Matrice inversabile, Rangul unei matrice, Sisteme lineare

Matrice inversabile, Rangul unei matrice, Sisteme lineare

Matrici inversabile

Sa se afle daca matricile sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele lor:

1)    a) b) c)

 R

2)    a) b)

3)    a) b)

c)  C

4) Fie matricile A = si B = . Sa se calculeze: 2A-2B; AB; B^-1; B+ B^-1.

5) Sa se gaseasca matricile adjuncte ale urmatoarelor matrici:

A = B =

6) Sa se verifice daca urmatoarele matrici sunt inversabile si in caz afirmativ sa se calculeze inversele lor:

A = B = C =

7) Fie matricile A= B= Se cere:

a)    Sa se arate ca AB = BA = I;

b)    Sa se calculeze A^-1si B^-1 si sa se justific e rezultatul punctului a).

8) Sa se stabileasca daca urmatoarele matrici sunt inversabile si sa se gaseasca inversele lor:

A = B =

9) Sa se determine valorile parametrului real m, astfel incat matricea

A = sa fie inversabila pentru orice x R.

10) Fie matricea A = M₃ (C). Sa se afle valorile lui pentru care matricea A este inversabila si sa se calculeze in acest caz A^-1.

11) Fie matricea A = M₃ (R), unde a R

a)    Sa se determine a, astfel incat A sa fie inversabila;

b)    Sa se determine a, astfel incat sa existe B M₃ (R), B 0 cu A^.B = 0.

12) Sa se rezolve ecuatiile matriceale:

a) ^.X ^. = ;

b) ^.X =

13) Sa se rezolve ecuatia matriceala

X ^. =

14) Daca X M₃ (R) sa se rezolve ecuatia matriceala:

X ^. =

15) Sa se rezolve pe cale matriceala:

16) Sa se determine a R, astfel incat urmatoarele matrici sa fie inversabile si sa se afle inversele lor:

a)    A = b) A =

c) A = d) A =

e) A = f) A =

17) Sa se rezolve ecuatiile matriceale:

a)    X ^. =

b)    X ^. =

c)    =

d) ^.X =

18) Fie A = M₂ (C), astfel incat A³ =0. Sa se demonstreze ca matricea este inversabila.

19) Sa se afle daca matricile urmatoare sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele lor:

a)  R .b)

c) d)

20) Sa se afle daca matricile urmatoare, de ordin n, sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele lor:

a) b)

c) d)

21) Sa se arate ca pentru o matrice nesingulara A de forma:

A = inversa sa B = A^-1 este de forma

22) Fie A o matrice patratica cu coeficienti complecsi. Sa se demonstreze ca, daca exista k 2 astfel incat A^k=0, atunci matricea I-A este inversabilasi abem: (I-A)^-1 = I+A+.+A^k-1.

23) Fie A o matrice inversabila cu coeficienti complecsi. Sa se demonstreze ca (A^-1)^t = (A^t)^-1.

24) Fie A, B, C matrice astfel incat AB = AC. Sunt oare egale matricele B si C? Dar daca A este o matrice nesingulara?

25) Fie E matricea patratica de ordin n ale carei elemente sunt egale cu 1. Sa se arate ca:

a) E_n² = nE_n

26) Fie A M_n (C de rang 1. Sa se arate ca:

a)    exista un numar astfel incat A² = A;

b)    daca -1 atunci matricea I+A este inversabila si avem:

(I+A) ^-1 = I -

Sa se deduca: inversabila daca si numai daca este nenula si sa se calculeze inversa.

27) Fie A o matrice nesingulara si B = XY, o matrice de rang 1. Sa se demonstreze ca daca matricea A+B este nesingulara, inversa sa este data de: (A+B)^-1 = A^-1B A ^-1, unde  = Y A ^-1X. Presupunand cunoscute matricele A^-1, X, Y, sa se calculeze numarul inmultirilor si impartirilor necesare pentru a trece de la A^-1 la (A+B)^-1.

Rang matrici

1) Sa se determine rangul matricei A =

M _4,5(R

2) Fie matricile AM _3,4(R), B M ₃(R

A =            B =

Se cere:

a)    Sa se calculeze rangul matricei A;

b)    Sa se determine , R astfel incat rang A = rang B.

