Campul gravitational

In urma observatiilor astronomice, J. Kepler a stabilit in anul 1619 legile care descriu miscarea planetelor in jurul Soarelui. ??????, numite si legile lui Kepler, sunt urmatoarele:

Planetele se misca pe elipse ce au Soarele situat intr-unul dintre focare;

Raza vectoare a planetei descrie arii egale in intervale de timp egale.

Patratele perioadelor de revolutie sunt direct proportionale cu cubul semiaxelor adica:

,

unde prin perioada de revolutie T se intelege timpul in care planeta descrie o elipsa completa.

Daca raza vectoare a planetei descrie ariile S_AA' si S_BB' in intervale egale de timp, conform legii a doua a lui Kepler, aceste arii sunt egale. In cele ce urmeaza vom trata Soarele si planetele ca pe niste puncte materiale, avand in vedere ca dimensiunile lor sunt neglijabile in comparatie cu distantele ce le separa.

In anul 1697, I. Newton a reusit sa explice legile miscarii planetelor presupunand ca Soarele exercita o forta de atractie asupra planetelor. Aceasta forta de atractie se manifesta ca forta de atractie din partea Soarelui care actioneaza asupra planetei Pamant este proportionala cu produsul dintre masele acestora si invers proportionala cu patratul distantei dintre ele, fiind indreptata catre Soare dupa directia PS, atunci pot fi exemplificate cele trei legi ale lui Kepler, s-a presupus deci ca forta este data de relatia:

,

unde M_S este masa Soarelui, M_P este masa planetei iar k o constanta de proportionalitate.

Sa cautam, sa demonstram legile lui Kepler. Pentru a scrie pe sub forma vectoriala, sa consideram vectorul indreptat de la S la P si sa avem in vedere ca forta are directia lui , dar sensul contrar acestuia. Prin urmare:

.

Momentul acestei forte fata de punctul S este:

.

Folosind ecuatia , rezulta ca momentul cinetic este constant in timp, pastrand aceeasi marime, directie si sens in tot timpul miscarii. Din produsul vectorial se observa ca si , ceea ce inseamna ca vectorii si sunt perpendiculari in tot cursul miscarii pe vectorul constant , adica si , deci si traiectoria, se afla in planul perpendicular pe , plan care trece prin S. Traiectoria miscarii este o curba care se gaseste in acelasi plan.

Determinarea formei geometrice a acestei traiectorii plane necesita calcule mai complicate care arata ca traiectoria este fie o elipsa, fie o parabola, fie o hiperbola, dupa cum viteza initiala a corpului aflat sub actiunea fortei este mai mare sau mai mica.

In cazul planetelor, viteza initiala corespunde conditiilor de miscare pe elipse. In concluzie, forta explica prima lege a lui Kepler.

Sa consideram acum o portiune din traiectorie. Aria a triunghiului hasurat este data de modulul vectorului:

.

Impartind cu intervale de timp , in care Pamantul s-a deplasat din A in B, obtinem:

si daca presupunem foarte mic (= 0) rezulta:

,

deoarece pentru foarte mic arcul AB coincide cu coarda (in limita este tocmai aria suprafetei maturate de raza vectoare in intervalul de timp . Deoarece = const., pentru orice interval de timp putem scrie:

.

Se vede imediat din ultima relatie ca in unitatea de timp, indiferent de pozitia instantanee a planetei pe traiectorie, raza vectoare a acestuia descrie o suprafata de aceeasi marime, .

Prin urmare, in intervale de timp egale, raza vectoare a planetei descrie arii egale, am obtinut deci si a doua lege a lui Kepler.

Deoarece demonstratia legii a treia a lui Kepler este mai dificila din punct de vedere matematic, vom simplifica lucrurile, presupunand ca traiectoria planetei este circulara (aceasta situatie corespunde satelitilor artificiali care se misca pe orbite circulare). Egaland forta de atractie cu forta centripeta, obtinem:

,

unde am avut in vedere ca distanta de la planeta la Soare este egala cu raza R a cercului. Rezulta de aici relatiile:

,

deci:

.

Notand constanta cu c, obtinem a treia lege a lui Kepler:

,

deoarece, in miscarea circulara, distanta de la un punct oarecare de pe circumferinta pana la centru este egala cu raza cercului. Cercul poate fi considerat ca un caz particular de elipsa cu semiaxele egale intre ele si egale cu raza R a cercului.

Daca tinem seama de dimensiunea Soarelui si planetelor, toata expunerea de mai sus ramane valabila, prin intelegand insa vectorul ce uneste centrul Soarelui cu centrul planetei.

Dupa cum se remarca din relatia F_ext = F₀ cos ω t, directia fortei de atractie trece intotdeauna prin centrul Soarelui. O astfel de forta, a carei directie trece printr-un punct fix se numeste forta centrala.

Pe langa atractia Soarelui, planeta noastra este supusa si atractiei din partea celorlalte planete din sistemul solar. Dintre toate acestea, cea mai importanta este insa forta de atractie a Lunii, care este totusi de 127 de ori mai mica decat atractia solara (mai exact ). Fortele de atractie a Soarelui si a Lunii sunt dirijate respectiv dupa directiile ce unesc centrul Pamantului cu centrul celor doua corpuri ceresti, situate la distantele D si respectiv d (fig. 3).

Forta totala care actioneaza asupra Pamantului este:

,

deci, in miscarea M de revolutie, Pamantul are acceleratia:

.

Conform principiului al III-lea al mecanicii, Pamantul actioneaza asupra