UNIVERSITATEA DE STIINTE AGRICOLE SI MEDICINA VETERINARA

FACULTATEA DE AGRICULTURA

SPECIALIZAREA TPPA - IDD

FENOMENE DE TRANSFER

1.ANALIZA DIMENSIONALA SI SIMILITUDINE

1.1. Analiza dimensionala

Analiza dimensionala este ansamblul de consideratii si metode pentru tratarea unor elemente de inginerie cu ajutorul formulelor dimensionale ale marimilor fizice. Expresia prin care o marime fizica se exprima in functie de marimile unitatilor fundamentale se numeste ecuatie de dimensiuni. Pentru scrierea ecuatiilor de dimensiuni, se utilizeaza sistemul international de unitati (S.I.), considerand cele patru marimi exprimate in unitati fundamentale: lungimea L (m), masa M (kg), timpul T (s) si temperatura q (K).

Cu ajutorul analizei dimensionale se poate:

a)      verifica corectitudinea unor relatii prin intocmirea parametrilor care intervin in ecuatie cu ecuatiile lor de dimensiuni. Se ajunge la expresia :

;

b)      deduce ecuatia de dimensiuni a factorilor sau constantelor numerice care intervin in relatii :

daca :,

atunci :

c)      stabili valoarea numerica a factorului N de trecere a unei marimi de la o unitate de masura la alta : daca exprimam marimea c in doua sisteme:

si ,

atunci c =Nc si

Un fenomen sau un proces poate fi descris printr-o functie nedeterminata cu m parametri: F =  f (w, l, p, r, .), care poate fi adusa la forma unei ecuatii de n parametri nedimensionali independenti:

j = (N₁, N₂, ., N_m) = const.

Numarul n de parametri independenti care trebuie sa fie continuti in functia j in cazul unui fenomen descris prin functia generala F, depinde de numarul m si de numarul de marimi fundamentale u care intra in ecuatiile de definitie a celor n parametri conform relatiei :

n = m - u;

In concluzie, prin analiza dimensionala, plecand de la o functie nedeterminata se poate ajunge la o descriere matematica a fenomenului studiat, data sub forma de parametrii adimensionali independenti (criterii de similitudine) formati din marimile care influenteaza fenomenul studiat, reducandu-se mult partea experimentala, care ar determina valorile numerice ale exponentilor si constantelor ecuatiei.

1.2.Similitudinea

Similitudinea stabileste relatiile dintre sistemele fizice de diverse marimi, in scopul punerii la scara mai mica sau mai mare a proceselor fizice si chimice, fiind un principiu enuntat prima data de Newton.

Obiectele materiale si sistemele fizice se caracterizeaza prin: marime, forma si compozitie. Fenomenele similare trebuie sa indeplineasca conditiile:

a)         Similitudine geometrica (conform asemanarii din geometrie). Astfel pentru doua figuri geometrice asemenea, raportul laturilor omoloage sa fie constant, iar unghiurile egale:

in care c_L reprezinta constanta de similitudine a lungimilor;

Pentru suprafete :

Pentru volume:

b)        Similitudinea fizica este aplicabila fenomenelor sau marimilor fizice de aceeasi natura; raportul marimilor fizice a doua particule cu asezarea asemenea, trebuind sa fie constant:

in care U, U₁, U_n, U^', U₁^', U_n^', fiind valorile marimilor fizice in punctele similare de pe cele doua corpuri, c_n este constanta de similitudine fizica a marimii respective. Marimile fizice pot avea valori diferite in puncte diferite a unui sistem, fiind necesara pentru asemanarea sistemelor, similitudinea de timp care presupune ca punctele asemenea se deplaseaza pe traiectorii geometrice asemenea in intervale de timp al caror raport este constant:

in care t t t_n, t_n reprezinta intervalele de timp iar C_t constanta de similitudine dinamica.

c)         Similitudinea conditiilor marginale sau la limita, care inseamna indeplinirea conditiilor amintite in starea initiala si finala a celor doua sisteme. Daca :

atunci este valabil si raportul:

unde constanta i_L exprima invariantul de similitudine.

Daca invariantii de similitudine sunt rapoarte nedimensionale a marimilor de aceeasi natura atunci se numesc simplecsi, iar daca difera ca natura dar respecta conditia de nedimensionalitate, poarta denumirea de multiplecsi sau criterii de similitudine.

1.3.Teoremele similitudinii

Similitudinea si aplicarea ei in practica se bazeaza pe urmatoarele teoreme:

a)         Teorema enuntata de Newton: " Fenomenele asemenea au aceleasi criterii de similitudine si criteriile de similitudine au aceeasi valoare" - stabileste legatura intre fenomenele asemenea, dand posibilitatea deducerii de criterii de similitudine din ecuatiile care descriu diferite fenomene.

b)        Teorema enuntata de Buckinghamm: "Orice functie care caracterizeaza un fenomen oarecare poate fi prezentata ca functie de criterii de similitudine" - permit e transformarea ecuatiilor diferentiale in ecuatii criteriale si astfel da posibilitatea reprezentarii solutiei integrale a ecuatiilor diferentiale printr-o relatie de criterii de similitudine.

c)         Teorema formulata de Kirpicev-Guhman: "pentru ca doua fenomene sa fie asemenea, este necesar si suficient ca ele sa fie calitativ identice, iar criteriile de similitudine determinate, corespunzatoare, sa aiba aceeasi valoare numerica".

1.4.Modelare; modele.

Fenomenele pot fi studiate atat teoretic cat si experimental pe instalatii in marime naturala sau pe instalatii mai mici denumite modele. Studiul realizarii modelelor si conducerii experientelor se incadreaza in operatia de modelare.

Caile de urmat in modelare si studiul pe modele sunt:

-analiza teoretica a fenomenului de studiat si gasirea modelului matematic care-l descrie, urmata de analiza criteriilor de similitudine;

-stabilirea conditiilor de similitudine intre utilajul industrial si modelul de laborator, fenomenul reprodus in cele doua instalatii sa aiba aceeasi natura, conditiile la limita sa fie identice si sa se realizeze similitudinea completa.

2.BILANTURI

2.1.Bilantul materialelor

Determinarea consumurilor de materii prime si a capacitatilor de lucru a masinilor si instalatiilor din fluxul tehnologic de fabricatie se realizeaza cu ajutorul bilantului de materiale ca expresie a principiului conservarii materiei, definit prin relatia:

,

in care:

M_ex - materialele existente; M_i - materialele introduse; M_r - materialele ramase; M_ie - materialele iesite; M_p - pierderi.

Toti termenii relatiei sunt exprimati in cantitati masice in procesele discontiune si debite masice pentru procesele continue.

Bilantul partial se refera la un component continut in materialele care intervin in procesul de fabricatie.

Bilantul total sau general se numeste cazul considerarii tuturor materialelor ce participa la procesul de fabricatie.

Se numeste acumulare M :

care se poate realiza in regimul nestationar, iar pentru regimul stationar M = 0, deci :

Pentru intocmirea unui bilant de materiale trebuie precizate : locul la care se refera (partea instalatie), materialele si caracteristicile acestora si durata pentru care se intocmeste (pentru procesele discontinue - durata elaborarii unei sarje).

2.2.Bilantul caloric- prin bilantul caloric se determina consumul de energie calorica, consumul specific, consumul de agenti purtatori de caldura si pierderile de caldura.

Bilantul caloric se defineste prin relatia de conservare a energiei:

Q_e + Q_i = Q_ie + Q_r + Q_p,

in care Q_e - caldura existenta in sistem; Q_i - caldura intrata; Q_ie - caldura iesita; Q_r - caldura ramasa si Q_p - caldura pierduta;

Formele sub care se introduc energiile calorice in ecuatia bilantului caloric pot fi:

-caldura sensibila, care modifica starea termica fara a modifica starea fizica:

Q = M c t,

in care M - masa substantei, c - caldura masica medie, t - temperatura la care se determina continutul de energie calorica.

-caldura latenta care modifica numai starea fizica fara a modifica starea termica a corpurilor:

Q = M L,

in care L - caldura latenta de topire sau dupa caz de vaporizare.

-cazul in care intervin atat caldura latenta cat si sensibila:

Q = M i,

in care : i = Sc dt + SL reprezinta entalpia substantei.

Pentru abur, ca cel mai important purtator de caldura, in procesele industriale, la calculul entalpiei se foloseste relatia:

i^'' = i^' + r = c_pm t + r,

in care: i^'' - entalpia aburului saturat umed, i^' = c_pm t este entalpia apei la temperatura de fierbere; c_pm - caldura masica media a apei la starea standard; t - temperatura de fierbere a apei; r - caldura de vaporizare la t si presiunea corespunzatoare.

Pentru aburul umed, entalpia i_u^'' se determina cu relatia :

i_u^''= i^' + c r = i^'' - (1-c r,

in care c - procentul de faza care se gaseste in stare de vapori.

2.3.Bilantul energetic

Bilantul energetic urmareste principiul conservarii energiei si se defineste prin relatia:

in care E_e - energia existenta, E_i - energia intrata, E_ie - energia iesita, E_r - energia ramasa, E_p - energia pierduta.

Tipurile de energii pentru o cantitate de masa M care pot interveni intr-un bilant energetic sunt:

energia potentiala E_p la intrarea respectiv iesirea din sistem : E_p=M g h,

in care h - inaltimea de referinta;

energia cinetica

E_c = M w²/2,

in care w - viteza de miscare a corpului de masa M;

lucrul exterior L_e reprezinta lucrul efectuat de mediul exterior pentru a se introduce fluidul in sistem sau pentru evacuarea acestuia contra presiunii mediului exterior (p), definit de relatia:

in care V- volumul; V^l - volumul specific.

energia interna U care reprezinta proprietatea intrinseca a corpurilor:

U = M u,

in care u - energia interna specifica;

lucrul mecanic L_m introdus in sistem printr-o pompa sau alt element de miscare:

L_m = M W,

in care W - lucrul mecanic unitar.

energia calorica L_cal introdusa sau evacuata in exterior :

L_cal = M q.

Pentru a defini corect bilantul energetic in functie de energiile care intervin este necesara precizarea:

sistemului cu specificarea starilor initiale si finale si a tipurilor de energii care se introduc sau se elimina din sistem;

planului de referinta fata de care se iau in considerare tipurile de energii.

In mecanica fluidelor, ecuatia lui Bernoulli pentru transportul fluidelor este o ecuatie de bilant energetic:

in care h₁,h₂- inaltimile punctelor de intrare si iesire a fluidului fata de planul de referinta; w₁, w₂ - vitezele de intrare respectiv iesire; p₁, p₂ - presiunile la intrare respectiv iesirea din conducta; r r - densitatile ; W - energia de presiune introdusa de pompa; f - energia pierduta prin frecare; s-a considerat procesul izoterm, deci q=0 (q - energia caloricǎ introdusǎ sau evacuatǎ in exterior).

Ecuatia lui Bernoulli poate fi particularizata:

a)      ecuatia bilantului energetic pentru fluide in repaos:

h₁ + p₁/g = h₂ +p₂/g r g = g

si presiunea hidrostatica pe fundul vasului deschis:

p₂ = p₁ + h g

respectiv principiul vaselor comunicante:

h₁/h₂ = g g

b)      cazul curgerii prin conducte inclinate cu acelasi diametru la intrare si iesire:

h₁ -h₂ = f.

c)      cazul curgerii lichidelor la presiune constanta fara energie mecanica din exterior (cand sectiunea la intrare si iesire difera):

la curgerea prin orificii de la baza unui vas:

w= 2gh (formula lui Toricelli).

3.TRANSFERUL CANTITATII DE MISCARE

Transferul de impuls intervine in efectuarea proceselor tehnologice in care sunt deplasate fluide.

3.1.Transferul cantitatii de miscare intr-o singura directie

Intr-un fluid newtonian, forta F care se exercita asupra fluidului, conform legii lui Newton este exprimata cu relatia:

in care : F - forta tangentiala intre straturile de suprafata A care se deplaseaza cu un gradient de viteza dw/dl pe distanta l, u - vascozitatea cinematica; d ( r w) -gradient de cantitate de miscare.

Forta legata de timp t si de cantitatea de miscare (M w), este descrisǎ de alta ecuatie a lui Newton:

Egaland cele doua expresii se obtine:

,

in care n - vascozitatea cinematica este numita si coeficientul de transfer de impuls.

3.2.Transferul de impuls in cazul fluidelor ideale. Curgerea izoterma si regimul stationar

Fluidul ideal are compresibilitatea, dilatarea termica si frecarea interna egala cu zero.

Curgerea izoterma presupune lipsa pierderilor de energie, temperatura fiind constanta. Regimul de curgere stationar se considera la presiune constanta.

Ecuatia continuitatii la curgerea izoterma in regim stationar este redata prin relatia:

M₁ = M₂ = . = M_n = const. ,

in care M₁.M_n fiind debitele masice in sectiunile de arie A₁.A_n ale unei conducte sau :

w₁ A₁ = w₂ A₂ = . w_n A_n = const.,

in care w₁.w_n - vitezele in sectiunile corespunzatoare.

