Adunarea si inmultirea polinoamelor, Proprietati

Adunarea si inmultirea polinoamelor

Definim pe multimea C[X] doua operatii algebrice: adunarea si inmultirea.

Adunarea polinoamelor:

Fie , doua elemente din multimea C[X]; atunci definim:

,

Proprietatile adunarii polinoamelor:

(C[X],+) se numeste grup abelian

Asociativitatea

^C[X]

Intr-adevar, daca ,si atunci avem si deci .

Analog, obtinem ca . Cum adunarea numerelor este asociativa, avem , pentru orice .

Comutativitatea

, C[X]

Intr-adevar, daca si , avem,

Cum adunarea numerelor complexe este comutativa, avem pentru orice . Deci .

Element neutru

Polinomul constant 0=(0,0,0,.) este element neutru pentru adunarea polinoamelor, in sensul ca oricare ar fi C[X],avem:

Elemente inversabile

Orice polinom are un opus, adica oricare ar fi C[X], exista un polinom, notat , astfel incat:

De exemplu, daca este un polinom, atunci opusul sau este

Inmultirea polinoamelor:

Fie ,

Atunci definim:

c_k

Proprietatile inmultirii:

Asociativitatea

Oricare ar fi C[X], avem:

Comutativitatea

Oricare ar fi C[X],avem:

Intr-adevar, daca , , atunci notand si , avem

si . Cum adunarea si inmultirea numerelor complexe sunt comutative si asociative, avem c_r=d_r, pentru orice . Deci .

Element neutru

Polinomul 1=(1,0,0,.) este element neutru pentru inmultirea polinoamelor, adica oricare ar fi C[X],avem:

Elemente inversabile

C[X] este inversabil daca exista ,a.i.:

Singurele polinoame inversabile sunt cele constante nenule , a

Distributivitatea

Oricare ar fi polinoamele C[X],are loc relatia: