Distributia (repartitia ) normala

Distributia (repartitia ) normala

Scoruri standard

In psihologie, in unele cazuri, masurarea anumitor caracteristici (coeficientul de inteligenta, timpul de reactie etc.) ale unor subiecti are ca scop realizarea diferitelor comparatii intre subiecti din aceeasi populatie sau din populatii diferite.

De exemplu, la un test o persoana obtine un numar de 75 puncte. Aceasta cifra este lipsita de importanta daca nu se cunosc cateva elemente importante privind testul respectiv.

Pentru a putea face aprecieri asupra numarului de puncte obtinut de persoana respectiva, este necesar sa cunoastem numarul minim si maxim de puncte a le testului respectiv, numarul mediu de puncte obtinut de ceilalti subiecti care au facut obiectul testarii, precum si imprastierea fata de numarul mediu de puncte.

Facem presupunerea ca numarul minim de puncte este 0, numarul maxim este 100, media este 55, iar imrastierea este 30.

In acest caz, graficul se prezinta astfel:

Se numeste scor standard sau scor , modalitatea prin care se exprima semnificatia unei anumite valori a unei distributii prin raportarea la parametrii sai: medie si abatere standard.

Scorul standard sau scorul masoara distanta dintre o anumita valoare si media distributiei, folosind ca unitate de masura abaterea medie standard.

Scorul se expima prin expresia:

unde este media teoretica, este abaterea standard, iar este oricare dintre valorile distributiei.

Formula de mai sus transforma orice scor in scor . Numaratorul indica distanta scorului fata de media . Prin impartirea acestei distante la se obtine distanta scorului fata de media , exprimata in abateri standard.

In cazul unui esantion, scorul este dat de

unde si sunt media si respectiv abaterea standard calculate pe baza esantionului.

Exemple. Fie un esantion avand media =50 si abaterea standard =20. Se obtin urmatoarele scoruri corespunzatoare valorilor 40,60, 80 din esantion:

, ,

Scorul negativ indica o valoare mai mica decat media, ceea ce inseamna 0,5 abateri standard sub medie, iar celelalte indica valori standard peste medie, respectiv 0,5 si 1,5.

Observatii.

Scorul se mai numeste si scor standard deoarece exprima, in unitati ale abaterii standard, distanta unei valori fata de media distributiei din care face parte.

Media distributiei scorurilor este 0, indiferent de media distributiei din care provin valorile lui .

Abaterea standard a distributiei scorurilor este 1, indiferent de abaterea standard a distributiei din care provin valorile lui .

Din faptul ca raportarea se face la medie si la abaterea standard, scorul z poate fi utilizat pentru compararea unor valori ce provin din distributii diferite, indiferent de unitatea de masura a fiecareia.

Scorurile prezinta avantajul ca permit compararea valorilor care provin din distributii diferite, datorita faptului ca folosesc aceeasi unitate de masura si anume abaterea standard. De exemplu, daca un student obtine un scor de 0,3 la un test de statistica si un scor de 0,5 la un test de psihologie, atunci putem afirma ca performanta studentului respectiv este mai buna la psihologie decat la statistica.

In cazul unor distributii care au forme grafice total diferite, comparatiile scorurilor trebuie privite cu mai multa atentie.

De cele mai multe ori rezultatele scorurilor sunt reprezentate prin numere mici, negative sau pozitive, cu multe zecimale, fiind mai greu de utilizat.

Pentru a inlatura acest inconvenient se fac unele transformari, care conduc la alte scoruri standard, dupa cum urmeaza:

Observatii.

Scorurile de mai sus se obtin in urma unor transformari ale scorului .

In unele cazuri, formulele trebuie aplicate cu semnul minus.

De exmplu, sa consideram ca o persoana (subiect) participa la doua teste: unul de statistica in psihologie si altul de rectivitate.

La testul de statistica, cu si obtine un numar de 85 de puncte iar testul de reactivitate cu si obtine un timp de reactie de 0,20 secunde. Aplicam testul T in fiecare caz si se obtine:

Se observa ca ambele valori sunt peste media testului care este 50.

