TEORIA FIRELOR DE ASTEPTARE – STUDIU DE CAZ 43517emz28zoy2c 43517emz28zoy2c Teoria firelor de a]teptare este acea ramur` a matematicii ce studiaz` fenomenele de a]teptare. Principalele elemente ale problemei fenomenului de a]teptare sunt urm`toarele: Sursa este mul\imea unit`\ilor ce solicit` un serviciu la un moment dat. Sosirea unit`\ilor [n sistemul de a]teptare determin` o variabil` aleatoare V ce reprezint` num`rul de unit`\i care intr` [n sistem [n unitatea de timp. Firul de a]teptare este determinat de num`rul unit`\ilor care a]teapt` ]i care poate fi limitat sau nelimitat. mo517e3428zooy Sta\ia de serviciu poate fi un lucr`tor, o ma]in` care efectueaz` serviciul solicitat. Timpul de servire a unei unit`\i [n sta\ia de serviciu este o variabil` aleatoare W. Firul de a]teptare, [mpreun` cu sta\iile de serviciu formeaz` sistemul de a]teptare. Cu ajutorul unor metode statistice s-a stabilit c` sosirile clientilor [ntr-o banc` “X” cu un singur func\ionar, corespunz`tor unui ghi]eu, au media de clien\i pe lun`, iar timpul de servire a unui client are o reparti\ie exponen\ial` cu media 0,02 zile. S` se determine: Probabilitatea ca [n sistemul de a]teptare s` nu existe nici un client la un moment dat. Probabilitatea ca [n sistem s` existe 5 clien\i la un moment dat. Num`rul mediu de clien\i din sistemul de a]teptare la momentul “t”, num`rul mediu de clien\i care a]teapt` la momentul “t”, num`rul mediu de clien\i care sunt servi\i la un moment dat ]i num`rul mediu de clien\i servi\i efectiv [ntr-o unitate de timp. Timpul mediu de a]teptare a unui client p@n` s` fie servit ]i timpul mediu de a]teptare [n [ntreg sistemul de a]teptare. Rezolvare: Consider`m unitatea de timp ziua, timpul mediu de servire a unui client este egal cu =0,02, unde este media de servire pe unitatea de timp. De aici rezult` c` are valoarea 50, adic` la banc` sunt servi\i 50 de clien\i pe zi. Vom ob\ine informa\iile dorite folosind urm`toarele formule: constant` (media sosirilor pe lun`) clien\i pe lun` 1 lun` = 45 zile lucr`toare clien\i pe zi intensitatea de trafic sau factorul de srviciu (intensitatea servirii)
p= probabilitatea de a avea 0 clien\i [n a]teptare la un moment dat p= 1 - = 1 – 0,8 = 0,2 p= 0,2 (0,8)= 0,2 0,32768 = 0,065536 = num`rul mediu de clien\i [n sistemul de a]teptare
num`rul mediu de clien\i din firul de a]teptare la un moment dat
Capacitatea de servire a clien\ilor este de 50 de clien\i pe zi, dar ea nu este folosit` integral pentru c` exist` perioade de timp [n care func\ionarul este [n inactivitate pentru c` nu exist` clien\i [n sistemul de a]teptare. Dac` vom calcula num`rul mediu de clien\i ce sunt servi\i la un moment dat, ob\inem , deci este folosit` doar 80% din capacitatea de servire a func\ionarului, ceea ce face ca [ntr-o zi s` fie efectiv servi\i nu 50 de clien\i, ci numai 80% 50 = 40 de clien\i. Num`rul mediu de clien\i ce sunt servi\i efectiv [ntr-o zi coincide cu num`rul de clien\i ce sosesc [n medie pe zi, ceea ce este absolut logic [ntr-un sistem sta\ionar, pentru c` altfel s-ar acumula un num`r din ce [n ce mai mare de clien\i [n sistemul de a]teptare, gener@nd astfel fenomenul de aglomerare. d) timpul mediu de a]teptare a unui client [n firul de a]teptare (la r@nd) zile timpul mediu de a]teptare a unui client [n sistem zile Se verific` egalitatea: {nlocuim [n formule valorile calculate, ]i ob\inem: 0,1 = 0,08 + 0,1 = 0,08 +0,02 0,1 = 0,1 (A) 1. Modelul (,1,1) Dac` vom presupune firul de a]teptare limitat, adic` sistemul de a]teptare va avea o capacitate m`rginit` la “z” clien\i, atunci [n firul de a]teptare se vor putea afla cel mult “z – 1” clien\i. Solicitan\ii care sosesc atunci c@nd [n sistemul de a]teptare exist` deja “z” clien\i, vor fi nevoi\i s` apeleze la serviciile altor b`nci pentru efectuarea tranzac\iilor dorite. {n aceast` situa\ie, formulele modelului M (,1,1) pot fi adaptate modific@nd acele sume de o infinitate de termeni, sume care acum sunt limitate la num`rul “z”. Vom analiza cazul particular [n care “z” va lua valoarea 10. Astfel, avem: p {n acest caz, nu mai este necesar` condi\ia <1, suma probabilit`\ilor av@nd sens ]i pentru 1. p= Num`rul mediu de clien\i [n sistemul de a]teptare este egal cu:
