In acest capitol se pleaca de la ipoteza ca exista un optim si se apeleaza la metoda perturbatiei asupra comenzii in vederea determinarii conditiilor necesare de optim.
Problema de minimizare a unei fun ctionale se reduce la problema de minimizare a unei fun ctii.
Fie P spatiul tuturor functiilor continue pe porttiuni f, definite pe un interval [a,b] cu valori in An
Functionala este o functie de valori reale definita pe un spatiu vectorial, in particular P. Se considera o functie L cu valori reale, definita pe An. Daca f(t) este o functie definita pe An cu valori in A, de componente f1(t), f2(t),, fn(t), atunci L[f(t)] este o functie definita pe A cu valori in A
L[f(t)]= L[f1(t), f2(t),, fn(t)] (4.1)
In problemele de optimizare intereseaza determinarea minimului sau maximului unei functii cu valori reale de forma:
(4.2)
Functia J este definita pe P([a,b],An) cu valori in A
Daca 
, se defineste
o functie cu valori reale J(T,f):
(4.3)
numita functionala.
Dandu-se o functionala J definita pe un interval compact A, un vector a* din A se numeste minim local a functionalei J daca pentru toti vectorii a din A suficient de apropiati de a*, inegalitatea:
(4.4)
este satisfacuta.
In vederea determinarii minimelor
locale posibile se aplica metoda perturbatiei sau metoda variationala pentru functionale.
Pentru un vector a din A suficient de apropiat de a*, se defineste perturbatia
functionalei 
:
(4.5)
unde 
este o transformare
a spatiului vectorial P in A
Derivata functionalei J in punctul a* este transformarea liniara
, daca:
(4.6)
unde 
este prima variatie a lui J in a*.
Fie un vector 
, daca e este un numar pozitiv, atunci perturbatia lui a* in directia vectorului
v este a*+e v.
Se presupune ca exista prima variatie a functionalei cost J in punctul a*, astfel se poate scrie dezvoltarea in serie Taylor:
(4.7)
cu
(4.8)
In baza relatiei (4.8) relatia (4.7) devine:
(4.9)
Deoarece 
, din (4.9)
rezulta:
(4.10)
Relatia (4.10) reprezinta conditia necesara de minim obtinuta si pentru functii de una sau mai multe variabile.
Se pot extinde, astfel, concluziile obtinute la minimul functiilor si pentru functionale.
Concluzie:
Punctele de minim local ale functionalei cost J se pot gasi in interiorul intervalului A pentru care prima variatie se anuleaza, pe frontiera lui A si in punctele pentru care nu exista derivata functionalei J.
Plecand de la functii, in vederea determinarii conditiei de suficienta pentru un punct de minim al unei functionale se apeleaza la studierea semnului pentru derivata de ordinul doi sau a doua variatie a functionalei cost J in punctul a*.
Din dezvoltarea in serie Taylor se obtine:
(4.11)
cu
(4.12)
vectorul si e
fiind un numar pozitiv suficient de mic.
Se presupune ca exista prima variatie si a doua variatie a functionalei cost J in punctul a*. Aplicand metoda variationala rezulta ca:
(4.13)
Deoarece s-a presupus ca punctul a*este minim local, tinand cont de anularea primei variatii (4.10), relatia (4.13) se reduce la:
(4.14)
Pentru ca punctul a* sa fie minim local trebuie ca
sau 
. (4.15)
Din (4.14) si (4.15), cu 
rezulta conditia ca punctul a* sa fie minim, pentru toti
vectorii v:
(4.16)
In vederea formularii problemei de optimizare dinamica este necesar definirea unui sistem dinamic si fie acesta de forma:
(4.13)
in care A=-1, B=1.
Se considera problema fara restrictii, deci orice functie continua pe portiuni definita pe A cu valori in A este o comanda admisibila.
In vederea definirii functionalei cost se considera o functie continua
(4.14)
si functia
K(x,t)s0.(4.15)
Conditiile initiale ale sistemului sunt date de timpul initial, t0, starea initiala, x(t0):
t0=0, x(0)=1. (4.16)
De asemenea, se specifica conditiile finale, constand din fixarea timpului final, tf, si impunerea starii la momentul tf:
tf=T, x(tf)=0. (4.17)
Intrucat conditiile finale sunt specificate, problema se mai numeste cu timp final fixat, stare finala impusa.
Tinand cont de (4.14)-(4.17) functionala cost, J(u), capata forma
(4.18)
unde x(t) este traiectoria sistemului generata de comanda u(t).
Problema consta din determinarea comenzii u(t) care transfera sistemul (4.13) din starea initiala (4.16) in starea finala (4.17) astfel incat functionala cost (4.18) sa fie minimizata.