Fig.3.1.Element pentru deducerea ecuatiei  continuitǎtii

Delimitam un volum elementar dV = dx dy dz dintr-un curent de fluid ideal raportat la un sistem de axe ortogonal Oxyz.

Fig.3.2 Volum elementar de fluid

Daca aplicam o forta F_x in directia axei Ox asupra volumului elementar, acesta provoaca o variatie de impuls:

Presiunea p exercitata pe abscisa x in sensul axei OX face ca pe fata dydz sa apara o presiune p + ( p/ x)dx. Daca nu exista forte exterioare, forta rezultanta :

,

si in mod analog,

,

pentru axa Oz se ia in considerare si actiunea gravitatiei:

,

iar ultimele trei ecuatii reprezinta ecuatiile diferentiale la curgerea fluidului ideal (ecuatiile lui Euler). Aceste ecuatii devin:

si prin integrarea lor se ajunge la expresia presiunii hidrodinamice:

in care presiune dinamica, z = h -presiune geometrica, presiune statica (piezometrica).

3.3. Transferul impulsului in curgerea izoterma la fluide vascoase newtoniene

In aceste conditii, pe langa fortele de presiune si gravitationale intervin si fortele de frecare interna datorate vascozitatii si fortele de inertie care actioneaza asupra fluidului in miscare. Astfel gradientul cantitatii de miscare (de impuls) se modifica la valoarea: . Prin introducerea corectiilor, in ecuatiile lui Euler se ajunge la ecuatiile lui Navier-Stockes. Pentru axa Ox, ecuatia va avea forma:

sau :

,

in care se numeste operatorul lui Laplace pentru viteza.

Ecuatiile lui Navier-Stockes permit prin aplicarea similitudinii sa se stabileasca conditiile pentru similitudinea hidrodinamica.

3.4.Similitudinea hidrodinamica

Aplicand teorema a 2-a a similitudinii, inmultind fiecare termen al ecuatiei lui Navier-Stockes cu constanta sa de similitudine se ajunge la o ecuatie criteriala care caracterizeaza similitudinea hidrodinamica si la functia de constante de similitudine:

Inlocuind constantele de similitudine cu valoarea rapoartelor de marimi corespunzatoare, se obtin ecuatiile de definitie ale criteriilor care caracterizeaza similitudinea hidrodinamica:

a)      criteriul de homocromicitate, care tine seama de timp la curgerea in regim nestationar:

H₀ = (W^' t)/L;

b)      criteriul lui Euler ia in considerare influenta presiunii in probleme de curgere :

E_u =p/r v²,

iar E_u =Dp/r v² reprezinta raportul intre diferentele de presiune intre 2 puncte si fortele de inertie.

c)      ecuatia de definitie a criteriului lui Froude (reprezinta raportul intre energia cinetica si potentiala dintre fortele de inertie si fortele de gravitatie:

F_r = v²/g l;

d)      criteriul lui Reynolds, care poate fi considerat ca raportul intre energia cinetica si fortele de frecare sau ca raportul dintre fortele de inertie si fortele de vascozitate:

R_e = (w l)/n

pentru valori mari ale lui R_e sunt importante fortele de inertie; pentru R_e = 1 sunt egale fortele de vascozitate, sunt egale cu fortele de inertie;

Criteriul Reynolds este considerat criteriul care caracterizeaza curgerea fluidelor :

j (R_e)=0.

Tinand seama de ecuatiile de definitie ale criteriilor care caracterizeaza similitudinea hidrodinamica, functia de constante de similitudine poate fi redata ca relatie criteriala:

j (Ho, E_u ,F_r , R_e)=0,

care reprezinta cea mai generala forma a ecuatiei criteriale ce caracterizeaza curgerea izoterma in regim nestationar a fluidelor si caracterizeza similitudinea hidrodinamica.

Daca se studiaza curgerea izoterma in regim stationar, se elimina H_o care caracterizeza curgerea in regim nestationar:

j (E_u ,F_r , R_e)=0.

La curgerea izoterma in regim stationar al fluidelor ideale, neexistand frecare, si R_e se elimina, deci :

j (E_u ,F_r )=0.

4.CURGEREA FLUIDELOR

4.1.Notiuni generale de curgere a fluidelor

Transportul fluidelor se face prin conducte sau canale deschise, deplasarea acestora fiind posibila prin pompare sau datorita diferentelor de nivel intre intrarea si iesirea din retea la curgerea libera.

Miscarea fluidelor depinde de mai multe elemente:

debitul momentan Q_M se defineste ca limita raportului intre cantitatea de fluid DM si durata Dt, pentru DtÞ

Curgerea se realizeaza in regim stationar pentru un debit constant in timp sau nestationar pentru debite variabile in timp;

viteza particulelor de fluid difera in diferite puncte din sectiunea conductei, fiind nula la perete si maxima in lungul axei acesteia.

4.2.Regimuri de curgere

Curgerea laminara in care particulele de fluid se deplaseaza pe traiectorii drepte si paralele intre ele. Curgerea turbulenta apare cand particulele au miscare dezordonata dupa traiectorii intortocheate, existand componente transversale in directia de curgere datorate schimbarilor de sectiune, de directie sau asperitatilor de pe peretii conductei.

Viteza limita la care inceteaza curgerea turbulenta se numeste viteza critica W_cr si este definita in functie de diametrul conductei si natura fluidului.

Experimental s-a demonstrat ca se mentine regimul de curgere laminara pentru R_e £ 2300. Astfel R_e = 2300 =( W_cr d_e)/n, de unde W_cr = (2300 n)/d_e in care d_e - diametrul echivalent al sectiunii (d_e = 4 A_u/P_u = 4r_h); A_u - aria udata, P_u - perimetrul udat, r_h - raza hidraulica.

La gaze, curgerea laminara cand particulele nu se ciocnesc intre ele, parcurg traiectorii paralele si poarta denumirea de curgere moleculara si se mentin atata timp cat valoarea p d<

4.3.Stratul limita

In curgerea laminara, valoarea vitezelor locale se repartizeza dupa un paraboloid, viteza fiind nula in zona contactului cu peretii, valoarea medie W_m = 0,5 W_M , in care W_M reprezinta viteza maxima in axul geometric al sectiunii. Pentru curgerea turbulenta, viteza locala nu este constanta in timp iar W_m = 0,84 W_M.

