Progresii
aritmetice
1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE
Un sir de numere (A1 ,A2 ,. ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant " r " ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica .
An+1 = An + r
2.NOTATIE : An
3.PROPRIETATI
P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.
An = A + (n-1) * r
P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor .
A + An = A + An-1 = . = Ai + An-i+1
P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi .
Ak = (Ak-1 + Ak+1
P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen :
Sn = (A + An) *n / 2
P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia :
Sn = [ 2*A + (n-1)*r ]*n/2
1(pag71).Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului ,cu termenul al n-lea dat de formula :
a) An = 2(la puterea "-n ")
A = 2(la puterea "0") = 1
A = 2(la puterea "-1") = 1/2
A = 2(la puterea "-2") = 1/4
A = 2(la puterea "-3") = 1/8
A = 2(la puterea "-4") = 1/16
A = 2(la puterea "-5") = 1/32
b) Xn = 5+4*n
X X
X X
X2 = 13 X
2(pag.72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile :
a) => An = A + (n-1)*r = 1 + (n-1)*2 = 2*n -1
b) => An = A + (n-1)*r = 2 + (n-1)*2 = 2*n
c) => An = 3* (-1)(la puterea n)
d) => An = 1/3(la puterea n)
3(pag.72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula
Xn = 6- 4*n .Este termen al acestui sir numarul :
a) (DA)
6- 4*n = -102 => 4*n = 108 => n = 27
b) -132 (NU)
6- 4*n = -132 => 4*n = 138 => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale)
c)
6- 4*n = 100 => 4*n = -94 => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale)
7(pag.72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca :
a) A = 7 , r = 2
A = A + r = 9
A
A
b) A = -3 , r = 5
A = A + r = 2
A
A
16(pag.73). Sa se rezolve ecuatiile :
a) 1 + 7 + 13 + . +X = 280
An = A + (n-1)*r
X = 1 + (n-1)*6
X = 6*n -5
Sn = (A + An)*n/2 = 280
(A + X)*n/2 = 280 => (1 + 6*n-5)*n/2 = 280
6*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0
D = 3364
=> n = 10 ; n = -28 (nu convine)
=>X = 6*10 -5 = 55
b) (X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + . + (X + 28) = 155
An = A + (n-1)*r
X + 28 = X + 1 + (n-1)*3
27 = (n-1)*3 => n = 10
S = (A + A => 2*X + 29 = 31 => X = 1
20(pag.73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.
S = A
S = A + A
S = A + A + A
Sn-1 = A + A + . + An-1
Sn = A + A + . + An-1 + An
A = S
A = S - S
A = S - S
A = S - S
2*A = A + A => 2 = 3 + 4 (F)
=>Sirul nu este o progresie aritmetica
Progresii geomatrice
1.DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE
Fie un sir (Bn) n>=1 , B <>0
Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie.
Bn = Bn-1 *q
2.NOTATIE : :-: (Bn) n>=1
3.PROPRIETATI
P1: Daca avem " n " termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere de cati termeni sunt inaintea lui.
Bn = B *q(la puterea n-1)
P2: Daca B , B , . , Bn sunt " n " termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor.
B *Bn = B *Bn-1 = . = Bi*Bn-i+1
P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi.
Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1
R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica.
P4: Suma primilor " n " termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este :
Sn = B * q(la puterea n)-1/q-1
4.APLICATII
26(pag.73). Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca :
a) B = 6 , q = 2
B = B *q = 12
B = B *q = 24
B = B *q = 48
B = B *q = 96
b) B = -10 , q = 1/2
B = B /q = -20
B = B *q = -5
B = B *q = -5/2
B = B *q = -5/4
27(pag.73). Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn) , data astfel :
a) Y , Y
36 = 24*q => q = 36/24 = 3/2
24 = Y *q => 24 = Y *3/2 => Y
16 = Y *q => 16 = Y *3/2 => Y
b) Y , Y
-135 = 225*q => q = -135/225 = -9/17
225 = Y *q => 225 = Y *-9/17 => Y
-425 = Y *-9/17 => Y
28(pag.784). Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geometrice (Bn
a) B = 6 , B = 24 , sa se gaseasca B , B , B
B = B *q(la puterea 2)
B = B *q(la puterea 4)
=> 6/24 = q(la puterea -2) => q = 2
B = B *q(la puterea 2) => B
=> B = B *q(la puterea 6) = 3/2*64 = 96
=> B = B *q(la puterea 8) = 3/2*256 = 384
=>B = B *q(la puterea 9) = 3/2*512 = 768
30(pag.74). Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :
a) B
Bn+1 = 3*Bn
Bn = B *q(la puterea n-1) = 2*q(la puterea n-1)
Bn+1 = Bn*q => 3*Bn = Bn*q => q = 3
Bn = 2/3*3(la puterea n)
Rezolvati ecuatia : 1+X+X²+.+X¹ss = 0
Sn = 1*(1- X¹s¹)/(1- X)
X <>0 => X<>1
=> 1- X¹s¹ = 0 => X¹s¹ = 1 => X¹s¹ = cos0 +i*sin0
=> Xk = ¹s¹ cos0 + i*sin0 = cos2k /101 + i*sin2k
k=0 => X=1 (nu convine)
k=1 => X=cos2 /101 + i*sin2
k=100 => X=cos200 /101 + i*sin200
Intr-o progresie geometrica avem S = 40, S = 60. Sa se gaseasca S
S = B *(q³-1)/(q-1)
S = B *(q -1)/(q-1)
=> S /S = (q³-1)/(q -1)= 2/3
=> 3*q³-3 = 2*q -2
=> 2*q +3*q³-1= 0
Notam: q³ = y
=> 2*y²-3*y+1= 0
= 1 => y =2, y
=> q³=1 => q=1(nu convine)
=> q³=2 => q=³
=> S = B *(q³-1)/(q-1)= 40 => B
=>S = B1*(q -1)/(q-1) = 280
Sa se determine x astfel incat numerele a+x, b+x, c+x sa fie in progresie geometrica.
(b+x)² = (a+x)*(c+x)
b² + 2bx + x² = ac +ax +cx +x²
b²-ac = x( a+c-2b)
=> x =(b²-ac)/(a+c-2b)
Gasiti primul termen si ratia intr-o progresie geometrica daca:
A + A
A - A + A
A *q³ + A =7/16 => A (q³ + 1)=7/16
A q² -A *q +A =7/8 => A (q² -q +1)=7/8
=> (q³+1)/(q² -q +1)=1/2 => q+1=1/2 => q= -1/2
=> A (-1/8 +1) =7/16 => A