3) Se da matricea AM ₃(R), A = . Se cere:

a)    Sa se determine valorile lui pentru care A este nesingulara.

b)    Pentru = -3 sa se gaseasca inversa matricei A.

4) Sa se rezolve ecuatia matriceala AXB = C unde:

A = B = C=

5) Sa se calculeze rangul matricelor urmatoare, pentru diferite valori ale lui :

a) ; b)

6) Sa se determine rangul urmatoarelor matrici, prin aducere la forma canonica diagonala, pentru diferite valori ale lui ,,, R

a) b)

7) Se considera matricile:

A = B =

Sa se afle numerele p si q, astfel incat cele doua matrici sa aiba acelasi rang.

8) Sa se calculeze rangul matricei A = . Discutie dupa .

9) Fie A = B = . Se cere:

a)    Sa se gaseasca rangul matricelor A si B.

b)    Sa se calculeze AB.

c)     Sa se gaseasca rangul matricei AB.

d)    Sa se enunte teorema privind rangul a doua matrice.

10) Fie A() = , R

a)    Sa se gaseasca valorile lui pentru care rang A () <4.

b)    Pentru fiecare din valorile lui gasite mai sus sa se afle rangul lui A().

11) Sa se determine rangul matricei , ,,R

12) Fie matricea A = , m R. Ce rang maxim poate avea matricea A?

13) Fie matricele A = B = .

a)    Se cer ,R astfel incat rang A = 2.

b)    Cu si determinati mai sus si sa se calculeze AB.

14) Sa se calculeze rangurile matricelor

a) b) c)

R

15) Sa se calculeze rangul matricei A = unde m, iar a₁,...., a_m numere diferite intre ele .

16) Sa se afle valorile posibile ale rangului matricei unde a _in si a _mj sunt numere oarecare.

17) Sa se afle valorile lui C pentru care matricea

a) are rangul minim.

18) Sa se afle rangul matricei pentru diferite valori ale lui C

19) Sa se demonstreze ca rangul unei matrice nu se schimba daca:

a)    se transpune matricea;

b)    se inmultesc elementele unei linii sau unei coloane cu un numar nenul;

c)     se permuta intre ele doua linii (coloane);

d)    se adauga la elementele unei linii (coloane) elementele corespunzatoare ale altei linii (coloane) inmultite cu un numar oarecare.

20) Sa se calculeze rangul fiecareia din urmatoarele matrici:

a)    A =b) A=

b)    A = d) A =

e)    A = f)

g) A = h) A =

21) Sa se calculeze in functie de a R rangul matricilor

a) A = b) A =
c) A = d) A =

e) A = f) A =

22) Sa se calculeze in functie de a,b R rangul matricilor:

a)A= b)A= c) A =

d) A= d) A=

f) A =

23) Se considera matricile:

A = B = . Sa se afle numerele p, q R astfel incat cele doua matrice sa aiba acelasi rang.

24) Sa se determine rangul matricei A =

25) Sa se calculeze rangul matricilor pentru diferite valori ale parametrilor:

a) b)

a)    d)

26) a) Cum se poate schimba rangul unei matrici, daca se schimba unul din elementele sale?

b) Cum se poate schimba rangul unei matrici, prin schimbarea elementelor unei linii? Dar prin schimbarea elementelor a K linii?

Sisteme de ecuatii

1. Sa se rezolve urmatoarele sisteme de ecuatii cu ajutorul regulii lui Cramer:

a. 2x₁ - x₂ -x₃ = 2 d. 2x - 3y + z = - 1

x₁ + 4x₂ - 2 x₃ = 10 x + 2y - 3z = 0

x₁ - 2x₂ + 2 x₃ = 10 x - 12y +11z = -1

4x - 15y + 9z = 0

b. 2x₁ - x₂ + 3x₃ = 9

x₁ + 2x₂-4 x₃ = -2

-3x₁ + 4x₂ + x₃ = 13

c. x + y + z + t = 1

x + y + z - t = 0

x + y - z + t = 2

x + y =

2. Sa se arate ca sistemul x + z =

y + z = are solutie unica daca si numai daca 0. in acest caz sa se rezolve sistemul.

