Distantele

Distante

Distanta dintre doua puncte

Distanta dintre doua puncte este segmentul de dreapta ce uneste cele doua puncte.

Distanta de la un punct la o dreapta

Distanta de la un punct la o dreapta este lungimea perpendicularei duse din acest punct pe dreapta data.

Distanta de la un punct la un plan

Prin distanta de la un punct M la un plan a, intelegem lungimea MN, unde NIa este piciorul perpendicularei duse din M pe a

Distanta dintre doua drepte paralele

Distanta dintre doua drepte paralele este distanta de la un punct de pe una din drepte la cealalta drepta.

Distanta dintre doua plane paralele

Distanta dintre doua plane paralele este distanta de la un punct dintr-un plan la celalalt plan.

Observatie: Pentru calcularea distantei de la un punct la o dreapta construim  perpendiculara din acel punct pe acea drepta si cautam un triunghi eventual dreptunghic in care aceasta distanta sa fie o latura sau linie importanta.

Observatie(2): Segmentul cel mai scurt de la un punct exterior unui plan la acel plan este segmentul perpendicular pe planul dat.

Aplicatii

Ip.        ∆ABC isoscel

AB=AC=15cm, BC=18cm

AM (ABC), AM=12

C.      dist.(M, BC)=?

Dem.:

Ducem AD BC, DIBC

AM (ABC)

AD BC T.3.

AD (ABC)                 T MD BC T dist.(M,BC)=MD

BC (ABC)

∆ABC isoscel T AD mediana T BDsDC      T BD=DC=9

AD inaltime                            dar BC=18

AD BC T ∆ABD dreptunghic         

T AD²=AB²-BD²

AD²=225-81

AD²=144

AD=12

AM (ABC)    T AM AD T ∆MAD dreptunghic

AD (ABC)

T MD²=MA²+AD²

MD²=144

MD²=144

MD=24

Ip.        ∆ABC dreptunghic( m(<A)=90°)

AM (ABC), AM=3cm

AB=6cm, AC=6

C.      dist.(M, BC)=?

Dem.:

Ducem AD BC, DIBC

AM (ABC)

AD BC T.3.

AD (ABC)     T MD BC T dist.(M,BC)=MD

BC (ABC)

AM (ABC)    T AM AD T ∆MAD dreptunghic

AD (ABC)

∆ABC dreptunghic

T BC²=AB²+AC²

BC²=36+108

BC²=144

BC=12

AD BC T AD inaltime        T AD= T AD=

∆ABC dreptunghic

T AD=

∆MAD dreptunghic

T MD²=AM²+AD²

MD²=9+27

MD²=25

MD=5

Ip.        ABCD dreptunghi, AB=16cm, Bc=9cm

AM (ABC), AM=12cm

C.      dist.(M, AB)=?

dist.(M, BC)=?

dist.(M, CD)=?

dist.(M, AD)=?

Dem.:

AM (ABC)    T MA AD T dist.(M, AD)=AM=12

AD (ABC)

AM (ABC)    T MA AB T dist.(M, AB)=AM=12

AB (ABC)

AM (ABC)    T.3.

AD DC          T MD DC T dist.(M, DC)=MD

AD (ABC)

DC (ABC)

AM (ABC)    T.3.

AB BC           T MB BC T dist.(M, BC)=MB

AB (ABC)

BC (ABC)

MA AD T ∆MAD dreptunghic T MD²=AM²+AD²

MD²=144+81

MD²=225

MD=15

MA AB T ∆MAB dreptunghic T MB²=AM²+AB²

MB²=144+256

MB²=400

MB=20

Ip.        ABCD dreptunghi(AC∩BD=), AB=32cm, BC=18cm

OM (ABC), OM=12cm

C.        dist.(M, AB)=?

dist.(M, BC)=?

dist.(M, CD)=?

M

dist.(M, AD)=?

Dem.:

Ducem OE AB, EIAB

OF BC, FIBC

OG DC, GIDC

OH AD, HIAD

OM (ABC) T.3.

OE AB           T ME AB T dist.(M, AB)=ME

OE (ABC)

AB (ABC)

OM (ABC) T.3.

OF BC           T MF BC T dist.(M, BC)=MF

OF (ABC)

BC (ABC)

OM (ABC) T.3.

OG CD          T MG AB T dist.(M, CD)=MG

OG (ABC)

CD (ABC)

OM (ABC) T.3.

OH AD          T MH AD T dist.(M, AD)=MH

OH (ABC)

AD (ABC)

ABCD dreptunghi T AO≡OC

BO≡OD T ∆AOB, ∆BOC, ∆COD, ∆AOD isoscele

AC≡BD

∆AOB isoscel T OE mediana T AE≡EB T AE=EB=16

OE inaltime      AB=32

∆BOC isoscel T OF mediana T BF≡FC T BF=FC=9

OF inaltime      BC=18

∆COD isoscel T OG mediana T CG≡GD T CG=GD=16

OG inaltime      CD=32

∆AOD isoscel T OH mediana T DH≡HA T AH=HA=9

OH inaltime      AD=18

OE AB T AD║EO

AD AB                                  T AEON paralelogram T OE=9

OE AE T AE║ON

OE ON

OF BC T AB║OF

AB BC T EBFO paralelogram T OF=16

OE AB T OE║BF

FB AB

OG DC T OG║FC

FC DC T OFCG paralelogram T OG=9

OF BC T GC║OG

GC BC

ON AD T ON║GD

CD AD                                  T NOGD paralelogram T OE=16

ND DC T ND║OG

OG DG

∆MOE dreptunghic T ME²=OM²+OE²

ME²=144+81

ME²=225 T ME=15

∆MOF dreptunghic T MF²=OM²+OF²

MF²=144+256

MF²=400 T MF=20

∆MOG dreptunghic T MG²=OM²+OG²

MG²=144+81

MG²=225 T MG=15

∆MOH dreptunghic T MH²=OM²+OH²

MH²=144+256

MH²=400 T MG=20