Fig.4.1. Repartizarea mǎrimii vitezelor locale pe sectiunea conductei pentru a) curgere laminarǎ  b)curgere turbulentǎ

In jurul peretelui, fluidul se deplaseaza la o viteza ce corespunde regimului laminar. Stratul cu grosime influentata de natura fluidului si asperitatile peretelui se numeste strat limita cu insemnatate pentru transferul de caldura si de masa.

Estimarea gradientului de viteza in stratul limita permite determinarea tensiunii tangentiale unitare (s) pe care o opune fluidul la curgere:

4.4.Pierderea de energie prin frecare

Pierderile de energie datorita frecarii fluidului, intr-o retea prin care acesta curge sunt:

-pierderi liniare datorate rezistentei pe care o opune peretele conductei la curgere;

-pierderi locale, provocate de rezistenta opusa de armaturi (robineti), reductii fitinguri (derivatii, coturi, teuri) la curgerea fluidului prin retea.

Pierderile de aceasta natura in tehnica sunt numite pierderi de presiune.

Relatia intre frecarea (f) si pierderile de presiune (Dp) este dedusa din bilantul energetic si este: f = Dp/g, in care g -greutatea specifica

g r g).

In procesul de curgere exista doua forte:

-o forta ce actioneaza in sensul curgerii pentru realizarea curgerii

(dF = p r² dp);

-o forta de rezistenta care se opune curgerii dirijata in sensul contrar curgerii, care rezulta din frecarea fluidului care se deplaseaza in straturi cu viteze diferite (dF = 2 p r s dl) in care s l r w²)/8 , fiind tensiunea tangentiala unitara, unde l reprezinta coeficientul de frecare nedimensional.

In regim stationar, p r² dp = 2 p r s dl, sau dupa reducerea termenilor si integrarea pe lungimea l a conductei:

respectiv ,

ce reprezinta ecuatia lui Fanning. Coeficientul de frecare l

,

s-a exprimat pe baza analizei dimensionale si este dependent de : a,b,c - coeficienti si exponenti stabiliti experimental; e - coeficient de rugozitate a peretelui conductei;

Energia pierduta prin frecare datorita rezistentelor locale poate fi apreciata prin doua metode:

metoda de calcul prin care obstacolul este inlocuit cu o lungime echivalenta (le)de conducta pe care s-ar produce aceeasi pierdere de presiune ca si prin obstacolul traversat de fluid. Astfel din tabele sau nomograme stabilim l_d iar pierderea de presiune se calculeaza cu ajutorul ecuatiei lui Fanning;

metoda, avand la baza coeficienti de rezistenta locala x cu valori determinate experimental pentru diferite obstacole cu relatia:

4.5.Curgerea in diferite cazuri particulare

4.5.1.Curgerea neizoterma

Cu variatia temperaturii, pierderile de energie la curgerea lichidelor variaza in sens invers proportional, datorita modificarii vascozitatii si in acelasi sens cu temperatura la gaze. Parametrii se vor determina folosind o temperatura de calcul (t_c) la curgerea lichidelor: t_c = 0,75 t_m + 0,2 t_p pentru curgerea laminara si t_c = 0,5 t_m + 0,5 t_m pentru curgerea turbulenta, in care t_m - temperatura medie intre intrare si iesire; t_p temperatura peretelui; valoarea l = 70/R_e pentru curgerea laminara;

O alta metoda va lua in considerare valorile parametrilor la t_m. pentru calculul pierderilor de energie prin frecare se va utiliza ecuatia lui Fanning cu un coeficient de frecare l_c de calcul.

4.5.2. Curgerea prin canale

Se caracterizeaza prin faptul ca este o curgere libera si lichidul nu umple sectiunea.

Pierderea de energie prin frecare este acoperita de diferenta de nivel intre cele doua capete ale canalului (h₂ - h₁) inclinat cu un unghi a , panta canalului fiind definita de relatia :

Tinand seama ca panta I trebuie sa acopere frecarea f :Dh = f sau I = f/DL, si folosind ecuatia lui Fanning in care l=DL/cos a si d = d_e = 4r_h , atunci :

de unde exprimam conditia de viteza la curgerea prin canal :

in care c -coeficient nedimensional la curgerea prin canale.

Debitul de lichid Q_v = A_u w = r_h P_u c I r_h

4.5.3.Curgerea prin deversoare (preaplin)

Deversorul este un perete drept sau curb peste marginea caruia curge un lichid.Viteza de curgere peste pragul deversorului se exprima prin relatia:      

in care: h - inaltimea lichidului peste planul orizontal superior al pragului; y - coeficient de contractie al vanei de lichid.

Debitul de lichid elementar dQ va fi :

, care prin integrare va da:

4.5.4. Curgerea peliculara

Curgerea in pelicule descendente pe suprafete mari raportate

la debit, este o curgere libera avand viteza w si grosimea

d pentru un debit Q:

Fig.4.2. Curgerea unei particule elementare de lichid pe un

perete vertical

in care:

4.5.5.Curgerea prin medii poroase

Mediul poros sau granular este stratul de material permeabil obtinut prin suprapunerea unor particule. Acest strat trebuie sa indeplineasca conditiile :

sa fie permeabil, sa prezinte rezistenta hidraulica mica si rezistenta mecanica mare;

sa prezinte suprafata specifica cat mai mare.

Porozitatea (e) reprezinta raportul dintre volumul de goluri (V_e) si volumul total al stratului.

Pierderile de presiune la curgerea prin stratul poros se determina cu ecuatia lui Fanning in care se considera :

d_e - fiind diametrul echivalent; iar A_s reprezinta suprafata specifica a umpluturii; La determinarea coeficientului l, se calculeaza o valoare a lui R_e modificat:

unde V_f - viteza fictiva considerata raportul dintre debitul volumic si aria sectiunii tubului gol.

Pentru R_eM< 40 curgerea este laminara, iar pentru R_eM> 40 corespunde regimului turbulent.

Coeficientul l = 140 ∙ R_eM^-1 corespunde curgerii laminare; iar

l = 16∙R_eM^-0,2 corespunde curgerii turbulente.

5.TRANSFERUL DE CALDURA

5.1.Notiuni generale

Ansamblul de consideratii care explica cantitativ si calitativ schimbul de caldura intre sistemele materiale se numeste transfer de caldura.

Transferul de caldura se realizeaza prin radiatie, conductie sau convectie care intervin concomitent sau succesiv.

Temperatura unui punct este o variabila a vectorului de pozitie in spatiu si timp.                                 

Totalitatea temperaturilor care caracterizeaza sistemul studiat formeaza campul de temperatura care in regim stationar este constant sau nestationar, cand variaza in functie de timp.

