Miscarea oscilatorie

1 Oscilatorul armonic liniar (pendulul elastic)

Sub actiunea unei forte elastice un punct material de masa executa o miscare oscilatorie armonica. Un exemple simplu este deformarea unui arc (resort). Sa deducem ecuatia de miscare a unui corp punctiform de masa sb actiunea fortei elastice . In fig.2 in cazul resortului netensionat, cand forta elastica este zero. Corpul fiind scos din pozitia de echilibru si lasat apoi liber, asupra lui va actiona forta elastica datorata alungirii sau comprimarii resortului. Dependenta de timp a pozitiei corpului se obtine aplicand legea a doua a lui Newton:

; ,

de unde obtinem ecuatia diferentiala de miscare a oscilatorului armonic liniar:

. (2.49)

Ecuatia:

(2.50)

este o ecuatie diferentiala omogena cu coeficienti constanti, cu solutia generala:

, (2.51)

unde si sunt doua constante care se determina din conditiile initiale, iar si radacinile ecuatiei caracteristice:

(2.52)

Ecuatia (2.52) s-a obtinut prin introducerea solutiei (2.51) in ecuatia (2.50).

Ecuatia caracteristica a oscilatorului armonic liniar (2.49), este:

, (2.53)

cu solutiile:

, (2.54)

unde am folosit notatia . Marimea se numeste pulsatia proprie a oscilatorului armonic liniar. Aceasta depinde de constanta elastica a resortului si de masa a corpului, constituind o caracteristica fundamentala a oscilatorului elastic. Sensul acestei pulsatii este urmatorul: daca oscilatorul armonic liniar este scos din pozitia de echilibru si lasat liber, acesta poate oscila numai cu pulsatia lui proprie . In absenta frecarilor, pentru ca un oscilator armonic sa oscileze cu o pulsatie este necesar ca, pe langa forta elastica a arcului, asupra oscilatorului sa mai actioneze o forta exterioara periodica de pulsatie . Din punct de vedere dimensional pulsatia se masoara in unitatea :

Folosind solutia (2.54), unde , ecuatia (2.51) se va scrie:

(2.55)

Deoarece elongatia reprezinta o marime cu sens fizic (deplasarea fata de pozitia de echilibru), ea trebuie sa fie exprimata printr-un numar real. Acest lucru nu se poate realiza decat in conditiile in care constante le si sunt marimi complexe. Astfel, vom alege pentru cele doua constante forma analitica:

(2.56)

In aceste conditii, expresia (2.55) devine:

Utilizand relatiile lui Euler:

ecuatia de miscare a unui oscilator armonic liniar va avea forma:

(2.58)

Din (2.56) putem determina marimile si functie de si

Fiind solutia unei ecuatii diferentiale de gradul doi, (2.58) trebuie sa contina doua constante ce sunt determinate de pozitia initiala si de viteza initiala

(2.59)

Cu conditiile initiale si rezolvand sistemul acestor doua ecuatii determinam expresiile lui si

(2.60)

Se observa unele diferente esentiale intre marimile si pe de o parte, si pe de alta parte. In timp ce este o marime intrinseca ce caracterizeaza oscilatorul, depinzand de constanta elastica a resortului si de masa acestuia, si pot lua valori diferite pentru acelasi oscilator, in functie de conditiile initiale.

Semnificatia termenilor din relatia (2.58) este urmatoarea:

reprezinta elongatia miscarii oscilatorii, reprezentand deplasarea oscilatorului fata de pozitia de echilibru la un moment de timp

reprezinta amplitudinea miscarii oscilatorii, fiind distanta maxima a oscilatorului fata de pozitia sa de echilibru;

reprezinta faza miscarii oscilatorii, unde este faza initiala;

Se observa ca functia din (2.58) este periodica in timp. Perioada a miscarii poate fi dedusa din conditia , de unde se obtine:

iar rezulta expresia perioadei este

(2.61)

Eliminand timpul intre (2.58) si (2.59) deducem relatia dintre viteza si elongatie:

,

de unde rezulta

. (2.62)