La primul test rezultatul este normal deoarece 85 este mai mare decat 70, iar la al doilea test rezultatul nu corespunde realitatii deoarece 0,20 este un rezultat mai slab decat media 0,15.

In aceasta situatie se aplica testul cu semnul minus:

Si se obtine o valoare mai mica decat medai testului.

Distributia (repartitia) normala

Rezultatele observatiilor sau masuratorilor efectuate asupra unor unitati statistice (subiecti) apartinand unei populatii statistice pot fi reprezentate grafic, curbele respective avand diverse forme: simetrice sau asimetrice, inalte sau aplatizate, unimodale sau multimodale etc.

In cele mai multe cazuri, observatiile si masuratorile urmeaza o distributie normala, avand o curba de forma unui clopot, numita curba lui Gauss.

Prin definitie, o variabila continua are repartitie normala de parametri si , cu si R (~) daca functia de densitate este de forma:

= , , R

unde , iar .

Functia de repartitie are forma:

, , R

Pentru si se spune ca variabila aleatoare urmeaza legea normala redusa , avand densitatea de repartitie

, R

Graficul distributiei normale reduse se numeste curba normala standardizata, valorile de pe aceasta curba fiind exprimate in scoruri .

Graficul repartitiei normale reduse are urmatoarele proprietati:

are forma de clopot;

este simetric fata de axa ordonatelor;

cea mai mare parte a valorilor se concentreaza in zona centrala;

concav in intervalul si convex in afara;

este asimptotic la axa Ox;

de fiecare parte a mediei se afla jumatate dintre valorile distributiei;

aria cuprinsa intre grafic si axa Ox este 1.

Functia de repartitie a variabilei aleatoare normale reduse este

Pentru fiecare , valoarea lui este egala cu aria cuprinsa intre axa Ox, graficul lui si dreapta .

Repartitia normala prezinta importanta din urmatoarele motive:

cele mai multe masuratori sunt repartizate aproximativ normal;

variabilele care un sunt repartizate normal pot fi supuse unor transformari care conduc la variabile repartizate exact sau aproximativ normal;

in conditii generale, sume de variabile repartizate sau nu normal sunt aproximativ normal repartizate;

legea normala reprezinta cazul limita al multor legi de probabilitate.

Repartizarea rezultatelor masuratotorilor care urmeaza repartitie normala redusa se prezinta astfel:

• aproximativ 34% dintre scorurile distributiei normale sunt mai mari decat media si se afla intre medie si abaterea medie standard, .
• aproximativ 34% dintre scorurile distributiei normale sunt mai mici decat media si se afla intre medie si abaterea medie standard, .
• aproximativ 48% dintre scorurile distributiei normale sunt mai mari decat media si se afla intre medie si abaterea medie standard, .
• aproximativ 48% dintre scorurile distributiei normale sunt mai mici decat media si se afla intre medie si abaterea medie standard, .

Distributia scorurilor pe o curba normala standardizata se utilizeaza pentru a cunoaste:

care este procentul valorilor mai mari sau mai mici decat un anumit scor;

care este procentajul valorilor cuprinse intre doua scoruri;

care este procentajul valorilor cuprinse intre medie si un anumit scor;

care este scorul corespunzator unui anumit procentaj etc.

Exemplu. La un test de cunostinte, media raspunsurilor corecte este de 70 puncte din 100 posibile, iar abaterea standard este 15.

Care este procentul celor care au obtinut peste 90 de puncte ?

In acest caz, scorul

Din tabelul cu valorile functiei de repartitie obtinem , ceea ce in procente inseamna 40,82%.

Procentajul peste medie este de 50%, ceea ce inseamna ca numarul celor care au obtinut peste 90 de puncte este 50-40,82=9,18 adica 9,18%.

Care este procentajul celor care au obtinut intre 70 si 85 puncte ?

In acest caz, scorul

Din tabelul cu valorile functiei de repartitie obtinem , ceea ce in procente inseamna 34,23%.

Care este numarul de puncte pentru a fi in primii 5% ?

Calculam 50% - 5% = 45% , se cauta in tabel valoarea 0,45 si se obtine =1,64.

Calculam si se obtine =70+1,64.15=70+24,60=96,60 puncte.