3. Sa se determine si astfel incat sistemele urmatoare sa fie compatibile:

a)        2x -y + z + 2t = 1 b)x - 3y = -2

2x + 2y + 4z +2t = x + 2y = 3

3x - 2y + z + 3t = 1 3x - y =

2x + y =

4. Sa se determine , si astfel incat sistemele urmatoare sa fie compatibile, iar matricea sistemului sa aiba rangul 2.

a. 2x₁ - x₂ +x₃ - x₄ = 1 b. 2x₁ - 3x₂ + 4x₃ - x₄ = 1

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = -1 x₁ + 9x₂ + x₃ + 3x₄ = 3

x₁ - x₂ +x_{3 +} x₄ = 5x₁ - 6x₂ + 10x_{3 +} x₄ =

5. Sa se rezolve sistemele urmatoare. Discutie, dupa parametri reali , ,si .

a)        5x - 3y + 2z + 4t = 3 b)x + y + z = 1 c)x₁ + x₂ + x₃ = 1

4x - 2y + 3z +7t = 1 x + y + z= 1 x₁ + x₂ +x₃ =

8x - 6y - z - 5t = 9 x + y + z= 1 ²x₁ + ²x₂ +²x₃ = ²

7x- 3y + 7z + 17t=

d)        x + y + z = 1e) x + y + 2z = 1 f) x +(+1)y + (+2)z = 1

x + y + z= 1 x + (2-1)y + 3z=1 x + (+1)y + (+2)z= +3

x + y + z= 1 x + y + (-3)z= 1 x + y + ²z= ³

6. Sa se determine astfel incat sistemul urmator sa aiba solutii nenule, si in caz afirmativ sa se rezolve x - 2y + z - t = 0

2x - y + 3z - 3t = 0

x + y + z + t = 0

2x + ( -1)y + 2z + t = 0.

7. Sa se rezolve si sa se discute, dupa valorile parametrului , sistemul:

(3+ 2)x+ (1+3)y + z + (-1) t = 3

3x+ (3+2)y + z + (-1) t = 1

3x+ (3+2)y + 3z + (-1) t = 1

3x+ 3y + z + (-1) t = 1

x + ay + 2z = 1

8. Sa se discute si sa rezolve sistemul: x + (2a-1)y + 3z = 1

x + ay + (a-3)z = 2a-1

unde a este un parametru real.

x + m²y + 2mz = -2

9. Sa se rezolve si sa se discute sistemul:2mx + y + m²z = 7

m²x + 2my + z = -5

dupa valorile parametrului m *.

10. Sa se rezolve si sa se discute, dupa valorile parametrului real m, sistemul:

a. x+ y + mz = 1 b. x+ y + z = 2 c. mx + y - z = 0

x-2y + z = m 2x-y -2z = -2 x+(m+1)y + z = z + m -m²

mx + y + z = 0 x + 4y + mz = 8 x - 2y - mz = 3m - m² -2

11. Pentru ce valori ale parametrului , sistemul -x₁ +2x₂ + 2x₃ +x₄ = 1

-2x₁ +x₂ + x₃ +x₄ = 0

5x₁ - x₂ -x₃ -2x₄ =

12. Sa se discute dupa parametrii reali a, b c compatibilitatea sistemului si apoi sa se rezolve:

ax + (c+1)y +(a+2)z = a + 3

bx + (b+1)y + (b+2)z = b+3

x + cy + c²z = c³

13. Se considera sistemul x+ y + z = 6

x-2y -z = p

mx + y + 2z = 5 , unde m, p .

a) Sa se determine m , astfel ca sistemul sa fie compatibil si determinat si in acest caz sa se rezolve.

b) Sa se determine m si p m astfel incat sistemul sa fie compatibil si nedeterminat.

14. Se considera sistemul x+ 2y + z = 0

2x +my +z = 0

x -3y + 2z = 0 , unde m .

a) Determinati multimea valorilor lui m pentru care sistemul are solutie unica.

b) Pentru m=9 aratati ca expresia este constanta.

15. Aratati ca sistemul x = ax + by +cz

y = cx + ay +bz

z = bx + cy +az

admite solutie unica, oricare ar fi a, b, c Z.