Locul geometric al punctelor de temperaturi egale formeaza o suprafata izoterma. In orice directie care intersecteaza o suprafata izoterma apar variatii de temperatura.

Limita raportului intre diferenta de temperatura a doua suprafete izoterme si distanta pe normalele la suprafete cand aceasta tinde spre zero se numeste gradient de temperatura. ;l

Caldura transmisa in unitatea de timp se numeste debit de caldura Q sau flux termic, care poate fi definit ca limita raportului dintre cantitatea de caldura si timpul in care aceasta a fost transmisa cand timpul tinde spre zero.

Transferul de caldura se realizeaza in unele cazuri intre doua sisteme prin intermediul unei suprafete de schimb de caldura. Fluxul termic unitar sau densitatea fluxului termic F se defineste ca fluxul DQ de caldura care trece prin elementul de suprafata DA si se masoara in N/m².

;

5.2.Transferul de caldura prin radiatie

Fiecare corp la orice temperatura emite si primeste radiatii. Corpurile fiind situate la distanta intre ele. Purtatoarele de energie radianta sunt undele electromagnetice situate in spectrul radiatiilor infrarosii cu lungimi de unda intre 7,6∙10^-7 si 11∙10^-6 m cu propagare rectilinie polarizata.

Din energia E ajunsa la un corp prin radiatie, o parte se reflecta (E_R), o parte nu trece (E_T) si alta este absorbita (E_A) de acel corp. Deci :

E = E_R+ E_A+ E_T,

sau

in care - reprezinta coeficientii de absorbtie, reflexie si radiatie.

Pentru t_T = 1 avem corpuri diatermane, iar pentru t_T = 0 corpurile sunt atermane.

Corpurile atermane sunt cu a_R = 1 - negrul absolut respectiv, r_R = 1 - reflecta total (alb absolut).

Corpul cenusiu absoarbe partial energia radiata si au a_A = const.

Ecuatia lui Stefan-Boltzmann care precizeaza ca energia radiata de corpul negru absolut este proportionala cu puterea a 4-a a temperaturii T a acestuia se reda prin E₀ = s ∙T⁴ in care s - constanta de radiatie a corpului negru absolut (s = 5,72 ∙10^-8 W/m²K⁴).

Pentru corpurile cenusii, legea Stefan-Boltzmann este redata prin:

in care constanta de radiatie a corpului cenusiu este C_u = e∙C₀; e - coeficient de emisie.

5.2.1.Schimbul de caldura intre doua corpuri solide separate de un mediu neabsorbant

Transferul de caldura intre doua suprafete plane si paralele suficient de apropiate si extinse pentru a fi neglijabile pierderile de caldura marginale, si se exprima prin diferenta emisivitatilor lor efective:

Energia efectiva emisa de corpul 1 tinand seama de reflexia corpului 2

,

respectiv energia emisa efectiv de corpul 2:

,

obtinem astfel:

deci                    ,

sau prin explicitare:

in care e_1-2iar relatia de mai sus se poate scrie

unde C_1-2 este coeficientul redus de radiatie:

5.2.2.Efecte de ecran

Ecranele sunt suprafete intermediare intercalate intre suprafetele radianta si radiata care reduc prin absorbtie partiala a caldurii radiate.

Daca ecranul atinge o temperatura T_p:

iar C_1P = C_P2 = C₁₂, rezulta Q_1P = Q_2P = 1/2 Q₁₂;

Caldura transmisa poate fi redusa si prin metoda combinata; utilizarea ecranelor si reducerea coeficientilor de emisie - absorbtie prin revopsirea

suprafetelor.

5.3.Conductia caldurii

5.3.1.Legile conductiei

Legea lui Fourier, bazata pe al doilea principiu al termodinamicii, defineste transferul de caldura prin conductie.

Relatia , arata ca drumul urmat de fluxul termic Q este cel mai scurt intre suprafetele izoterme invecinate A, determinat de gradientul de temperatura t/ l.

Coeficientul de conductivitate l este o caracteristica a fiecarei substante si variaza in functie de temperatura si de pozitia in spatiu. Ordinul de marime al conductivitatii termice pentru diferite substante in stari diferite de agregare, variaza intr-un domeniu larg de valori : (0,003 . 400) [W/m∙K].

Materialele izolante termic au  l<0,12 W/m∙K.

5.3.2.Ecuatia diferentiala a conductiei

Pentru stabilirea ecuatiei diferentiale a conductiei, se considera un volum elementar dV = dx∙dy∙dz, dintr-un corp omogen cu conductivitatea termica l si densitatea r si caldura masica c constante.

Daca in interiorul volumului elementar exista izvoare de caldura

Q = q_v dV∙dt, in care q_v - cantitatea de caldura din izvoarele interioare raportata la unitatea de volum in unitatea de timp, atunci ecuatia diferentiala a conductiei va fi data de relatia:

.

Fig.5.1.Paralelipiped elementar pentru deducerea ecuatiei diferentiale a conductiei

5.3.3.Transferul de caldura in regim stationar

In regim stationar, este definit prin constanta campului de temperatura, si ecuatia lui Fourier devine: .

	Transferul de caldura prin conductie printr-un perete plan cu fete paralele se realizeaza unidimensi-onal perpendicular pe fetele peretelui,

Fig.5.2 Modul transferului de

cǎldurǎ printr-un perete plan

Deci care prin integrare va avea ca rezultat t = , iar gradientul de temperatura introdus in ecuatia lui Fourier, obtinem fluxul termic :

Analog se obtine fluxul termic transmis printr-un perete plan format din mai multe straturi paralele

in care k - coeficientul total de transfer de caldura prin conductie [W/m∙K].

Fig.5.3.Modul de transfer de cǎldurǎ prin mai multe straturi plane paralele

Transferul prin pereti cilindrici implica luarea in considerare a suprafetei A = 2∙p∙r∙l, unde l este lungimea conductei, r este raza care poate fi interioara sau exterioara , iar temperaturile sunt t_i cea interioara si t_e cea exterioara conductei. Ecuatia lui Fourier, separand variabilele intre limite va fi :

care prin integrare va fi:

unde - reprezinta grosimea peretelui si A_m aria medie.

Fig.5.4. Modul de transfer de cǎldurǎ prin   pereti cilindrici

Pentru pereti cilindrici formati din mai multe straturi,

fluxul termic este :

in care

este coeficient total de transfer de caldura prin conductie.

