CERCUL, TRANSLATIA, Proprietatile translatiei, OMOTETIA

TRANSLATIA

Cercul

Fie r un numar real, r > 0 si O un punct din plan. Se numeste cerc de centru O si raza r, notat C(O,r), multimea punctelor M din plan pentru care OM = r. Prin raza se mai intelege si un segment OM unde M este pe cerc.

Pozitia unei drepte fata de cerc:

Daca distanta de la centrul unui cerc la o dreapta d este mai mica decat raza cercului atunci dreapta are doua puncte comune cu cercul si se numeste secanta

Daca distanta de la centrul unui cerc la o dreapta d este egala cu raza cercului atunci dreapta are un punct comun cu cercul si se numeste tangenta.

Tangenta este perpendiculara pe raza corespunzatoare. Dintr-un punct exterior cercului se pot duce doua tangente la cerc. Segmentele determinate de punctul exterior si punctele de tangenta sunt congruente.

Daca distanta de la centrul unui cerc la o dreapta d este mai mare decat raza cercului atunci dreapta nu are puncte comune cu cercul si se numeste exterioara.

Unui unghi i se poate circumscrie un cerc (cercul trece prin varfurile triunghiului). Centrul cercului circumscris este intersectia mediatoarelor laturilor triunghiului

Intr-un triunghi se poate inscrie un cerc ( cercul este tangent laturilor triunghiului). Centrul cercului inscris este intersectia bisectoarelor unghiurilor triunghiului.

Translatia

Translatia poate fi sugerata cu ajutorul ideii de miscare sau de deplasare. De exemplu, pentru a trasa o dreapta paralela cu o dreapta data folosind o rigla si un echer se procedeaza astfel: se suprapune una din laturile echerului pste dreapta data, se pune in contact rigla cu cealalta latura a echerului si se deplaseaza astfel incat o latura sa ramana in contact cu rigla. Aceasta deplasare a echerului se numeste translatie si are propietatea ca cealalta latura a sa este tot timpul paralela cu dreapta data. (fig I. 66)

C C′

A B A` B`

  Fig I. 66

Fie, acum, o placa rigida care se deplaseaza pe un plan astfel incat fiecare punct al placii descrie o dreapta. O astfe de deplasare se numeste miscare de translatie.

In figura I. 67 se considera o placa triunghiulara care are succesiv pozitiile ABC, A'B'C', A''B''C''

C C' C``

B B'

B` `

AA

A A' A``

Fig I.67

Comparand pozitia placii ABC cu pozita placii A'B'C' se observa ca vectorii AA', BB', CC', MM' sunt egali.

Se va defini translatia ca o transformare geometrica in care toate punctele unui plan se deplaseaza cu un acelas vector.

Fie v un vector nenul. Se numeste translatia de vector v o functie T prin care fiecarui punct M ii corespunde un punct T(M) = M ' astfel incat MM' = v . Puctul M' se numeste translatul punctului M (fig I.68).

M' = T(M) B' = T(B)

Fig. I.68

A' = T(A)

v C'= T(C)

Daca F este o multime de puncte din plan ( segment, unghi, dreapta, poligon, cerc etc.) se va nota cu T(F) multimea obtinuta prin translarea punctelor multimii F.

Daca se fixeaza un punct O al planului ( de exemplu originea unui reper cartezian) atunci pentru orice pereche de puncte M si M' = T(M) are loc relatia OM' = OM + v.

O translatie este determinata daca se da vectorul v sau daca se cunoaste translatul unui anumit punct adica o pereche M si M' = T(M) atunci v = MM'.

Daca este data o portiune din plan in care este desenat un caroiaj atunci acesta poate fi utilizat pentru a descrie o translatie; in figura I. 69 v = AA'

Fig .I.69

Proprietatile translatiei

Pentru doua puncte distincte A, B adca se noteaza A' = T(A), B' = T(B), atunci AB = A'B' si T(AB) = A'B' (fig. I.70) (translatia pastreaza lungimea, directia si sensul unui segment orientat).