16. Sa se determine e astfel incat sistemele urmatoare sa fie compatibile:

2x-y - z = 4 3x+ey+z= 5 x+y+2z+3n = 1

a. ex+4y-2z = 11 b. ex+3y+ z = 1c.ex-y-z-2n = -4

ex -2y+4z= 11 ex+y+3z= 11 2x+3y-z-n = 6

x+2y+ez-n= -4

d. x+y+2z = 1

-3x+y+z = e

x-y+3z = -1

2x+2y+z = 2

17. Sa se determine e astfel incat sistemele urmatoare sa fie incompatibile:

a. ex+2y+5z = 3 b. x+2y+ez = 1 c. x+3y+2z = 1

ex+ y+2z = 2 ex-y+3z = 4 x+ y+ z = e

3x-2y+4z = 10 x+y+4z = -20 x- y+ 2z = -1

x+2y+z = 2

d. ex - y +z+2n= 2

x+3y+z+en = 5

3x- y- z + en = 6

3x- y+3z - n = 6

x + y + z - n = 7

18. Sa se rezolve sistemele urmatoare, discutand dupa valorile parametrilor reali a, b:

a. x + y +2z= 1 b. ax+2y+z = 6c. x+2y = 5 d. ax+2y = 3

ax+y+ z = b ax+y+z = b ax+y = 7 x+y = b

x+3y= b x+3y = 5

e.x+y = 1 f.ax+y+z = 4 g.ax+by+z = 4 h. x+ay + a²z= 1

2x+y = bx+by+z = 3 x+aby+z = b x+ay+abz = a

ax +y+z = 4 x+2by+z =4 x+by+ez = 1 bx+ a²y+ a²bz= a²b

ax+by+2z = 6 x+ay+ a²z = a³ x+y+z= 1 ax+y+z= b

i. ax+(2b-1)y+3z=1 j. x+by+ b²z = b³k. ax+by+z= 1l.x+ay+z=a

ax+by+(b+3)z= 2b-1 x+y+z= 1 a²x+ b²y+z = 1 x+y+az=1

m.2x-3y+z=-1                       n. x + y +z= 2

ax+2y-3z=0 2x-y-2z=-2

x-12y+11z = -1 ex+4y+5z=b

2x+5y+6z=10

19. Se considera sistemul (S): = a^i-1, i= , e * unde

a_ij = e, daca i=j

i, daca iji, j = . Daca A = e */ S este compatibil. nedeterminat atunci a) A =-3, 1 , b) A= -3,1 ; c) A = 3 , d) A= 1 ; e) A= ; f) A= .

x+3y+2z = 4

20. Sa se determine e astfel incat sistemul x+ y+z = e

x+2y+z = 2

x+y+2z = -1

sa aiba solutie unica.

x-y+z-t = 0

21. Se considera sistemul2x-y+3z-3t = 0

x+y+z+t = 0

2x+ (e-1)y+2z+e⁵t = 0

sa se determine multimile A si S.

A= e / sistemul admite si solutii diferite de cea banala , S= .

22. Fie sistemul x + y +2z = 1

2x + 2y +z = -1 , . Sa se determine suma +.

x+y-z =

23. Sa se determine valorile parametrilor si pentru care sistemul

2x-y-4z = 6

x - y+z = 2 este compatibil determinat.

2x+y - 4z = 2

, 1ij3

24. Fie matricea A M₃() cu elementele a_ij = 0 , 1i<jh-1

Determinantul lui A are valoarea ?

25. Sa se determine a, b, c astfel incat matricea sistemului sa fie de rang 2, iar sistemul sa fie compatibil. in acest caz sa se rezolve sistemul

2x-y+z-t= 1

x+y+az+t= -1

x-y+z+bt = c

26. Sa se determine a astfel incat sistemul sa aiba si solutii nenule si in acest caz sa se rezolve

x-2y+z-t= 0

2x-y+3z-3t = 0

x+y+z+t =0

2x+(a-1)y+ 2z + at = 0.