= 2,9663142664841 Num`rul mediu de clien\i [n firul de a]teptare:
Timpul mediu de a]teptare a unui client este:
1 – 0,21879428606 = 0,78120571394
Timpul mediu de a]teptare [n sistem va fi:
2.Modelul (,1,S) Presupunem S>1, unde S = num`rul func\ionarilor ce corespund ghi]eelor existente [n banca “X”. Fiecare sta\ie are acela]i parametru de servire , sosirile sunt [n medie , timpul de servire este exponen\ial, iar trecerea din firul de a]teptare la orice ghi]eu liber se face [n ordinea sosirilor. Num`rul mediu de clien\i care sosesc [n sistemul de a]teptare este constant ]iu este egal cu . Banca “X” a mai angajat [nc` 5 func\ionari, iar acum are 6 func\ionari ce []i desf`]oara activitatea la 6 ghi]ee distincte, put@nd s` serveasc` mai mul\i clien\i simultan. Media sosirilor clien\ilor la banc` se modific`, devenind 4500 clien\i pe lun`, iar timpul mediu de servire a unui client de c`tre un func\ionar este de 0,02 zile. S` se determine: num`rul mediu de clien\i care a]teapt` s` fie servi\i de un func\ionar (la un ghi]eu) timpul de a]teptare [n fir (la r@nd) Rezolvare: S = 6 func\ionari (6 ghi]ee) = 4500 clien\i [n 20 zile = 225 clien\i pe zi 0,02 zile 50 clien\i pe zi la ghi]eu 4,5 = == = 1 + 4,5 + 10,125 + + 15,1875 + 17,0859375 + 15,37734375 = 63,27578125 0,0091401151 1,264956226265 4,5 1,264956226265 + 4,5 = 5,764956226265 0.0056220276 0,0056220276 + 0,02 = 0,0256220276 Deoarece num`rul efectiv de clien\i servi\i [n unitatea de timp =504,5 =225, ceea ce reprezint` ¾ din posibilit`\ile 650 = 300, rezult` c` nu este folosit` dec@t 75% din capacitatea de servire a sistemului. Acest fapt poate conduce la concedierea unui func\ionar sau apelarea la serviciile sale doar [n orele de v@rf. Sosirile clien\ilor [n banca “X” sunt poissoniene, cu parametrul =10 clien\i pe zi la ghi]eu. Pentru servirea acestora se propune angajarea altor 2 func\ionari (corespunz`tor altor dou` ghi]ee existente deja). Exist` posibilitatea angaj`rii celor 2 func\ionari dintr-una din urm`toarele categorii: Num`rul de clien\i este destul de mare pentru a-l considera infinit. Prejudiciul b`ncii cauzat de neservirea unui client (ne[ncasarea comisionului) este de 0,5 mil. lei. Se cere: S` se arate din ce categorie trebuie s` fac` parte cei 2 func\ionari astfel [nc@t costul global (format din prejudiciul generat de neservirea clien\ilor ]i costul operativ) s` fie minim. Rezolvare: 500000 lei = 0,5 mil. lei = costul neservirii unui client pe zi (costul datorat a]tept`rii) costul operativ pe zi al unui func\ionar din categoria “i”, unde i = =1,2,3 , unde num`rul mediu de clien\i din sistemul de a]teptare c@nd cei 2 func\ionari sunt de categoria “i”. are 3 valori (pentru fiecare categorie): 10 9 8 Not`m , pentru i = 1,2,3. Astfel, vom avea:
Avem S = 2 func\ionari ]i . Vom ob\ine urm`toarele valori :
Cu ajutorul acestor date, vom putea calcula valorile lui = , unde probabilitatea de inactivitate pentru fiecare din cele 3 categorii de func\ionari
= =
=
= 0,617283950610,285864981889 = 0,494559905934474
0,80128263888 1 1,111 1,25 0,333 + 1 = 1,333 0,494559905934474 + 1,111 = 1,605559905934474 0,80128263888 + 1,25 = 2,05128263888 23,5 + 1,3330,5 = 7 + 0,6665 = 7,6665 23 + 1,6055599059344740,5 = 6 + 0,802779952967237 = = 6,802779952967237 22,5 + 2,05128263888 0,5 =5 + 1,02564131944 = 6,02564131944 Din rezultatele ob\inute, se observ` c` este mai avantajoas` angajarea a 2 func\ionari de categoria a III-a pentru care costul global este minim.
CategoriaNum`rul mediu de clien\i servi\i pe ziCostul operativ (salariul func\ionarului) exprimat [n milioane lei
I103,5
II93
III82,5