Referitor la semnul vitezei putem spune ca in general acesta poate fi "+" sau "-", deoarece la o miscare oscilatorie armonica exista, pentru o elongatie data, doua pozitii ale corpului in care viteza are aceeasi valoare, dar sensuri opuse (fig.3, punctele si ). Din (2.62) se poate observa de asemenea ca pentru elongatia maxima se obtine , iar pentru elongatia zero viteza este maxima:

(2.63)

Acceleratia miscarii oscilatorii armonice liniare se obtine prin derivarea vitezei:

Relatia reprezinta definitia miscarii oscilatorii armonice si poate fi obtinuta direct din legea a doua a dinamicii:

De aici rezulta ca acceleratia este intotdeauna de sens opus elongatiei, avand valoarea zero cand oscilatorul trece prin pozitia de echilibru, si valoarea maxima in momentele in care oscilatorul se afla la distanta maxima fata de pozitia de echilibru. Valoarea maxima a acceleratiei este:

. (2.65)

In fig.3 se mai poate observa cum se poate obtine miscarea oscilatorie armonica liniara prin proiectarea pe una din axe a unei miscari circulare uniforme. Astfel, elongatia , viteza si acceleratia se obtin proiectand pe axa , la momentul , raza vectoare, viteza, si respectiv acceleratia normala a punctului ce executa miscarea circulara. Se obtin astfel ecuatiile de miscare sub forma:

(2.66)

unde este amplitudinea miscarii, iar viteza si acceleratia sunt:

(2.67)

(2.68)

Formulele (2.58), (2.59), (2.64), si respectiv (2.66), (2.67), (2.68) reprezinta aceleasi legi de miscare, singura deosebire fiind faptul ca in primele trei formule apare , iar in ultimele trei apare , in timp ce functiile sinus si cosinus se inverseaza intre ele.

Exemplul 3.

La momentele si , valorile corespunzatoare ale elongatiilor si ale unui oscilator liniar armonic sunt legate intre ele prin relatia . Sa se determine valoarea minima a frecventei oscilatorului, daca in momentul initial acesta se afla in pozitia de echilibru, iar

Rezolvare

Ecuatia de miscare a oscilatorului este , iar din conditia problemei se obtine ecuatia trigonometrica

.

Rezolvand ecuatia obtinem, pentru , , respectiv .

Exemplul 4

Sa se determine amplitudinea, faza initiala si pulsatia proprie a unui oscilator armonic liniar, cunoscand conditiile initiale: si la momentul

Particularizand expresiile lui , si din ecuatiile de miscare: , si la momentul , obtinem sistemul de trei ecuatii cu trei necunoscute

Din ultima ecuatie se obtine direct , iar din primele doua obtinem, prin rezolvarea sistemului:

2 Energia oscilatorului armonic liniar

Energia oscilatorului armonic liniar (pendulul elastic) se compune din energia cinetica a punctului material si energia potentiala a resortului de care acesta este prins, . Cu si obtinem , respectiv . Valoarea maxima a lui este se atinge la trecerea prin pozitia de echilibru , iar a lui in pozitia de elongatie maxima Energia totala a oscilatorului armonic liniar va fi:

(2.69)

Acest rezultat reprezinta conservarea energiei oscilatorului armonic in timpul miscarii. Din (2.69) rezulta de asemenea ca , adica in procesul de oscilatie energia cinetica a oscilatorului trece continuu in energie potentiala si invers, suma lor ramanand constanta in fiecare moment (fig.4).

3 Pendulul elastic in camp gravitational

Presupunem un resort de constanta elastica in pozitie verticala, fixat la capatul de sus. Sa stabilim ecuatia de miscare a unui corp de masa , care se fixeaza la momentul de capatul liber al resortului (fig.5). Asupra corpului actioneaza greutatea , si deci la momentul corpul incepe sa cada cu acceleratia . Deoarece in acest moment in resort nu s-a creat inca o forta elastica care sa se opuna greutatii, corpul tinde sa coboare accelerat. Pe masura ce corpul se indeparteaza de nivelul (resortul nedeformat) alungirea resortului incepe sa creasca, si o data cu aceasta va creste si forta elastica, care este de sens opus greutatii. Pe masura ce resortul se deformeaza forta elastica care se opune greutatii creste, ajungand intr-o pozitie in care forta elastica este egala si de sens contrar cu greutatea (). Deoarece pe distanta corpul s-a deplasat accelerat, el are in punctul o viteza maxima si nu se opreste in acel punct, continuand sa se deplaseze incetinit pana in punctul de oprire . Deoarece forta elastica in punctul devine dublul greutatatii , corpul se va misca accelerat din in , apoi din nou incetinit din in . In aceste conditii corpul va oscila in jurul punctului cu amplitudinea , care se obtine din conditia:

(2.70)

Ecuatia de miscare a oscilatorului este, dupa formula generala,

unde si , astfel ca ecuatia de miscare devine:

(2.71)

Faza initiala poate fi determinata din conditiile initiale si este functie de sensul de orientare al axei . Daca axa este orientata in jos, atunci la si in consecinta , de unde si (fig.5). Daca axa este orientata in sus, atunci pentru , de unde si .

4 Pendulul matematic (gravitational)

Pendulul gravitational reprezinta un corp punctiform de masa , suspendat de un punct fix printr-un fir inextensibil de lungime si greutate neglijabila. Pozitia de echilibru a pendulului gravitational este cu firul in pozitie verticala. Daca firul este scos din pozitia de echilibru, pentru unghiuri mici cu verticala (), asupra corpului va actiona o forta cuasielastica care tinde sa-l aduca in pozitia de echilibru prin executarea de oscilatii in jurul acestei pozitii. Forta cuasielastica nu este de natura elastica, insa in anumite conditii satisface cerintele impuse asupra fortei elastice. Pentru unghiuri mici fata de verticala putem aproxima traiectoria punctului material cu o dreapta paralela cu axa , si putem scrie cu buna aproximatie pentru o deplasare fata de pozitia de echilibru relatiile (fig.6):

Se ajunge astfel la concluzia ca daca unghiul firului cu verticala in timpul miscarii este suficient de mic, forta tangentiala care cauta sa readuca pendulul in pozitia de echilibru este proportionala cu distanta fata de aceasta pozitie, adica forta tangentiala are aceeasi proprietate ca si o forta elastica. Astfel de forte cu actiune analoga fortei elastice se numesc forte cuasielastice. Astfel, pendulul gravitational poate fi privit ca un pendul elastic asupra caruia actioneaza un resort cu constanta elastica , avand pulsatia proprie

(2.73)

si perioada:

(2.74)

Comparand datele de la pendulul elastic si gravitational, in tabelul 1 se face o analogie interesanta a formulelor pentru pulsatia proprie, perioada si frecventa. In fine, din formula (2.74) rezulta cele 4 legi ale pendulului gravitational, stabilite de Galilei pe cale experimentala:

nu depinde de nu depinde de (legea izocronismului micilor oscilatii).

Tabelul 1. Analogia dintre pendulul elastic si pendulul gravitational

5 Compunerea oscilatiilor paralele de aceeasi pulsatie

In unele cazuri un corp de masa este supus concomitent actiunii a doua sau mai multor forte elastice. Miscarea acestui corp este rezultanta miscarilor oscilatorii individuale pe care le-ar efectua corpul sub actiunea fiecarei forte elastice in parte. Sa presupunem ca sub actiunea fortelor elastice si corpul executa separat miscarile oscilatorii (2.75) si (2.76)

, (2.75)

Cele doua forte actionand concomitent (simultan) asupra punctului material, acesta va executa o miscare, de asemenea oscilatorie armonica, data de formula:

(2.77)

Problema compunerii miscarilor oscilatorii se rezolva exprimand marimile si functie de si . Cea mai buna metoda este bazata pe reprezentarea fazoriala a miscarii oscilatorii (fig.7). Marimea (2.77) poate fi reprezentata printr-un vector de lungime , care la momentul face cu axa unghiul . Daca acest vector se roteste in jurul punctului cu viteza unghiulara constanta , proiectiile varfului sau pe axele si executa miscari oscilatorii.

;

.

