Operatii cu functii

1. Operatii algebrice cu functii.

Definitie: Fie A, B R. O functie f: A B se numeste functie numerica sau functie reala de variabila reala.

Definitie(Operatii cu functii):

a) Functia (f+g): A R definita prin (f+g) (x) = f (x) + g (x), x I A, se numeste suma dintre functia f  si functia g.

b) Functia (f*g) A R definita prin (f*g ) (x) = f (x) * g(x), x I A, se numeste produsul dintre functia f si functia g.

c) Functia () : A - R definita prin ( ) (x) = , x I A, g (x) 0 se numeste catul dintre functia f si functia g.

Definitie:

a) Se defineste produsul dintre un numar real a si o functie f : A R, ca fiind functia af : A R, (af) (x) = af(x), x I A.

b) Daca f : A R, atunci definim diferenta dintre functia f si functia g ca fiind functia  f - g : A R, (f - g ) (x) = f(x) - g (x), x I A. De fapt, diferenta f - g este suma f + (-g), unde -g = (-1) g.

Exemplu: Fie f, g : R R, f(x) = 3x+1, g(x) = - x + Atunci f + g, f- g, f*g : R R sunt definite astfel:

f + g )(x) = f(x) + g(x) = 3x + 1 - x +3 = 2x + 4.

f - g)(x) = f(x) - g(x) = 3x+1 -x + 3 = 4x - 2.

f*g)(x) = f(x)*g(x) = (3x + 1)(-x + 1) = -3x²+2x+1.

Proprietati ale adunarii functiilor

Fie F (A, R) multimea tuturor functiilor definite pe A cu valori in R. Atunci are loc:

Teorema: Pentru operatia de adunare pe F (A, R) au loc proprietatile:

f +g) + h = f + (g + h), f, g, h I F (A, R) (adunarea functiilor este asociativa);

f + g = g + f f, g I F(A, R) (adunarea functiilor este comutativa);

exista functia 0 I F (A, R), 0(x) = 0, x I A astfel incat f f f f I F(A, R) (0 se numeste functie nula si este element neutru pentru adunarea functiilor);

f I F (A, R), f I F (A, R) astfel incat f f f f = 0 ( orice functie f are o opusa (-f

Proprietati ale inmultirii functiilor.

Teorema: Pentru operatia de inmultire pe F (A, R), au loc proprietatile:

(f * g) * h = f * (g * h), f, g, h I F (A, R) (inmultirea functiilor este asociativa);

f* g = g * f , f, g I F (A, R) (inmultirea functiilor este comutativa);

exista functia 1 I F (A, R), 1(x) = 1, x I A astfel incat f * 1 = 1 * f = f

f I F (A, R) (1  se numeste functia unitate pe multimea A ).

Propozitie: Inmultirea este distributiva in raport cu adunarea pe F(A, R), adica:

f * (g + h) =fg + f h, f, g, h I F (A, R).

2. Compunerea functiilor

O alta operatie care se poate efectua asupra a doua functii este cea de compunere.

Fie f: A B, g : B C, doua functi cu urmatoarea particularitate: codomeniul lui f este egal cu domeniul lui g.

Cu ajutorul acestor functii se poate construi o alta functie h : A C. Functia h astfel definita se noteaza gof (citim "g compus cu f") si reprezinta compunerea functiei g cu f (in aceasta ordine). Functia gof are domeniul lui f (prima functie care actioneaza in aceasta compunere) si codomeniul lui g (ultima care actioneaza in compunere).

Definitie. Fie A, B, C multimi nevide si functiile f : A B, g : B C.

Se numeste compusa functiei g cu functia f, considerata in aceasta ordine, functia notata gof , definita astfel: gof : A C , (gof)(x) = g(f(x)) x I A.

Observatii.

a) Functia compusa gof a doua functii f, g nu poate fi definita decat daca codomeniul lui f coincide cu domeniul de definitie a lui g.

b) Daca f : A B, g : B A, atunci are sens fog si gof. Insa in general insa gof fog.

Teorema: Fie f,g,h F(R). Atunci au loc relatiile:

oAsociativitatea compunerii

f g , h I F avem fo(goh) = (fog)oh

o(ne)Comutativitatea

f, g I F a.i. fog gof

oElement neutru

o functie 1_A I F a.i. I F avem fo1_A = 1_Aof f; 1_A : A A;  1_A(x) = x (functie identica pe A)

oElemente simetrizabile

Functia inversa: f : A B, g : B A;   g se numeste inversa (notatie: g = f^-1) lui f daca: fog = 1_B si gof = 1_A

Proprietati:

a)     g = f^-1 (gof)(x) = x (fog)(x) = x;

b)     f^-1(f(x)) = x x I A si f(f^-1(x)) = x x I B;

c)      f inversabila f bijectie

Observatie: Nu toate functiile admit inverse!