Punctul material in camp de forte centrale (conservative)
O forta invers proportionala cu patratul distantei dintre doua corpuri si cu directia pe linia ce uneste centrele celor doua corpuri, este o forta de tip central.
(2.21)
S-a considerat originea sistemului de coordonate in centrul unuia dintre
corpuri, ce cr eeaza campul prin intermediul caruia interactioneaza cu cel de-al
doilea corp, a carui pozitie este data de raza vectoare
Sa aratam ca, in cazul mai general al unei forte a carei formula este:
, (2.22)
unde este un numar intreg nenul, energia mecanica a sistemului celor doua corpuri se conserva.
Se poate arata ca legea conservarii energiei se aplica si in cazul unui sistem format din mai multe corpuri aflate in camp de forte centrale.
Determinam mai intai expresia lucrului mecanic al fortei (2.22):
,
unde am folosit faptul ca . Efectuam schimbarea de variabila si integram definit:
(2.23)
Se constata urmatoarele cazuri particulare:
Cazul 1: si , unde este energia potentiala elastica. Conform teoremei energiei cinetice:
,
de unde se obtine
, (2.24)
adica legea conservarii energiei in camp de forte elastice.
Cazul 2: , , , unde este energia potentiala gravitationala.
Din teorema energiei cinetice obtinem , de unde rezulta:
, (2.25)
care constituie legea conservarii energiei in camp de forte gravitationale.
Valoarea constantei din formula de definitie a energiei potentiale gravitationale se determina din conditia de zero pentru , adica in functie de alegerea punctului in care energia potentiala are valoarea zero.
(2.26)
Din (2.26) rezulta interpretarea fizica a energiei potentiale gravitationale: lucrul mecanic efectuat de forta gravitationala pentru a deplasa unul dintre cele doua corpuri din pozitia in care distanta dintre corpuri este , pana la infinit. Pentru sistemul Pamant-corp se poate alege cand , de unde
Daca alegem
si, (2.27)
unde am folosit notatia pentru masa Pamantului si pentru masa corpului aflat in campul gravitational al Pamantului. Se observa ca, indiferent de alegerea configuratiei de zero, si deci a constantei , expresia diferentei intre energia potentiala pentru doua pozitii oarecare ramane aceeasi.
Exemplul 1.
Sa deducem expresia lui in cazul deplasarii corpului de masa intre doua pozitii aflate in apropierea suprafetei Pamantului.
(2.28)
Insa din si rezulta:
(2.29)
In aproximatia considerata si formula (2.29) ia forma:
, (2.30)
unde s-a folosit expresia acceleratiei gravitationale la suprafata Pamantului:
. (2.31)
Reiese clar incorectitudinea afirmatiei "energia potentiala gravitationala a unui corp de masa aflat la inaltimea fata de suprafata Pamantului este ". Insa afirmatia "diferenta dintre energia potentiala gravitationala a unui corp de masa aflat la o inaltime neglijabila fata de raza Pamantului si a aceluiasi corp aflat la suprafata Pamantului, este " este corecta.
Exemplul 2
Sa se determine inaltimea pana la care poate ajunge un proiectil lansat de la suprafata Pamantului pe verticala in sus cu viteza initiala , neglijand efectul miscarii de rotatie a Pamantului. Se cunosc raza medie a Pamantului , masa Pamantului si constanta atractiei gravitationale .
Rezolvare
Se scrie legea conservarii energiei intre cele doua pozitii ale corpului :
,
de unde se obtine inaltimea :
.
Daca am fi calculat inaltimea din formula lui Galilei , am fi obtinut . Acest rezultat difera substantial de cel corect, din cauza ca valoarea acceleratiei gravitationale este o aproximare buna numai pentru inaltimi mici fata de suprafata Pamantului.