Fig.5.5. Modul de transfer de cǎldurǎ prin pereti cilindrici formati din mai multe straturi

5.3.4. Transferul de caldura prin conductie in regim nestationar

Se caracterizeaza prin ecuatia , la rezolvarea careia se poate efectua cu ajutorul seriilor Fourier si a functiilor lui Bessel, care duce la calcule laborioase. Pentru rezolvarea mai usoara, se aplica legile similitudinii.

Aplicand teorema I-a a similitudinii, din ecuatia diferentiala se ajunge la criteriul lui Fourier:

, care se poate transforma in criteriul lui Biot:.

Cantitatea de caldura dQ care se schimba cu mediul inconjurator la nivelul suprafetei A in timpul t va fi dQ = a∙(t_m-t_s) ∙A∙dt

Caldura dQ acumulata intr-un corp de volum V caruia ii creste temperatura la dt este:

,  deci .

Considerand coeficientul partial de transfer de caldura (a), aria (A), densitatea (r), caldura masica (c), volumul (V), si temperatura mediului (t_m) constante si integrand pentru variatia timpului de la 0 la t si pentru temperatura materialului din stratul de grosime d de la t_s la t_s1, obtinem:

In stratul de grosime d legea lui Fourier este exprimata de deci

5.4.Transferul de caldura prin convectie

5.4.1. Legile convectiei

Schimbul de caldura intre suprafata unui solid si un fluid necesita transferul de caldura prin convectie, care depinde de regimul de curgere, natura  si proprietatile fluidului si de natura si forma suprafetei cu care vine in contact.

Transferul de caldura prin convectie se poate realiza si direct intre doua fluide cand apare si transfer de masa.

Fluxul termic transmis prin convectie inclusiv prin conductie in stratul limita este definit prin legea lui Fourier, dar nu poate fi folosit in calculele practice deoarece nu poate fi determinat gradientul de temperatura in stratul limita.

Pentru simplificarea calculelor, transferul de caldura este exprimat cu ajutorul relatiei lui Newton:

insa   (legea lui Fourier),

deci rezulta valoarea pentru coeficientul partial de transfer caldura, intre fluid si peretele (a

in care t_f, t_p temperatura medie a fluidului respectiv a peretelui.

Forma generala a ecuatiei diferentiale a convectiei dedusa pe aceleasi principii cu ecuatia diferentiala a convectiei, cunoscuta sub denumirea de ecuatia lui Fourier-Kirchoff:

,

care trebuie luata in considerare impreuna cu ecuatia lui Euler pentru scurgerea fluidelor ideale sau ecuatia lui Navier-Stockes pentru curgerea fluidelor reale, si a ecuatiei de continuitate a fluxului de caldura.

5.4.2. Similitudinea si analiza dimensionala in transferul de caldura prin convectie

Imposibilitatea rezolvarii analitice ale sistemului de ecuatii diferentiale de transfer de caldura prin convectie impreuna cu ecuatiile curgerii impune aplicarea similitudinii si analizei dimensionale.

Aplicand prima teorema a similitudinii pentru expresia care defineste coeficientul partial a se obtine criteriul Nusselt, caracteristic convectiei: fiind o masura a raportului dintre convectia din fluid in ansamblu si conductia din stratul limita.

Criteriul Péclet (Pé) reflecta modul in care este influentata evolutia vitezei w a fluidului, de dimensiunile liniare ale spatiului in care se deplaseaza fluidul precum si de temperatura lui:

Se observa ca Pé = P_r P_e.

Criteriul P_r defineste raportul influentei inertiei la curgere fata de inertia la transferul de caldura.

Criteriul lui Galilei ( Ga) caracterizeaza miscarea libera a fluidului in convectia naturala si se exprima prin :

,

in care criteriile R_e si Froud caracterizeza similitudinea hidrodinamica.

Criteriul lui Arhimede (A_r) tine seama de miscarea libera a fluidului provocata de diferentele de densitate :

sau criteriul Grashof (Gr) a carui ecuatie de definitie este :

Pentru transferul de caldura la schimbarea starii de agregare, criteriul caracteristic este Kutateladze (K) definit prin ecuatia :

in care: r-caldura la schimbarea starii de agregare.

Ecuatiile criteriale deduse prin similitudine sau analiza dimensionala permit calcularea valorii coeficientului partial de transfer de caldura prin convectie (a

5.5.Transferul de caldura complex

Transferul de caldura in cazuri reale, este rezultatul actiunii combinate a mai multor moduri de transfer : convectie, radiatie (la transferul intre peretele cald si fluid).

Daca fenomenul principal este convectia, coeficientul (a_s) de transfer de caldura superficial are valoarea  : a_s a_c a_r . Cu acest coeficient se determina fluxul termic cu relatia:

5.5.1. Transferul de caldura complex in regim stationar

5.5.1.1.Transferul de caldura intre doua fluide cu temperatura constanta prin intermediul unui perete solid cu fete paralele

Consideram ca fluidul rece, notat cu F₂, curge in exteriorul peretelui de grosime d iar fluidul cald notat cu F₁ curge in interiorul peretelui.

Densitatea fluxului termic va fi in cazul

fluidului cald :

Densitatea fluxului termic va fi in cazul

peretelui :

Fig.5.6. Transferul de caldura intre doua fluide cu temperatura constanta prin intermediul unui perete solid cu fete paralele

Densitatea fluxului termic va fi in cazul fluidului rece :

Variatia temperaturii va fi:

Daca se scot valorile Dt_i si se insumeaza, rezulta fluxul termic urmator:

, sau fluxul termic Q = k ∙A∙Dt,

unde k - coeficient global de transfer de caldura care contine si convectie si radiatie. In cazul transferului de caldura intre doua fluide separate de un perete solid plan format din mai multe straturi omogene:

5.5.1.2.Transferul de caldura intre doua fluide cu temperatura constanta prin intermediul unui perete solid cilindric

Consideram ca fluidul rece, notat cu F₂, curge in exteriorul peretelui cilindric de grosime l iar fluidul cald notat cu F₁ curge in

Fig.5.7. Transferul de caldura intre doua fluide cu temperatura constanta prin intermediul unui perete solid cilindric

interiorul peretelui peretele cilindric avand raza interioara r_i iar raza exterioara r_e atunci fluxul termic va fi:

in care:.

Daca peretele cilindric este format din mai multe straturi:

5.5.1.3.Transferul de caldura in regim stationar prin intermediul unei suprafete, temperatura fluidelor fiind variabila

Exista urmatoarele cazuri:

a)      circulatia fluidelor se face in flux paralel (echicurent) iar fluxul

caloric dQ printr-o portiune de suprafata elementara dA are expresia:

unde k - este coeficient total de transfer de caldura prin integrare.