In fig.8 se reprezinta sub forma fazoriala miscarile (2.75) si (2.76), prin compunerea carora vom obtine miscarea rezultanta (2.77). Proiectand relatia vectoriala pe cele doua axe, obtinem sistemul de ecuatii:

Prin impartirea ecuatiilor (2.78) obtinem:

(2.79)

Ridicand la patrat ecuatiile (2.78) si adunandu-le, obtinem:

(2.80)

Se observa ca amplitudinea rezultanta depinde atat de amplitudinile si , cat si de diferenta dintre fazele initiale

Se disting urmatoarele cazuri particulare:

a) . In acest caz oscilatiile sunt in faza, si prin compunerea lor se obtine pentru miscarea oscilatorie rezultanta amplitudinea maxima.

b) , unde . In acest caz se spune ca oscilatiile sunt in cuadratura.

c) . Oscilatiile sunt in opozitie de faza si amplitudinea rezultanta este minima (daca, rezulta ). Astfel, prin compunerea a doua oscilatii in opozitie de faza se obtine repaus, adica miscarile oscilatorii se anihileaza reciproc. Asest caz prezinta un interes tehnic special, fiind singura posibilitate de inlaturare a unor vibratii nedorite.

Metoda reprezentarii fazoriale a miscarii oscilatorii permite generalizarea rezultatelor de la compunerea a doua oscilatii la compunerea mai multor oscilatii. Astfel, pentru compunerea a trei unde formulele amplitudinii si fazei initiale a oscilatiei rezultante (2.79) si (2.80) devin:

6 Compunerea oscilatiilor perpendiculare de aceeasi pulsatie

Sa consideram un punct material supus concomitent actiunii a doua forte elastice actionand pe directii perpendiculare. Sub actiunea acestor forte punctul material va efectua doua miscari oscilatorii de aceeasi pulsatie, insa cu faze initiale diferite. Alegand pentru cele doua directii perpendiculare axele si , ecuatiile celor doua miscari oscilatorii vor fi:

Ecuatia traiectoriei punctului supus simultan actiunii celor doua forte elastice se deduce eliminand timpul intre ecuatiile (2.83). Rescriem ecuatiile sub forma:

(2.84)

Din sistemul (2.84) obtinem expresiile lui si sub forma:

(2.85)

Vom nota cu diferenta dintre fazele initiale ale celor doua oscilatii.

Pentru a elimina timpul intre ecuatiile (2.83) ridicam la patrat expresiile (2.85), apoi le adunam folosind identitatea trigonometrica

si printr-un calcul trigonometric simplu se obtine:

(2.86)

Relatia (2.86) reprezinta ecuatia unei elipse cuprinsa intr-un dreptunghi de laturi si (fig.9). Se remarca urmatoarele cazuri particulare:

a) , unde este un numar intreg, si ecuatia (2.86) devine:

(2.87)

Reprezintand o elipsa cu axa mare si axa mica , iar axele de coordonate si axe principale ale elipsei (fig.10).

b) ; in acest caz obtinem din ecuatia (2.86):

daca este impar, respectiv daca este par.

Astfel, elipsa degenereaza intr-o dreapta (fig.11).

In general, putem spune ca un punct material supus concomitent la doua miscari oscilatorii de aceeasi pulsatie, ce au loc pe doua directii perpendiculare, se va deplasa pe o traiectorie eliptica. Sensul miscarii pe elipsa se poate determina in functie de diferenta de faza dintre cele doua miscari oscilatorii. Acest subiect are aplicatii in mai multe domenii ale fizicii, printre care si in optica, la polarizarea undelor electromagnetice.

Pentru a determina unghiul dintre axa mare a elipsei si axa din fig.9 efectuam o rotatie de unghi a sistemului de coordonate . Apoi deducem relatiile dintre acestea si coordonatele sistemului rotit (fig.12) pentru un punct oarecare M. In relatiile ce urmeaza vom renunta la indicele M.

(2.88)

Din (2.88) determinam pe si in functie de si si obtinem:

Introducem (2.89) in (2.86), obtinand ecuatia elipsei in coordonate , caz in care semiaxa mare, respectiv semiaxa mica, vor coincide cu directia axei de coordonate rotite , respectiv . In noua forma a ecuatiei elipsei, termenul care contine produsul va fi:

Anulam coeficientul termenului care contine produsul si obtinem:

care se poate scrie mai simplu sub forma

(2.90)

Exemplul 5

Un corp punctiform efectueaza simultan doua miscari oscilatorii pe doua axe perpendiculare Ox si Oy, cu ecuatiile , respectiv . Daca rad/s, sa se determine valorile vitezei si acceleratiei corpului la momentul ( este perioada de oscilatie).

