LEGILE LUI KEPLER

In urma observatiilor astronomice J. Kepler a stabilit in anul 1619 legile care descriu miscarea planetelor in jurul Soarelui. Acestea, numite si legile lui Kepler, sunt urmatoarele:

planetele se misca pe elipse ce au Soarele situat intr-unul dintre focare.

raza vectoare a planetei descrie arii egale in intervale de timp egale (legea ariilor).

patratele perioadelor de revolutie sunt direct proportionale cu cuburile semiaxelor mari,adica:

T² = CR³,

unde  prin perioada de revolutie T se intelege timpul in care           planeta descrie o elipsa completa.

Daca raza vectoare a planetei descrie ariile SAA' si SBB' in intervale egale de timp, conform legii a doua a lui Kepler, aceste arii sunt egale.

In cele ce urmeaza vom trata Soarele si planetele ca pe niste puncte materiale, avand in vedere ca dimensiunile lor sunt neglijabile in comparatie cu distantele ce le separa.

In anul 1687 I. Newton a reusit sa explice legile miscarii planetelor presupunand ca Soarele exercita o forta de atractie asupra planetelor. Aceasta forta de atractie se manifesta ca o forta centripeta ce obliga fiecare planeta in parte sa se miste dupa o curba inchisa, de forma unei elipse. Newton a demonstrat ca daca se admite ca forta de atractie F din partea care actioneaza asupra planetei P este proportionala cu produsul dintre masele acestora si invers proportionala cu patratul distantei r dintre ele, fiind indreptata catre Soare dupa directia PS, atunci pot fi explicate cele trei legi ale lui Kepler.

S-a presupus deci ca forta este data de relatia:

(A)

Unde Ms este masa Soarelui, mp masa palnetei, iar K o constanta de proportionalitate.

Sa cautam sa demonstram legile lui Kepler.

Pentru a scrie pe F sub forma vectoriala, sa consideram vectorul r indreptat de la S la P si sa avem in vedere ca forta are directia lui r, dar sensul contrar acestuia. Prin urmare :

(A)

Momentul acestei forte fata de punctul S este :

rezulta ca momentul cinetic  L = r p este constant in timp, pastrand aceasi marime, directie si sens in tot timpul miscarii.

Din produsul vectorial L = r p  se observa ca L r si L p, ceea ce inseamna ca vectorii r si p sunt perpendiculari in tot cursul miscarii pe vectorul constant L, plan care trece prin S. Traiectoria miscarii este o curba care se gaseste in acelasi plan.

Determinarea formei geometrice a acestei traiectorii plane necesita calcule mai complicate care arata ca traiectoria este fie o elipsa, fie o parabola, fie o hiperbola, dupa cum viteza initiala a corpului aflat sub actiunea fortei (A) este mai mare sau mai mica. In cazul planetelor viteza initiala corespunde conditiilor de miscare pe elipse.

In concluzie, forta de tipul (A) explica prima lege a lui Kepler.

Sa consideram acum o portiune din traiectorie. Aria ∆S a triunghiului hasurat este data de modulul vectorului :

Impartind cu intervalul de timp ∆t, in care Pamantul s-a  deplasat din A in B, obtinem :

si daca presupunem ∆t foarte mic (∆t→0), rezulta :

Deoarece pentru | ∆r | foarte mic arcul AB coincide cu coarda |AB| (in limita ∆t→0),                             este tocmai aria suprafetei

maturate de raza vectoare in intervalul de timp ∆t. Deoarece

L = const., pentru orice interval de timp ∆t putem scrie :

Se vede imediat din ultima relatie ca in unitatea de timp, indiferent de pozitia instantanee a planetei pe traiectorie, raza vectoare a acesteia descrie o suprafata de aceasi marime, ∆S/∆t = L/2mp

Prin urmare, in intervale de timp egale, raza vectoare a planetei descrie arii egale; am obtinut deci si a doua lege a lui Kep1er.

Deoarece demonstratia legii a treia a lui Kepler este mai dificila din punct de vedere matematic, vom simplifica lucrurile, presupunand ca traiectoria planetei este circulara (aceasta situatie corespunde satelitilor artificiali care se misca pe orbite circulare). Egalind forta de atractie cu forta centripeta, obtinem :

unde am avut in vedere ca distanta de la planeta la Soare este egala cu raza R a cercului. Rezulta de aici relatiile :

Notand constanta  cu C, obtinem a treia lege a lui Kepler :

T² = CR³,

deoarce, in miscarea circulara, distanta de la un punct oarecare de pe circumferinta pana la centru este egala cu raza cercului. Cercul poate fi considerat ca un caz particular de elipsa cu semiaxele egale intre ele si egale cu raza R a cercului.