27. Sa se rezolve folosind regula lui Cramer:

6x+4y+z+2t = 3

6x+5y+3z+5t = 6

12x+8y+z+5t= 8

6x+5y+3z+7t= 8

3x+2y+z-t = 2

28. Se considera sistemul x+ay-2z + 3t = 1

x+4y+5z-7t = b. Sa se determine a,b astfel incat sistemul sa fie dublu determinat.

mx+y-2z = 2

29. Se considera sistemul de ecuatii 2x+y+3z = 1

(2m-1)x+2y+z = n

Sa se determine m, n pentru care sistemul sa fie incompatibil.

ax+y+z = 1

30. Se considera sistemul de ecuatii x+ay+z = 1

x+y+az = 1

Sa se determine a , astfel incat sistemul sa fie compatibil determinat si sa se determine solutia.

31. Se considera sistemul

4x+(a+1)y+(a+1)z = 0

x+(a+4)y-z = 0

(a+2)x-y+(a+1)z =0

Sa se determine a pentru care admite numai solutia nula.

32. Se considera sistemul = b_i, i= unde a_ij = min i, ji, j= si fie - determinantul sistemului. Pentru n=30 si in ipoteza ca solutia sistemului este (x₁,., x₃₀) unde x_k =1, k= fie E = b₂₅. Atunci sa se determine si E.

33. Se considera sistemul (S=: = a^i-1, _, i= a * unde

a_ij =a, deci i=j.Fie A = a / (S) este compatibil nedeterminat si

1 altfel.

B = a */ (S) este incompatibil . Daca U =si V = atunci sa se determine U si V.

ax +ay+2z =1

34. Se considera sistemul ax+(2a-1)y+3z= 1

ax+ ay + (a+3)z = 2a-1, a

Daca (a) este determinantul sistemului, A = a / (a) =0 , = ,

B = a / sistemul este incompatibil si = ², atunci sa se calculeze si _.

35. Se considera matricele A= (a_ij)_ij= B= (b_ij) , C= (c_ij)

unde C= AB.

i, i <ji,j = 1, i =j i= , j =

a_ij = 2i³ i = j si b_ij = 0, i j.

j² i >j

Fie S = si T = max c_ij, i= , j = atunci sa se determine S si T.

36. Se considera sistemul de ecuatii: + = 0, k =

si (,, ., ) o solutie nenula. Daca r este rangul matricei sistemului,
= 0siT = atunci sa se determine r si T.

37. Se considera matricele A = (a_ij)_ij=, B = (b_ij)_ij=, C = (c_ij)_ij=.

Daca C = AB, a_ij= min ix(x-1) - j , i <ji=

3,i = j

1,i >j

b_i1= 1, i=2

-1, i=41

0, in rest.

Daca S = si T = max c_i1, i= atunci sa se calculeze S si T.

38. Se considera sistemul:

x+my+z+t = (m, ) Z x Z. Fie A=(m, ) Z x Z/ Sistemul este

mx+y+z+2t = ² compatibil nedeterminat si pentru (m, ) A fie

x+2y+mz+t = ³ (,,,) o solutie oarecare si

x+y+z-t = ⁴S(m, ) = min (+++)

39. Se considera sistemul = b_i.i = , unde b_i= 999+ i si

si a_ij= j, i = ji, j = . Daca D este determinantul matricei sistemului,

1, in rest.

P = si S = , m= PS unde (, ., ) este solutia sistemului. Sa se determine D si m.

40. Se considera sistemul de ecuatii + = 0, k = . Fie rangul matricei sistemului si (, ., ) o solutie nenula.

Daca = 0 , T = , m= ST. Sa se determine r si m. ix(x-1) - j , i <j

41. Fie a_ij=3, i=ji, j = .

ix(x-1) - j , i >j

Daca M= max a_ij/ i, j = , m = min a_ij / i, j = ,

S = , U = atunci sa se determine S, M, m, T, U.

42. Se considera sistemul x_j = 1, i= unde a_ij=

daca D este determinantul matricei sistemului, (, ., ) solutia sistemului si T = , atunci D este cuprins in intervalul .. si T = ?

43. Se considera sistemul x_j = i² + (n²+n-2i), i = , n N 0,1 , unde K N fixat cu proprietatea 1<k<n, iar i, j = . Fie determinantul sistemului, (, ., ) solutia lui si S_n = , T_n = si R_n = atunci sa se determine si R.