Punctul material in camp de forte centrale (conservative)
O forta invers proportionala cu patratul distantei dintre doua corpuri si cu directia pe linia ce uneste centrele celor doua corpuri, este o forta de tip central.
(2.21)
S-a considerat originea sistemului de coordonate in centrul unuia dintre
corpuri, ce cr eeaza campul prin intermediul caruia interactioneaza cu cel de-al
doilea corp, a carui pozitie este data de raza vectoare 
se poate obtine
expresia fortei gravitationale (
), sau a fortei electrostatice 
.
Sa aratam ca, in cazul mai general al unei forte a carei formula este:
, (2.22)
unde 
este un numar
intreg nenul, energia mecanica a
sistemului celor doua corpuri se conserva.
Se poate arata ca legea conservarii energiei se aplica si in cazul unui sistem format din mai multe corpuri aflate in camp de forte centrale.
Determinam mai intai expresia lucrului mecanic al fortei (2.22):
,
unde am folosit
faptul ca 
. Efectuam schimbarea de variabila 
si integram definit:
(2.23)
Se constata urmatoarele cazuri particulare:
Cazul 1: 
si 
, unde 
este energia
potentiala elastica. Conform teoremei energiei cinetice:
,
de unde se obtine
, (2.24)
adica legea conservarii energiei in camp de forte elastice.
Cazul 2: , 
, 
, unde 
este energia
potentiala gravitationala.
Din teorema energiei cinetice obtinem 
, de unde rezulta:
, (2.25)
care constituie legea conservarii energiei in camp de forte gravitationale.
Valoarea constantei 
din formula de
definitie a energiei potentiale gravitationale se determina din conditia de
zero pentru 
, adica in functie de alegerea punctului in care energia
potentiala are valoarea zero.
(2.26)
Din (2.26) rezulta interpretarea fizica a energiei potentiale gravitationale:
lucrul mecanic efectuat de forta gravitationala pentru a deplasa unul dintre cele doua corpuri din pozitia in care
distanta dintre corpuri este 
, pana la infinit. Pentru sistemul
Pamant-corp se poate alege 
cand 
, de unde 
Daca alegem
(corpul pe suprafata
Pamantului), atunci
si
, (2.27)
unde am folosit notatia 
pentru masa Pamantului
si 
pentru masa corpului
aflat in campul gravitational al Pamantului. Se observa ca, indiferent de
alegerea configuratiei de zero, si deci a constantei , expresia diferentei intre energia potentiala pentru
doua pozitii oarecare ramane aceeasi.
Exemplul 1.
Sa deducem expresia lui 
in cazul deplasarii corpului de masa 
intre doua pozitii
aflate in apropierea suprafetei Pamantului.
(2.28)
Insa din 
si 
rezulta:
(2.29)
In aproximatia considerata 
si 
formula (2.29) ia
forma:
, (2.30)
unde s-a folosit expresia acceleratiei gravitationale la suprafata Pamantului:
.
(2.31)
Reiese clar incorectitudinea afirmatiei "energia potentiala gravitationala
a unui corp de masa aflat la inaltimea
fata de suprafata
Pamantului este 
". Insa afirmatia "diferenta dintre energia potentiala
gravitationala a unui corp de masa aflat la o inaltime neglijabila fata de raza
Pamantului si a aceluiasi corp aflat la suprafata Pamantului, este 
" este corecta.
Exemplul 2
Sa se determine inaltimea
pana la care poate ajunge un proiectil lansat de la suprafata Pamantului pe
verticala in sus cu viteza initiala 
, neglijand efectul miscarii de rotatie a Pamantului. Se
cunosc raza medie a Pamantului 
, masa Pamantului 
si constanta atractiei
gravitationale 
.
Rezolvare
Se scrie legea conservarii energiei intre cele doua pozitii ale corpului :
,
de unde se obtine inaltimea :
.
Daca am fi calculat
inaltimea din formula lui Galilei 
, am fi obtinut 
. Acest rezultat difera substantial de cel corect, din cauza
ca valoarea acceleratiei gravitationale 
este o aproximare buna
numai pentru inaltimi mici fata de suprafata Pamantului.