Rezolvare

Din si rezulta:

Din si rezulta:

Identificand expresia analitica a produsului scalar dintre vectorii viteza si acceleratie:

cu formula de definitie a produsului scalar:

,

se obtine:

La momentul si pentru se obtine , si astfel unghiul dinttre viteza si acceleratie va fi:

.

7 Miscarea oscilatorie amortizata

In general, un punct material asupra caruia actioneaza o forta elastica intampina in miscarea sa rezistenta mediului, prin actiunea unei forte de frecare. Forma analitica a fortei de frecare este greu de dedus in cazul general. Daca insa consideram forta de frecare proportionala cu viteza corpului si orientata in sens opus miscarii, vom obtine rezultate in buna concordanta cu experimentele. In aceste conditii legea a doua a dinamicii se scrie astfel:

unde

(2.92)

si este o marime strict pozitiva. Inlocuind (2.92) in (2.91) se obtine:

(2.93)

Introducem notatia

(2.94)

unde se numeste coeficient de amortizare. Din (2.93) obtinem:

(2.95)

Cautam solutia ecuatiei (2.95) sub forma:

(2.96)

unde este o constanta. Introducem expresia (2.96) si derivatele si in (2.95), obtinand ecuatia caracteristica:

, (2.97)

cu radacinile

.       (2.98)

Pentru a avea o miscare oscilatorie, radacinile si trebuie sa fie numere imaginare, deoarece numai in acest caz miscarea este limitata in spatiu. Aceasta cerinta este satisfacuta numai cand coeficientul de amortizare este mai mic decat pulsatia proprie , caz in care putem scrie

                       (2.99)

Solutia generala a ecuatiei diferentiale (2.95) devine astfel:

       (2.100)

Solutia generala a unei ecuatii diferentiale de gradul doi contine doua constante de integrare. Elongatia miscarii oscilatorii fiind o marime reala, cele doua constante si trebuie sa fie numere complexe. Pentru doua numere complexe exista doua numere reale si astfel ca sa fie indeplinite relatiile:

                          (2.101)

Cu aceste notatii solutia (2.100) poate fi scrisa sub forma:

(2.102)

Folosind relatiile lui Euler (2.57) se obtine legea de miscare a punctului material supus unei forte elastice, cat si fortei de frecare:

(2.103)

unde

                               

reprezinta pulsatia miscarii amortizate.

Prezenta amortizarii conduce la urmatoarele doua efecte importante:

- pulsatia miscarii amortizate este intotdeauna mai mica decat cea a miscarii neamortizate, si depinde de valoarea coeficientului de amortizare

- amplitudinea miscarii, si deci energia oscilatorului, scad exponential in timp, pana cand in final corpul se opreste.

In fig.13, respectiv 14, se reprezinta elongatia unei miscari oscilatorii armonice fara amortizare, respectiv cu amortizare. Prezenta amortizarii conduce la scaderea amplitudinii, si deci in final la incetarea miscarii oscilatorului. Se observa din (2.103) ca dupa un interval de timp , denumit durata de relaxare a oscilatiei amortizate, amplitudinea miscarii oscilatorii scade de '' ori, iar energia oscilatorului de '' ori. In general o miscare oscilatorie armonica amortizata este caracterizata prin decrementul logaritmic :

(2.105)

care se mai poate scrie si sub forma:

                     (2.106)

De aici rezulta semnificatia fizica a decrementului logaritmic: inversul decrementului logaritmic reprezinta numarul de oscilatii complete efectuate de oscilator in intervalul de timp in care amplitudinea scade de '' ori.

Miscarea oscilatorie armonica este un caz particular al miscarii oscilatorii amortizate in cazul limita , cand din relatia (2.103) obtinem ecuatia de miscare a oscilatorului armonic . La oscilatorul armonic amplitudinea este constanta, iar energia se conserva in timp:

Pentru ca un punct material sa poata efectua miscari oscilatorii fiind supus unor forte de frecare (amortizare), este necesar ca asupra sa sa actioneze o forta exterioara periodica (excitator), adica oscilatiile sa fie intretinute sau fortate. Rolul fortei exterioare de intretinere este acela de a suplini, prin lucrul mecanic efectuat, pierderile de energie datorate amortizarii. Este foarte important momentul si sensul in care in care actioneaza periodic forta de intretinere. Transferul de energie de la excitator la sistemul excitat, care se face in fiecare perioada a excitatorului, este maxim cand pulsatia excitatorului este apropiata de pulsatia proprie a sistemului excitat. Procesul selectiv de transfer de energie intre doua sisteme fizice se numeste rezonanta.

