PROPRIETATILE CENTRULUI DE GREUTATE

PROPRIETATILE CENTRULUI DE GREUTATE

1.      Daca sistemul de puncte materiale are un plan, o axa sau un centru de simetrie, centrul de masa se afla in acel p lan, pe acea axa sau in acel centru.

Presupunand ca sistemul admite planul Oxz ca plan de simetrie, oricarui punct P_i(x_i, y_i, z_i) de masa m_i ii corespunde un punct P_j(x_i, -y_i, z_i) de aceasi masa m_i. Cum , rezulta y_C = 0, deci centrul de masa se afla in planul Oxz.

Daca presupunem ca sistemul admite axa Oz, ca axa de simetrie, atunci unui punct P_i(x_i, y_i, z_i) de masa m_i ii corespunde totdeauna un punct P_j (-x_i, -y_i, z_i) de aceasi masa m_i. Cum , rezulta x_C = 0, y_C = 0, deci centrul de masa se afla pe axa Oz.

Considerand ca sistemul admite originea sistemului de referinta O, ca centru de simetrie, din conditiile de simetrie rezulta ca oricarui punct P_i(x_i, y_i, z_i) de masa m_i ii corespunde intotdeauna un punct P_j(-x_i, -y_i, -z_i) de aceasi masa m_i. Cum momentele statice, , rezulta , , ,deci centrul de masa se afla in polul O.

2       Daca un sistem de puncte materiale (S) se compune dintr-un numar de p subsisteme (S₁), (S₂), ., (S_p), de mase M₁, M_2,., M_p si vectori de pozitie ai centrelor de masa , centrul de masa al sistemului (S) se obtine considerand masele sistemelor componente M_i, concentrate in centrele de masa, C_i (i = 1, 2, ., p)

(3.7)

Pentru demonstratie se tine seama ca, in baza relatiei (3.4), vectorii de pozitie ai centrelor maselor au expresiile:

(3.8)

Intrucat

(3.9)

relatiile (3.8) pot fi scrise astfel:

(3.10)

Vectorul de pozitie  al centrului maselor sistemului (S) este:

3.     Daca un sistem de puncte materiale (S) poate fi considerat ca provenind dintr-un sistem (S₁) din care s-a extras un sistem (S₂) si daca se cunosc masele M₁, M₂ si centrele de masa definite de vectorii de pozitie , atunci centrul de masa al sistemului (S) se poate obtine considerand ca masele M₁ si M₂ s-ar concentra in centrele de masa C₁ si C₂.

Vectorul de pozitie al centrului de masa C, al sistemului (S) are expresia:

(3.11)

Referitor la sistemele (S₁) si (S₂) putem scrie conform (3.9) si (3.10):

;

Pentru intreg sistemul se obtine:

Observatie. Proprietatile centrului de masa prezentate pentru sisteme de puncte materiale sunt valabile si in cazul sistemelor de corpuri omogene.