ORGANIZAREA CA SPATII EUCLIDIENE, NORMATE, METRICE
Fie X spatiu vectorial real
Definitie Functia <,> : X∙X→R se numeste produs scalar pe multimea X daca:
1) <x,y>=<y,x> ,
(simetrie)
2) 
(aditivitate in prima variabila)
3) 
(omogenitate in prima variabila)
4) 
Observatie: Produsul scalar <,> este liniar si in a II-a variabila si este o functionala biliniara ,pozitiv definita.
Exemple: 1) 
2)
X=C
Definitie Se numeste spatiu euclidian un spatiu pe care s-a definit un produs scalar.
Propozitie (Inegalitatea Cauchy Buniakovski)
Intr-un spatiu euclidian X ,are loc relatia:
Exemple:
Definitie Functia:
se numeste norma
a spatiului euclidian.
Norma are urmatoarele proprietati:
N1) 
N2) 
N3) 
( inegalitatea
triunghiului)
Observatii: 1) 
se numeste norma
indusa de produsul scalar.
2) Din inegalitatea Cauchy Buniakovski se poate defini unghiul dintre x si y.
, 
Definitie Vectorii x si y se numesc ortogonali daca: 
PropozitieUn sistem de vectori nenuli si ortogonali doi cate doi este liniar independent
Definitie O baza a spatiului X se numeste ortogonala vectorii ei sunt ortogonali doi cate doi.
Propozitie Intr-un spatiu finit dimensional X exista o baza ortogonala.
Procedeul Gramm Schimdt
de ortogonalizare a unei baze
oarecare, 
si determinam 
astfel incat
Presupunem ca s-au construit astfel vectorii g1,g2,.gk-1 nenuli si ortogonali doi cate doi.
Construim 
determinand 
astfel incat 
sau 
si 
Se obtine baza G=cu vectorii ortogonali doi cate doi.
Definitie Functia 
se numeste distanta in X.
Un spatiu vectorial pe care s-a desfinit o distanta se numeste spatiu metric
Functia distanta are propretatile:
P1) 
P2) 
P3) 
Exemplu: In Rn distanta intre vectorii x,y este 
iar norma 
Pt.n=2,n=3 se obtine
distanta obisnuita din
geometria euclidiana.
