1. Functiile reale. Notiuni introductive

Fie E si F doua multimi. Spunem ca s-a definit o functie pe E cu valori in F daca fiecarui element xIE i s-a pus in corespondenta un element yIF si numai unul. Se numeste functie ansamblul format din multimile E si F si din corespondenta de la elementele lui E la elementele lui F. Multimea E se numeste domeniul de definitie al functiei, iar multimea F se numeste multimea in care functia ia valori (codomeniul).

O functie se poate nota astfel: f:E→F. Un element generic x din domeniul de definitie E se numeste argument sau variabila a functiei f. Elementul din F care corespunde unui element xIE prin functia f se noteaza f(x) si se numeste imaginea lui x prin f sau valoarea functiei f in x.

2. Trasarea graficului unei functii

Pentru a putea trasa graficul unei functii, se procedeaza in felul urmator:

1. Se determina domeniul maxim de definitie:

• in cazul expresiilor rationale, numitorul fractiei trebuie sa fie diferit de zero;

• cantitatea de sub un radical cu indice par trebuie sa fie cel putin zero;

• baza unei functii exponentiale trebuie sa fie strict pozitiva;

• functiile arcsinus si arccosinus trebuie sa fie definite pe [-1,1];

• numarul caruia i se aplica logaritmul trebuie sa fie strict pozitiv, iar baza logaritmului trebuie sa fie strict pozitiva si diferita de 1.

2. Se expliciteaza functiile: modul, maxim, minim, signatura, partea intreaga si partea zecimala (daca functia le contine).

3. Se determina paritatea sau imparitatea functiei: daca functia este para, f(x)=f(-x), atunci graficul functiei este simetric fata de axa ordonatelor, daca functia este impara, f(x)=-f(x), atunci graficul functiei este simetric fata de originea axelor; deci este suficient ca trasarea graficului sa fie efectuata pe semiaxa Ox pozitiva, apoi sa se simetrizeze. Graficul unei funtii f este simetric fata de dreapta x=a daca f(x)=f(2a-x) I este simetric fata de punctul (a,0) daca f(x)=-f(2a-x).

4. Se determina perioada T a functiei trigonometrice si se traseaza fraficului pe intervalul [0,T] intersectat cu domeniul de definitie, apoi extensia sistemului (a detaliului de grafic) pe toata axa absciselor.

5. Se determina intersectia cu axele de coordonate:

0. y=0 Þ f(x)=0, iar daca solutiile ecuatiei f(x)=0 exista, atunci acestea reprezinta abscisele punctelor in care graficul intersecteaza axa Ox;

x=0 Þ y=f(0) Þ punctul in care graficul intersecteaza axa ordonatelor.

1. Daca domeniul de definitie este nemajorat, atunci se cerceteaza limita functiei cand x → ¥, iar daca domeniul de definitie este neminorat, atunci se cerceteaza limita functiei cand x → -¥.

 

6. Se determina asimptotele:

1. verticale. Asimptotele verticale se definesc pentru functii nemarginite, chiar daca sunt definite pe multimi marginite. Ele trebuie cautate in punctele de discontinuitate ale functiei, adica in punctele in care functia f nu este definita.

Observatie: daca dreapta x=x0 este asimptota verticala la graficul functiei f, atunci distanta dintre grafic si asimptota, masurata pe orizontala, descreste necontenit cand punctul de pe grafic se departeaza necontenit;

2. oblice. Se cauta pentru functii definite pe multimi nemarginite, chiar daca functiile sunt marginite.

Spunem ca dreapta y=mx+n este asimptota oblica la ramura spre +¥ a graficului, daca:

 

Daca multimea E, pe care este definita functia, este nemarginita la dreapta, atunci +¥ este un punct de acumulare al multimii E.

Daca multimea E, pe care este definita functia, este nemarginita la stanga, atunci -¥ este un punct de acumulare al multimii E.

Spunem ca dreapta y=m1x+n1 este asimptota oblica la ramura spre -¥ a graficului, daca:

Daca dreapta y=mx+n este asimptota la ±¥, atunci coeficientul unghiular m si ordonata la origine n, verifica egalitatile:

 

Observatii:

1. daca exista m si este finit, dar n nu exista sau e infinit, graficul functiei nu are asimptota oblica la ±¥;

2. daca nu exista m sau e infinit, graficul functiei nu are asimptota oblica la ±¥.

3. orizontale. Daca exista si este finita, atunci dreapta y=a este asimptota la ±¥, paralela cu axa Ox. 25858ilg29loi3q

 

Observatii:

1. Daca graficul are asimptota orizontala, atunci el nu mai poate avea si asimptota la ±¥ si reciproc;

2. In cazul functiilor periodice, un grafic poate avea o infinitate de asimptote verticale; lo858i5229looi

3. Pot sa existe asimptote orizontale spre ±¥ si oblice spre ±¥;

4. In cazul functiilor circulare inverse, graficul poate avea o infinitate de asimptote orizontale;

5. Daca dreapta y=a este asimptota orizontala la graficul functiei f, atunci distanta dintre grafic si asimptota, masurata pe verticala, descreste necontenit cand punctul de pe grafic se departeaza.

4. parabolice. Se cauta pentru functii definite pe multimi nemarginite, chiar daca functiile sunt marginite.

