este distanta dintre A si B? Daca dupa a doua intalnire automobilul care a plecat din B isi mareste viteza cu o treime, la ce distanta de B are loc a treia intalnire?

Maria Diaconu, Elena Maiug, invatatoare, Rm. Valcea

Clasa a V-a

Fie S = .

a)     Cati termeni are suma? b) Este S un patrat perfect?

Artur Balauca, profesor, Botosani

Aflati valoarea raportului dintre cel mai mare si cel mai mic numar natural de forma , fiecare fiind produsul a trei numere prime.

Leon Genoiu, profesor, Rm. Valcea

Intr-o cutie sunt creioane colorate cu una dintre culorile albastru, rosu, respectiv verde. Numarul creioanelor albastre reprezinta din numarul celor rosii, iar cele rosii reprezinta din numarul celor verzi. Sa se afle cate creioane sunt de fiecare fel daca numarul total de creioane este de forma

Nicolae Serban, profesor, Rm. Valcea

Dublul numarului paginilor unie carti este egal cu numarul cifrelor folosite in paginarea acesteia. Cate pagini are cartea? Daca intr-o zi citesc cu o pagina mai mult decat in ziua precedenta, in cate zile pot citi cartea, daca o citesc in cel mult 10 zile si cate pagini citesc in fiecare zi?

Mariana si Constantin Saraolu, profesori, Rm. Valcea

Clasa a VI-a

Determinati numerele intregi pare care sunt de forma si indeplinesc simultan conditiile:

i) ; ii) ; iii) au 32 divizori fiecare.

Ilarie Lazar, profesor, Ploiesti

Aflati numerele prime care verifica relatiile: a) m² + n² = 1706; b) x² + y² = 3842.

Leon Genoiu, profesor, Rm. Valcea

Fie triunghiul ABC (), unde perpendiculara in C pe BC intersecteaza AB in D si G este mijlocul segmentului AC.

a) Aratati ca , unde ; b) Aflati distanta de la D la dreapta BG, precum si valoarea raportului , daca = 60^o, iar BC = a.

Constantin Dragomir, profesor, Pitesti

De aceeasi parte a semidreptei [OA se considera punctele B, C, D cu , = 15^o, iar . Bisectoarea unghiului AOC intersecteaza pe AC in N, iar pe BD in P. Fie Q intersectia dreptelor AC si BD.

a)     Aratati ca distanta de la O la dreapta BD este ; b) Demonstrati ca triunghiul PNQ este dreptunghic isoscel.

Gheorghe Radu, profesor, Rm. Valcea

Clasa a VII-a

1) a) Daca , atunci , si

sunt patrate perfecte; b) Daca a, b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi si p este semiperimetrul sau, atunci exista inegalitatea: .

Mucenic Ionescu, profesor, Pitesti

2) Determinati numarul intregilor n, cu , astfel incat .

Maria Ignat, profesoara, Craiova

3) a) Fie M si P, Q, R intersectiile semidreptelor [AM, [BM, respectiv [CM cu (BC), (AC), respectiv (AB). Aratati ca suma este constanta; b) Fie ABCD un patrulater convex de arie S. Consideram M (AB), N (BC), P (CD), Q (DA). Aratati ca minim una dintre ariile triunghiurilor AQM, BMN, CNP, DPQ este mai mica sau egala decat .

Mariana si Constantin Saraolu, profesori, Rm. Valcea

4) In triunghiul echilateral ABC se considera M un punct interior si fie P, Q, R proiectiile lui M pe (AB), (BC), respectiv (AC). Aratati ca: a) Suma distantelor de la M la laturi este constanta;

b)     Suma AP + BQ + CR este constanta; c) Raportul este constant, unde M apartine inaltimii din A si AM PR = .

Ion Jan Zamfir, profesor, Rm. Valcea

Clasa a VIII-a

a) Sa se rezolve sistemul: , unde a, b,c R, ;

b) Sa se reprezinte grafic functia f: A R, f(x) = [x] 1, unde A = .

Nicolae Seimeanu, profesor, Timisoara

Sa se arate ca:

a) exista numere naturale distincte si nenule x, y, z, t, u si v astfel incat x² + y² + z² + t² + u² = v²

b) Exista o infinitate de numere naturale distincte care verifica egalitatea de la punctul a).

Artur Balauca, porfesor, Botosani

Sa se determine cel mai mic numar natural care admite o scriere de forma: , unde a, b, c, d, e, f sunt numere naturale distincte.

Liviu Ignat, profesor, Rm. Valcea

Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D". Din A se duc perpendicularele pe A'B, A'C si A'D care intersecteaza pe A'B' in M, A'C' in V si A'D' in P.

Sa se arate ca: a) punctele M, N, P sunt coliniare; b) PE, MF, AN si A'C sunt concurente, unde E si F sunt respectiv picioarele perpendicularelor din A pe A'B si A'D; c) .

Nicolae Serban, profesor, Rm. Valcea

PROBA COLECTIVA

Clasa a V-a

Sa se arate ca fractia este ireductibila pentru orice n numar natural impar.

Un numar de zece cifre are 9 cifre egale cu 7. Demonstrati ca el nu poate fi patrat perfect.

Cristinel Mortici, profesor, Targoviste

Patru mere cantaresc cat 5 pere, 3 pere cantaresc cat 7 piersici, iar 5 piersici cantaresc cat 8 nuci. Daca pe un taler al unei balante asezam 3 mere, cate nuci trebuie sa asezam pe celalalt taler pentru ca balanta sa fie in echilibru?

Maria Radu, invatatoare, Rm. Valcea, Constantin Magureanu, profesor, Slatina

Clasa a VI-a

Aflati n intreg astfel incat Z.

Gheorghe Iacob, profesor, Rm. Valcea

Sa se arate ca intr-un triunghi ABC latura AC, bisectoarea unghiului B si mediatoarea laturii BC sunt concurente intr-un punct P daca si numai daca .

Fie a, b, c Z astfel incat a(a 1) = b + c, b(b 1) = a + c; c(c 1) = a + b.

Aratati ca N.

Clasa a VII-a

a) Aratati ca 1 + 2² + 3³ + . + 1000¹⁰⁰⁰ < 2¹⁰⁰¹⁰; b) Daca dintre 3 numere rationale suma oricaror doua este mai mare decat al treilea, atunci dovediti ca numerele sunt strict pozitive.

In triunghiul ABC ( 90^o, fei M mijlocul laturii BC. Mediatoarea laturii BC intersecteaza AC in N, astfel incat . Daca AB = a, sa se afle .

Emil Mitrache, profesor, Rm. Valcea

Fie ABCD un patrulater convex si E, F, G, H simetricele punctelor A, B, C, respectiv D fata de D, A, B, respectiv C. Stiind ca aria patrulaterului EFGH este 100 m², aflati aria patrulaterului ABCD.

Constantin Popescu, profesor, Rm. Valcea

Clasa a VIII-a

Fie f: R R cu proprietatea ca oricare ar fi x R, avem 2f(x) + 3f(1 x) = 4f(0) x si g: R R , g(x) = x. Aratati ca G_f G_g =

2) In ortocentrul H al triunghiului ascutitunghic ABC se ridica perpendiculara d pe planul sau.

Aratati ca: a) exista O d, astfel incat ; b) daca O d si , atunci ; c) (AB² + BC² + CA²) > HA² + HB² + HC².

Aratati ca numerele si nu sunt intregi.