Impartirea prin X a .Schema lui Horner
T1 Restul impartirii unui polinom f <> 0 prin polinomul X-a este egal cu valoarea f(a) a polinomului f in a.
Demonstratie
-aplicam teorema impartirii cu rest
f= ( X - a ) q + r ,unde grad de r < grad ( X - a ) =1 (1)
grad r <= 0 (nr. Complex)
in 1 facem X=a f ( a ) = ( a - a ) q ( a )+r ( a )
f ( a ) = r( a )
dar r( a )=polinom constant r ( a )=r r = f ( a )
Aceasta teorema ne ajuta sa gasim restul impartirii unui polinom oarecare prin polinomul X-a fara a mai face impartirea.
Ex: Sa se gaseasca restul impartirii polinomului f = X 3 - 2 X 2 + X + 1
prin binomul X-2.
R= f(2)=2 3 - 2*2 2 +2 +1=3.
Teorema are dezavantajul ca nu ne spune nimic asupra citului impartirii polinomului f prin X-a.
Procedeu de aflare a catului
f = an X n +a n-1 X n-1 +...+ a
f = ( X - a ) q + r (2)
grad f = n grad q = n - 1
q = bn-1 X n-1 +bn-2 X n-2 +...+b
an X n +a n-1 X n-1++ a 0 = (X-a)( bn-1 X n-1 +bn-2 X n-2++b0 )+ r
n-1 n-2 n-1 n-2 n-1
(X - a) ( bn-1 X +bn-2 X +...+b ) =bn-1 X +bn-2 X +..+ b X- abn-1 X -
n-2
-abn-2 X -.- ab
n n-1 n-2
=bn-1 X +(bn-2 - abn-1 ) X +(bn-3 - abn-2 )X +.+ ( b - ab )X -ab
n n-1 n n-1 n-2
anX +a n-1 X +...+ a =bn-1 X +(bn-2 - abn-1 ) X +(bn-3 - abn-2 )X +
+.+ ( b - ab )X -ab
a n =b n-1
a n-1 =b n-2 - ab n-1
a n-2 =b n-3 - ab n-2
a =b -ab
a =r -ab
b n-1 = a n
b n-2 = a n-1 + ab n-1
b n-3 = a n-2 + ab n-2
b = a + ab
r = a + ab
an an-1+abn-1 an-2 +abn-2 ....... a +ab a +ab
bn-1 bn-2 bn-3 ....... b r
Observatie:schema lui Horner ne ofera doar un procedeu de obtinere al catului nu si unul de determinare a restului!