Fig.5.8. Transferul de caldura in regim stationar prin intermediul unei suprafete, temperatura fluidelor fiind variabila

Acest flux este cedat de fluidul cald, caruia i se reduce temperatura cu dt₁ si este primit de fluidul rece al carui temperatura creste cu dt₂:

sau de unde

Egaland aceasta ultima expresie cu prima expresie, si separand variabilele si impunand limitele de integrare, obtinem expresia:

care prin integrare duce la:

integrand obtinem :

care prin egalare cu relatia de mai sus duce la:

deci diferenta medie logaritmica de temperatura este:

b)      cand circulatia fluidelor se face in contracurent exista urmatoarele avantaje:

solicitarea termica a suprafetelor de schimb de caldura este aproape constanta (Dt = t₁ - t₂);

este posibila racirea fluidului cald sub temperatura de iesire a fluidului rece;

Fig.5.9. Transferul de caldura in regim stationar prin intermediul unei suprafete, circulatia fluidelor se face in contracurent

Pentru acelasi flux termic, suprafata de transfer de caldura este mai mica pentru ca se realizeaza diferente de temperatura medie sau mare;

5.5.2. Transfer de caldura la temperaturi variabile in regim nestationar

In cazul transferului de caldura la temperaturi variabile in regim nestationar campul de temperatura variaza in timp.

5.5.2.1.Transfer de caldura cu variatia temperaturii numai in timp, la fluide bine agitate cu temperatura uniforma in volum:

unde A este suprafata de schimb de caldura intre cele doua fluide.

Se realizeaza intre doua fluide bine agitate ca sa se poata considera temperatura uniforma in intreaga masa a fiecarui fluid. Daca consideram t₁^' temperatura initiala a fluidului cald, iar t₂^' temperatura initiala a fluidului rece, atunci cantitatea de caldura transmisa prin suprafata A de la fluidul cald la rece dQ in intervalul dt este :

Aceasta cantitate este cedata de fluidul cald (cu semnul "-") si primita de fluidul rece:

, unde M₁^' si M₂^' cantitatile masice de fluid.Din cele doua relatii de mai sus vom obtine:

din care: si vom obtine:

care prin integrare duce la:

care se poate pune sub forma:

Pentru un timp mai indelungat cand t ¥ ,temperatura celor doua fluide tinde sa se egalizeze (pt. t = 0, si Dt = Dt^').

Integrand relatia d(t₁ - t₂) = - m dQ intre aceleasi limite de temperaturi se ajunge la : si inlocuind pe m cu valoarea sa obtinem:

5.5.2.2. Transferul de caldura cu variatia caldurii in timp si spatiu

In recipientul din figura 5.10 se gaseste fluidul cald M₁^' cu temperatura initiala t₁^', iar prin serpentina se introduce fluidul rece cu debitul masic M₂ , care la intrare are temperatura t₂^' si ajunge la temperatura t₂^" la un mmoent dat. Trebuie determinat dupa cat timp se ajunge la o anumita temperatura pentru fluidul din recipient.

Fig.5.10. Transferul de

caldura cu variatia caldurii in

timp si spatiu

Consideram ca are loc un transfer de caldura de la fluidul cald la fluidul rece conform expresiei:

in care

Cantitatea de caldura cedata de fluidul cald si primita de fluidul rece, este:

Prin egalarea primei expresii cu ultima, obtinem relatia:

pe care o inlocuim in expresia a doua si vom obtine:

Valorile kA/M₂ c₂ depind numai de constantele aparatului si conditiile de lucru. Termenii care intervin in acest raport sunt constanti ceea ce impune si raportului t₁ - t₂^'/t₁-t₂^" sa fie constant in timpul t

Considerand t₁ - t₂^'/t₁-t₂^"= B si inlocuind in prima relatie pe Dt_med cu valoarea din relatia a doua, iar numitorul acesteia in functie de relatia exprimata cu B, obtinem:

in care inlocuim valoarea lui t₂^" cu valoarea

si vom obtine:

relatie din care obtinem :

Caldura luata de la fluidul cald in timpul t, tinand seama de t_1i si t_if este: iar daca egalam valorile lui M₁^' din relatiile de mai sus, obtinem:

  in care :

.

Temperatura medie de evacuare a fluidului rece se poate deduce din relatia : care trebuie integrata pe intervalul o la t: care pentru rezolvare trebuie impuse unele conditii cunoscute (M₁^',c₁, A, c₂, k, t_1i, t₂^').

Se pot pune una din conditii : sau sa se ajunga la o valoare definita pentru t₁ final sau se stabileste o durata t pentru operatia de racire.

Daca se pune conditia pentru t_1f, din relatia

se determina valoarea lui Q.

Trebuie sa se impuna si M₂ si din corelarea lui  cu t₁ - t₂^'/t₁-t₂^"= B si se obtine valoare lui B, apoi Dt_med^' si t se obtin din relatiile: si .

Din relatia

se obtine valoarea lui t_2m^". Valorile lui t_2i^" respectiv t_2f^" se obtin din relatia t₁ - t₂^'/t₁-t₂^"= B dand valorile t_1i si t_1f pentru t₁.

Punand o conditie pentru t, trebuie sa se determine concomitent valorile lui Q si t_1f din relatiile si   fiind calculat B ca in cazul precedent. Apoi pentru t_2m^", t_2i^", t_2f^" se aplica procedeul indicat. O asemenea problema impune ca insasi unele conditii sa fie verificate si anume:

t_1f > t₂^' si t_1i > t₂^".

Pe principiul prezentat pentru racirea fluidului din recipient se pot deduce relatiile pentru incalzirea fluidului respectiv.

6.TRANSFERUL DE MASA

6.1. Notiuni generale

Transferul unui component dintr-o faza in alta cu concentratie diferita din acel component se numeste transfer de masa. Factorul motor este gradientul de concentratie ().

Fluxul de masa (N) reprezinta cantitatea de substanta care difuzeaza in unitate de timp (

Transferul de masa se realizeaza prin:

difuziune moleculara care consta in deplasarea la scara moleculara a unei substante printr-un fluid;

difuziune prin convectie, cand deplasarea componentului care se transfera se realizeaza prin curentii de convectie care apar la fluide (este insotita totdeauna de difuziune moleculara).

6.2. Transferul de masa prin difuziune moleculara

Difuziunea moleculara este un proces lent care se poate intensifica prin ridicarea temperaturii. Legea lui Fick este legea de baza si se defineste prin relatia:

in care N_A - fluxul de masa din componentul A care difuzeaza in fluidul B prin suprafata A; D_AB - coeficient de difuziune moleculara; C_A - concentratia in substanta A.