Spunem ca parabola y=mx²+nx+p este asimptota parabolica la ramura +¥ a graficului, daca:

Spunem ca parabola y=mx²+nx+p este asimptota parabolica la ramura -¥ a graficului, daca:

Daca parabola y=mx²+nx+p este asimptota la ±¥, atunci coeficientii reali m,n,p verifica egalitatile:

 

Observatie: egalitatea exprima faptul ca distanta dintre graficul functiei si parabola, masurata pe axa ordonatelor, tinde la 0.

 

7. Se formeaza un tabel de valori al functiei f – tabel in care se trec, pentru sistematizare, rezultatele functie in anumite puncte:

8. Se traseaza graficul functiei – conform rezultatelor sistematizate in tabelul de valori – intr-un sistem de axe carteziene.

 

3. Exemple de grafice de functii

1)

• domeniul maxim de definitie: R;

• functie aperiodica;

• intersectiile cu axele sunt (0,0), (-1,0);

• functia nu este para, nici impara;

• nu exista asimptote;

• este continua pe R.

2)

• domeniul maxim de definitie: R\{0};

• functie aperiodica;

• graficul nu taie axa Oy; intersectia cu axa Ox este (-1,0);

• functia nu este para, nici impara;

• asinctote: Ox (orizontala), Oy (verticala);

• este continua pe R\{0}.

3)

• domeniul maxim de definitie: R;

• functie aperiodica;

• intersectia cu axele este: (0,0);

• functia este para (f(-x)=f(x));

• asimptote: Ox (orizontala);

• este continua pe R.

4)

• domeniul maxim de definitie: (0,+¥);

• functie aperiodica;

• graficul nu taie axa Oy; intersectia cu axa Ox este (1,0);

• functia nu este para, nici impara;

• nu admite asimptote;

• este continua pe (0,+¥).

5)

• domeniul maxim de definitie: R;

• functie periodica, de perioada principala 2p;

• intersectiile cu axele sunt (kp,0); (kIZ)

• functia este impara;

• nu admite asimptote;

• este continua pe R.

6)

• domeniul maxim de definitie: R;

• functie periodica, de perioada principala 2p;

• intersectiile cu axele sunt in acei x pentru care sin x£0;

• functia nu este para, nici impara;

• nu admite asimptote;

• este continua pe R.

7)

• domeniul maxim de definitie: R\{0};

• functie aperiodica;

• graficul nu intersecteza axa Oy; intersectia cu axa Ox este (-2,0);

• functia este impara;

• nu admite asimptote;

• este continua pe R\{0}.

8)

• domeniul maxim de definitie: R;

• functie aperiodica;

• graficul nu intersecteza axa Ox; intersectia cu axa Oy: (0,1);

• functia este para;

• admite asimptota orizontala axa Oy;

• este continua pe R;

• cunoscuta si sub numele de “clopotul lui Gauss”.

9)

• domeniul maxim de definitie: R;

• functie aperiodica;

• graficul intersecteza axele in (0,0);

• functia este impara;

• nu admite asimptote;

• este continua pe R;

• cunoscuta sub numele de “sinus hiperbolic”.

10)

• domeniul maxim de definitie: R;

• functie aperiodica;

• graficul nu intersecteza axa Ox; intersectia cu axa Oy: (0,1);

• functia este para;

• nu admite asimptote;

• este continua pe R;

• cunoscuta sub numele de “cosinus hiperbolic”.

11)

• domeniul maxim de definitie: R;

• functie aperiodica;

• graficul intersecteza axele in (0,0);

• functia este para;

• admite asimptote orizontale dreptele y=1 si y=-1;

• este continua pe R;

• cunoscuta sub numele de “tangenta hiperbolica”.

12)

• domeniul maxim de definitie: R\{0};

• functie aperiodica;

• graficul nu intersecteza axele;

• functia este impara;

• admite asimptote orizontale dreptele y=1 si y=-1; admite asimptota verticala axa Oy;

• este continua pe R\{0};

• cunoscuta sub numele de “cotangenta hiperbolica”.

13)

• domeniul maxim de definitie: R;

• functie periodica, de perioada principala 2p;

• graficul intersecteza axa Oy in (0,1), iar pe Ox in (kp,0); (kIZ\{0})

• functia este para;

• nu admite asimptote;

• este continua pe R;

• cunoscuta sub numele de “sinus atenuat”.

14)

• domeniul maxim de definitie: R\{0};

• functie periodica, fara perioada principala;

• graficul nu intersecteza axa Oy; graficul intersecteaza axa Ox in punctele (kp/2,0); (kIZ\{0})

• functia este impara;

• admite asimptota verticala axa Oy;

• este continua pe R\{0};

• cunoscuta sub numele de “cosinus atenuat”.

15)

• domeniul maxim de definitie: R\{0,kp/2};

• functie periodica, fara perioada principala;

• graficul intersecteza axa Oy in (0,1); graficul intersecteaza axa Ox in punctele (kp,0); (kIZ\{0})

• functia este para;

• admite asimptote verticale dreptele x=kp/2; (kIZ\{0})

• este continua pe (-p/2, p/2);

• cunoscuta sub numele de “tangenta atenuata”.

16)

• domeniul maxim de definitie: R\{0,kp};

• functie periodica, fara perioada principala;

• graficul nu intersecteza axa Oy; graficul intersecteaza axa Ox in punctele (kp/2,0); (kIZ\{0})

• functia este para;

• admite asimptote verticale dreptele x=kp; (kIZ)

• este continua pe (0, p);

• cunoscuta sub numele de “cotangenta atenuata”.

Scriitori romani