Exemplul 6

Sa se determine decrementul logaritmic al miscarii amortizate pentru un oscilator cu frecventa proprie , daca frecventa miscarii amortizate este .

Rezolvare

Din relatiile cunoscute rezulta:

.

8 Miscarea oscilatorie intretinuta

Energia unui oscilator fiind proportionala cu patratul amplitudinii, prezenta fortelor de frecare la un oscilator amortizat conduce la scaderea energiei medii in timp dupa legea:

(2.107)

Pentru a mentine constanta energia oscilatorului, energia pierduta trebuie recuperata prin actiunea unei forte periodice , pe care pentru simplitate o vom presupune de forma:

(2.108)

Daca asupra punctului material din fig.2 actioneaza forta elastica , forta de franare si forta exterioara de intretinere , ecuatia diferentiala a miscarii oscilatorului va fi :

(2.109)

Introducand expresiile fortelor si impartind la , obtinem ecuatia diferentiala de gradul al doilea, neomogena si cu coeficienti constanti:

(2.110)

Solutia acestei ecuatii este suma dintre solutia ecuatiei omogene (2.103) si o expresie de forma termenului liber . Datorita scaderii exponentiale a amplitudinii in timp, solutia ecuatiei omogene devine neglijabila dupa timpul , si se cauta pentru ecuatia diferentiala (2.110) o solutie de forma:

, (2.111)

unde nu depinde de timp si se determina introducand (2.111), ca si derivatele , in ecuatia (2.110):

Aceasta expresie mai poate fi scrisa sub forma :

(2.112)

Pe baza formulelor (2.57) se obtine:

,

de unde rezulta:

(2.113)

Solutia ecuatiei diferentiale (2.110) devine astfel:

         (2.114)

Se poate observa usor in fig. 15 ca intre elongatia si forta exterioara apare o diferenta de faza , cu valori cuprinse intre si .

Amplitudinea miscarii este data de expresia:

, (2.115)

si prezinta un maximum pentru pulsatia (pulsatia de rezonanta, care se obtine din conditia ca termenul de la numitor sa fie minim):

(2.116)

Pulsatia la rezonanta nu este egala cu pulsatia proprie a sistemului, ci depinde de coeficientul de amortizare .

In fig.16 este indicata aproximativ dependenta , pentru valori diferite ale parametrului . Introducand (2.116) in (2.115) obtinem amplitudinea la rezonanta :

  (2.117)

Se observa ca amplitudinea la rezonanta este cu atat mai mare cu cat coeficientul de amortizare este mai mic. Fenomenul de rezonanta are aplicatii multiple in stiinta si tehnica, fiind in unele cazuri deosebit de util, iar in alte cazuri daunator.

Exemplul 7

Sa aratam cum se determina pulsatia de rezonanta a unui oscilator intretinut, daca pentrua doua pulsatii si amplitudinea oscilatiilor are aceeasi valoare.

Rezolvare

Folosind (2.115), din conditia obtinem:

,

Rezolvand ecuatia, obtinem dupa calcule simple:

,

Tinand cont de (2.116) se obtine

.

Bibliografie

1. Murray R. Spiegel. Schaum's outline of Theory and Problems of Theoretical Mechanics McGraw-Hill Book Company, New York,

2. David Halliday and Robert Resnick. Fizica vol.I, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1975.

3. Frank S. Crawford, Jr. Cursul de Fizica Berkeley. Unde. vol.III, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983.

4. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton and Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics vol.I, Definitive edition, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, 2006.

I. Irodov, I. Saveliev et O Zamcha. Recueuil de Problèmes de Physique Générale. Édition MIR, Moscou, 1976.

6. Traian I. Cretu. Fizica Generala vol.I. Editura Tehnica, Bucuresti, 1986.

7. Dan G. Siposen. Culegere de probleme de fizica. Editura Academiei Tehnice Militare, Bucuresti, 1999.