Radiatia corpului negru – inceputul fizicii cuantice moderne

Ce este corpul negru?

Fizicienii au ajuns de comun acord la definitia corpului negru. Acesta este corpul care absoarbe total radiatiile luminoase ce cad asupra sa, a carui putere de absorbtie este egala cu unitatea.

Experimental s-a pus in evidenta faptul ca unele corpuri incalzite emit radiatii. Kirchhoff a fost cel care a aratat ca o cavitate (de exemplu – un cuptor) incalzita la o temperatura uniforma, in peretele careia se face un mic orificiu, se comporta ca un corp negru. Intr-adevar, toata radiatia care cade din afara pe orificiu trece prin el in cavitate, si, dupa reflexii repetate pe pereti, este in cele din urma absorbita de acestia. Prin urmare, radiatia din interior si deci radiatia care iese prin orificiu afara trebuie sa aiba exact aceeasi distributie spectrala a intensitatii ca si distributia caracteristica radiatiei corpului negru.

S-a aratat tot experimental ca radiatia corpului negru este influentata doar de temperatura acestuia. 32851eyu69lcn8p

Pentru a continua trebuie sa definim doua marimi:

• Emitanta spectrala, u_l, definita ca fiind fluxul emis in unitatea de arie a radiatorului, in unitatea de lungime de unda (l - l+dl), impartita la dl: . Fluxul emis pe unitatea de arie in unitatea de lungime de unda va fi .

• Energia radianta in tot spectrul lungimilor de unda, raportata la aria elementara, se numeste emitanta energetica:

Evolutia imaginii asupra emisiei corpului negru. yc851e2369lccn

Legea Stefan-Boltzmann (1879) afirma ca emitanta energetica a corpului negru este proportionala cu puterea a patra a temperaturii:

Deci, cu cat un corp este mai fierbinte, cu atat el radiaza mai mult. Urmatorul pas l-a facut W. Wien. El a descoperit legea de deplasare (1893), care ii poarta numele, si care afirma ca emitanta spectrala (pe unitatea de frecventa) este data de o ecuatie de forma:

unde F este o functie care depinde numai de raportul dintre frecventa si temperatura, si a carei forma explicita nu poate fi determinata prin metode termodinamice. Se poate observa ca legea lui Wien include si legea Stefan-Boltzmann; pentru a o deduce trebuie sa integram pe intreg spectrul: . Punand si integrand, avem , asta pentru ca integrala nu depinde de x.

Legea lui Wien se mai numeste si „legea de deplasare”, din urmatorul motiv. S-a constatat experimental ca emitanta spectrala a unui corp incalzit, mentinut la o temperatura constanta, reprezentata in functie de lungimea de unda, conduce la o curba asemanatoare cu cea din figura. Ea prezinta un maxim pentru o anumita lungime de unda l_max. Daca modificam acum temperatura corpului radiant, se modifica si graficul emitantei. In particular, se deplaseaza si pozitia maximului. S-a constatat experimental ca produsul dintre temperatura si lungimea de unda la care se atinge maximul emitantei este constant (figurile), adica:

Legatura dintre emitanta spectrala in functie de frecventa si emitanta spectrala in functie de lungimea de unda este aproape evidenta, , si asta pentru ca ln = c. Deci emitanta spectrala in functie de lungimea de unda va avea forma:

Legea de deplasare, ce mentioneaza constanta produsului dintre lungimea de unda l_max si temperatura se poate deduce din legea lui Wien. Calculam l pentru care u_l este maxim din conditia . Avem:

de unde rezulta ca:

Aceasta este o ecuatie cu o singura variabila, , a carei solutie, presupunand ca exista, trebuie sa aiba desigur forma . Astfel, legea privind deplasarea maximului de intensitate la variatia temperaturii rezulta imediat din legea lui Wien. Insa valoarea constantei nu poate fi determinata daca nu se cunoaste forma explicita a functiei F.

Termodinamica singura nu poate spune nimic despre aceasta functie. Pentru a o determina trebuie sa se recurga la un model concret. Din considerente termodinamice rezulta insa ca forma legii, determinata de functia F, trebuie sa fie independenta de model. Planck a ales drept cel mai simplu model de corp radiant un oscilator armonic liniar cu frecventa proprie n. Pentru un asemenea oscilator, pe de o parte putem determina energia radianta pe secunda, aceasta fiind energia radiata de un dipol oscilant, data de formula (care se poate demonstra) , unde e este energia oscilatorului. Bara de deasupra (si paranteza unghiulara) indica valorile medii, pe un interval de timp suficient de mare in raport cu perioada de oscilatie, si totusi suficient de mic pentru a ne permite sa neglijam radiatia emisa in intervalul respectiv de timp. Din ecuatia de miscare avem si . Pe de alta parte, lucrul mecanic efectuat asupra oscilatorului in unitatea detimp de catre un camp de radiatii cu emitanta u_n este . La echilibru aceste doua energii trebuie sa fie egale, deci rezulta:

Prin metodele statisticii clasice, valoarea energiei medii este . Daca introducem aceasta valoare in formula emitantei, avem:

Aceasta este legea Rayleigh-Jeans. Vedem ca ea concorda, cum era de asteptat, cu legea de deplasare a lui Wien, care, fiind dedusa termodinamic, e valabila in toate cazurile. In regiunea lungimilor de unda mari ale radiatiei, adica pentru valori mici ale lui n, legea Rayleigh-Jeans reproduce de asemenea foarte bine curba experimentala de distributie a intensitatilor. Pentru frecvente inalte, insa, aceasta formula nu este corecta. Formula dinainte nu indica prezenta vreunui maxim, ci, mai mult, pentru frecvente mari, emitanta spectrala ia valori infinite. Acelasi lucru este valabil si pentru emitanta energetica, integrala fiind divergenta. Aceasta este asa-numita „catastrofa violeta”.

Acum este momentul cand Planck enunta ideea neobisnuita ca toate dificultatile pot fi inlaturate prin existenta unor cuante finite, discrete, de energie e₀. Energia oscilatorului trebuie sa fie egala cu un multiplu de e₀. In acest fel obtinem de fapt tocmai legea radiatiei a lui Planck, care a fost excelent confirmata experimental. Calculul energiei medii, e, facut mai sus cu ajutorul integralelor, acum se va face cu sume, pentru ca valorile individuale ale energiei apar acum, ca si mai inainte, cu ponderi date de constanta lui Boltzmann, cu deosebirea ca acum sunt posibile numai valorile ne₀ (multiplii de e_o) ale energiei. Deci avem:

cu . Pentru ca aceasta formula sa fie compatibila cu legea de deplasare a lui Wien care, fiind dedusa numai din considerente termodinamice este sigur valabila, trebuie sa presupunem ca

unde h este o constanta universala (constanta lui Planck), deoarece temperatura poate sa apara doar sub forma raportului . De aici rezulta direct legea radiatiei a lui Planck:

, sau

Se observa ca pentru frecventele mici, daca dezvoltam in serie, obtinem formula Rayleigh-Jeans.

Scriitori romani