Fibonacci
Fibonacci a fost unul dintre cei mai mari matematicieni ai Evului Mediu. El s-a nascut in anul 1175, in Italia si a fost educat in Nordul Africii, unde tatal sau detinea un post diplomatic.
Marele matematician a ramas in memoria noastra prin binecunoscutul +ir Fibonacci: 0 ,1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13,
}n anul 1202 fost introdus acest sir de catre Fibonacci, atunci matematicianul fiind sub numele de Leonardo Pisano (Leonard din Pisa).
}n acelasi an Fibonacci publica un tratat de aritmetica si algebra numit "Liber abaci". }n acest tratat, el introduce pentru prima data in Europa sistemul de numeratie pozitional arab. De asemenea, in anul 1220 el publica "Practica geometriae", un compendiu de rezultate din geometrie si trigonometrie, iar in 1225 "Liber quadratorum", in care studia calculul radicalilor cubici.
Mai tarziu, matematicianul insusi si-a spus Leonardus filius Bonacci Pisanus (Leonard fiul lui Bonacci Pisanul).
}n secolul XIV sirul prezentat mai sus a fost denumit +irul lui Fibonacci prin contractia cuvintelor filius Bonacci. Acest sir apare in cartea "Liber abaci" si este utilizat in rezolvarea unei probleme de matematica.
O problema pe care a investigat-o Fibonacci in anul 1202, in cadrul unui concurs de matematica condus de imparatul Frederick al II-lea, suna astfel:
Presupunem ca o pereche de iepuri nou-nascuta, un mascul si o femela, este pusa pe un camp. Iepurii sunt capabili sa se imperecheze de la varsta de o luna astfel incat la sfarsitul celei de-a doua luni din viata femelei, ea naste o alta pereche de iepuri. Presupunand ca iepurii nu mor niciodata si ca femela naste intotdeauna o perche noua (o femela, un mascul) in fiecare luna incepand cu cea de-a doua luna, calculati cate perechi de iepuri vor fi intr-un an.
}n continuare va fi prezentata solutia problemei in care vestitul sir al lui Fibonacci poate fi utilizat in rezolvare.
Solutie:
La sfarsitul primei luni, iepurii se imperecheaza, dar inca mai exista doar o singura pereche.
La sfarsitul celei de-a doua luni, femela produce o noua pereche, astfel incat pe camp se afla doua perechi de iepuri.
La sfarsitul celei de-a treia luni, femela initiala naste a doua pereche, rezultand acum trei perechi de iepuri in camp.
La sfarsitul celei de-a patra luni, femela initiala a produs deja o alta pereche, iar femela nascuta acum doua luni produce prima ei pereche, rezultand cinci perechi de iepuri.
Numarul de perechi de iepuri din camp la inceputul fiecarei luni este: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..
Se poate observa de ce acesta este raspunsul la aceasta problema? Iata de ce:
Daca consideram f(n) s numarul de perechi de iepuri din camp la inceputul lunii n, vom arata ca f(1)s1, f(2)s1 si f(n)sf(n-1)+f(n-2), care este exact definitia +irului lui Fibonacci (care are de asemenea f(0)s
}n primul rand incepem cu luna 1 cu o pereche de iepuri nou-nascuta, deci: f(1)s
Exista de asemenea o pereche doar in timpul lunii a 2-a pentru ca nu sunt suficient de maturi sa aiba urmasi, astfel incat: f(2)s
Deoarece presupunem ca ei se imperecheaza la varsta de 2 luni, atunci o noua pereche este nascuta la inceputul lunii a treia.
Deci, cati iepuri vor fi dupa cea de-a doua luna? Ce este f(n)?
Toti iepurii din luna precedenta (vor fi f(n-1) din ei) au supravietuit, asa ca vor fi cel putin f(n-1) din ei. Cati iepuri noi s-au nascut? Fiecare pereche de iepuri care s-au nascut acum doua luni este capabila sa produca o noua pereche si presupunem ca intotdeauna vor produce si fiecare va putea sa produca o singura pereche noua pe luna. Astfel, numarul de perechi de nou-nascuti este acelasi cu numarul de perechi 2 care traiesc de doua luni: f(n-2). De vreme ce toti iepurii s-au nascut luna trecuta sau sunt nascuti luna aceasta, vom avea:
f(n) s f(n-1) f(n-2) daca n>
care este definitia +irului lui Fibonacci (incepand cu 0 si 1).
Sectiunea de aur
Problema inmultirii iepurilor este departe de a fi realista, chiar daca a dus la o descoperire atat de importanta cum este acest
sir. Dar cunoscutul +ir al lui Fibonacci, generat de aceasta problema, are numeroase aplicatii deosebit de interesante. Unul dintre cele mai importante aspecte este legatura dintre numerele Fibonacci si sectiunea de aur
Sectiunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole o fascinatie pentru matematicieni si artisti. Ca si numerele irationale p sau e , pare a face parte din "constitutia" Universului, sectiunea de aur regasindu-se sistematic in lumea vie. De exemplu, o regasim in modul de dispunere al frunzelor, petalelor sau semintelor de plante, in raportul dintre diferite parti ale corpului omenesc, etc
Acest numar a fost cunoscut si studiat inca din antichitate, sculptura si arhitectura Greciei Antice din secolul 5 i.H. respectand cu rigurozitate sectiunea de aur, ea fiind considerata o masura a armoniei si echilibrului.
Dupa anul 1228, nu se mai aude nimic despre viata lui Fibonacci. Totusi, se stie ca la sentinta Republica din Pisa l-a premiat cu un salariu anual in plus fata de obisnuitele incuviintari. Aceasta leafa l-a rasplatit pe Fibonacci pentru sfaturile lui catre Republica in probleme legate de contabilitate si de matematica.
Marele matematician a murit candva dupa anul 1240, probabil in Pisa.
- clasa 9-a J-
Colegiul National "Mihai Viteazul"
Profesor: Mioara Gheorghe