A' M'

B'

v

Fig. I.170

A

M

B

Daca d este o dreapta atunci T(d) este o dreapta paralela cu ea (fig I.71) ( translatia pastreaza directia dreptlor)

v

Fig.I.71

v

d

Daca F este un poligon atunci T(F) este un poligon congruent cu F ( fig. I.72)

Fig. I.72

v

Daca F este un cerc atunci T(F) este un cerc care are aceeasi raza (I.73).

v

v

Translatia pastreaza directia, sensul, lungimea segmentelor, masura unghiurilor si aria suprafetelor.

OMOTETIA

Pozitia relativa a doua cercuri

Fie cercurile C`(O`, r`), C``(O``, r``) si d = O`O`` ( distanta dintre centrle cercurilor)

Daca d > r`+ r`` cercurile nu au puncte comune si se numesc cercuri exterioare.

Daca d = r` + r`` cercurile au un punct comun si se numesc cercuri tangente exterior.

Punctul comun se numeste punct de tangenta si este coliniar cu centrele cercurilor.                      

Daca | r` - r``| < d < r` + r`` cercurile au doua puncte comune si se numesc cercuri secante

Definitia omotetiei

La reprezentarea prin desen a unei figuri date se pune problema executarii acestui desen la o anumita scara. Schimband scara se schimba in mod proportional toate dimensiunile figurii respective. Aceasta problema apare, de exemplu in desenarea unei harti, in dimensionarea unei fotografii, in realizarea unor planse de diferite dimensiuni care reprezinta acelas obiect.

Transformarea prin omotetie sau omotetia este o transformare geometrica a punctelor unui plan care are propietatea ca mareste(micsoreaza) dimensiunile toturor figurilor de acelas numar de ori.

Fie O un punct al planului si k un numar real nenul.

Se numeste omotetie de centru O si raport k o transformare H care asociaza fiecarui punct M punctul M` = H(M) astfel incat OM` = kOM (fig. I.79)

M` Fig. I.79

M

O

Daca k = 1 atunci OM` = OM adica M = M` deci fiecarui punct ii corespunde el insusi. In figurile urmatoare sunt ilustrate transformarile unui triunghi ABC printr-o omotetie in care, respectiv k = 2, k = -2 si k = -1 ( fig.I.80) (fig. I.81 ) ( fig. I.82).

Fig. I.80 B`

B

C C`

O

A

A`

A`

B

C

Fig. I.81

O A

C`

B`

A` B

C` C Fig. I.82

B` A`

In figura I.82 se observa ca pentru k = -1, OA = -OA`, adica O este mijlocul segmentului AA` iar H este simentrie in raport cu O.

Daca F este o multime de puncte din plan se va nota cu H(F) multimea transformatelor prin omotetie a punctelor lui F.

O omotetie este determinata daca se cunoaste centrul O si transformatul M` al unui punct M = O. Atunci OM` daca M` si M sunt de aceeasi parte a lui O si k = _ OM` ,

OM OM

daca M` si M sunt de o parte si de alta a lui O.  

Proprietatile omotetiei de centru O si raport k

H(O) = O

Daca A si B sunt doua distincte si A` = H(A), B` = H(B) atunci A`B` = kAB si

H(AB) = A`B` (omotetia pastreaza directia unui segment orientat, pastreaza sau inverseaza sensul dupa cum k > 0 sau k < 0, multiplica lungimea cu |k|) ( fig.I.83).

A`             N` M` B` A` B

M

AA A

A B A

M`

O B` Fig. I.83

Daca d este o dreapta atunci H(d) este o dreapta paralela cu ea iar daca d trece prin centrul de omotetie atunci H(d) = d ( fig.I.84).

O

d H(d)

Daca ABC este un triunghi si A` = H(B), C` = H(B), C` = H(C) atunci H(ABC ) = A`B`C` este un triunghi asemenea cu ABC.

Aceasta propietate rezulta din faptul ca cele doua triunghiuri au laturile proportionale.

Daca <ABC se transforma prin omotetie atunci H(<ABC) este un triunghi congruent cu <ABC.

Daca F este un poligon atunci H(F) este un poligon asemenea cu el.

Un cerc de raza r se transforma prin omotetie intr-un cerc de raza |k|r.

	Omotetia pastreaza directiile si unghiurile. Toate lungimile cresc sau descresc cu acelas raport.

Daca se da un caroiaj acesta poate fi utilizat pentru a ilustra transformarea unei figuri prin omotetie ( fig.I.85).

Fig. I.85