Coeficientul de difuziune este o caracteristica fizica a substantei si reprezinta capacitatea de migrare a unui component intr-un mediu fluid sau solid. Valorile numerice ale coeficientului de difuziune depind de proprietatile substantei care difuzeaza, de proprietatile mediului in care se realizeaza difuziunea, de temperatura, presiune, si pentru fluide de vascozitate.

6.3.Transferul de masa prin difuziune convectiva

6.3.1. Notiuni generale

Acest tip de transfer se realizeaza prin fluide in miscare, adica substanta se transfera odata cu deplasarea masei de fluid, existand un proces de curgere ca si la transferul de caldura prin convectie. Procesul este mult mai intens decat transferul prin difuziune moleculara si depinde de gradul de turbulenta al fazei.

Miscarea la difuziunea convectiva se obtine prin simpla deplasare a fluidelor in interiorul aparatelor, prin agitare, prin actiunea unei diferente de presiune, sub actiunea gravitatiei sau prin actiunea simultana a mai multor forte. Cu cat turbulenta la curgere este mai mare, procesul este mai intens si rezistenta la transfer este mai mica. Simultan are loc difuziunea moleculara si convectiva.

Fluxul unitar de masa poate fi descris de legea lui Fick si se defineste prin relatia:

in care D_e - coeficientul de difuziune, care este suma coeficientilor de difuziune moleculara si cel de difuziune convectiva.

In cazul transferului de masa prin difuziune convectiva se utilizeaza un coeficient partial de transfer de transfer de masa

Ecuatia diferentiala a difuziunii efective respectiv legea lui Fick poate fi integrata prin intervalul de variatie a concentratiei in stratul limita in care are loc difuziunea.

Daca C_A1 si C_A2 sunt limitele variatiei concentratiei, C_A1 > C_A2, in stratul limita de grosime d, atunci:

sau rezulta:

respectiv:

in care k = D_e/d reprezinta coeficientul partial de transfer de masa.

Grosimea d a stratului limita prin care are loc difuziunea nu poate fi masurat, k_A se determina experimental sau pe baza de ecuatii criteriale.

Diferenta (C_A1-C_A2) reprezinta potentialul la care se realizeaza transferul de masa.

Fluxul de masa se exprima prin relatia:

sau pentru care concentratia se poate inlocui cu presiunea, deci:

6.3.2. Ecuatia diferentiala a transferului de masa prin difuziune convectiva

In timpul transferului de masa exista tendinta de omogenizare a concentratiei, la care pe langa difuziunea moleculara contribuie si difuziunea convectiva, rezultata din deplasarea unor portiuni microscopice de fluid in miscare.

In interiorul unui fluid in miscare prin care difuzeaza o substanta, daca se delimiteaza un volum elementar dV = dxdydz, pe cele trei axe Ox, Oy, Oz, atunci prin suprafata paralela cu axa Ox, va difuza la intrare cantitatea:

, iar la iesire :

.

Cresterea de cantitate de substanta care difuzeaza intre intrare si iesire in directia Ox va fi:

si similar:

Excesul de substanta iesita din volumul elementar este:

sau: care reprezinta ecuatia diferentiala a difuziei.

In acelasi timp, curentul de fluid in miscare introduce in interiorul volumului elementar o cantitate de substanta egala cu :

si din volumul elementar, fluidul in miscare scoate o cantitate de substanta:

Cantitatea totala de masa scoasa din volumul elementar dV va fi:

dar dM = dM^'

Ecuatia de mai sus reprezinta transferul de masa in regim stationar. In ipoteza ca lichidul este in repaus, Insa, D este diferit de 0, deci ecuatia transferului de masa in regim stationar in fluid in stare de repaus este:

6.3.3.Similitudinea si analiza dimensionala la transfer de masa

Coeficientii partiali la transferul de masa la fel ca si in cazul transferului de caldura depind de mai multe variabile, care se gasesc interdependenta complexa. Pentru determinarea valorii D se folosesc in principal ecuatiile criteriale, deduse pe baza legilor similitudinii sau analizei dimensionale, a caror coeficienti sau exponenti sunt determinati pe cale experimentala.

Similitudinea in transferul de masa impune:

-existenta similitudinii geometrice, caracterizata prin rapoarte de lungimi importante pentru sistem (simplecsi);

-existenta similitudinii hidrodinamice caracterizata prin criteriile Fr (Froude), Eu (Euler), Re (Reynolds), si Ho (pentru regimul nestationar).

-conditii specifice impuse transferului de masa prin criterii caracteristice;

Similitudinea transferului de masa poate coexista cu similitudinea transferului termic, insa nu impune existenta acestuia. Criteriile specifice transferului de masa s-au stabilit pe aceleasi cai ca si cele de la transferul termic.

Din egalarea vitezei transferului de masa prin difuziune moleculara cu cea prin difuziune convectiva se ajunge la relatia:

care transformata pe baza primei teoreme a similitudinii, duce la ecuatia de definitie a criteriului Sherwood:

care caracterizeaza filmul de lichid in care are loc transferul de masa.

Criteriul S_h este analog cu N_u pentru transferul de caldura in care a este inlocuit cu k_A si l cu D.

Criteriul S_h este numit si criteriul lui Nusselt pentru difuziune,

continand coeficientul partial de transfer de masa.

Prin transformarea ecuatiei diferentiale a transferului de masa se ajunge la criteriul lui Péclet pentru difuziune, analog cu Pé de la transfer de caldura.

in relatia de mai sus este inlocuit coeficientul de difuzivitate termica a cu coeficientul de difuziune D. Criteriul P_éD caracterizeza raportul intre transferul de masa prin difuziune convectiva cu cel prin difuziune moleculara.

Stiind ca la transferul de caldura avem:

          in cazul difuziunii avem:

in care S_c reprezinta criteriul lui Schmidt, si este caracteristic pentru difuziune, iar reprezinta raportul fortelor de vascozitate fata de cele care favorizeaza difuziunea.

Se observa ca in criteriul S_c se exprima relatia intre parametrii fluidului in care se realizeaza transferul de masa si in criteriul P_r se exprima relatia intre parametrii fluidului in care se realizeaza transferul de caldura. Facand raportul intre ei, se obtine un nou criteriu numit Lewis:

;

Criteriul Lewis caracterizeaza fenomenele simultane de transfer de masa si caldura. Din raportul S_h si P_éD se obtine ecuatia de definitie a criteriului Stanton:

care da corelatia intre coeficientul partial de masa k_A si viteza de difuziune.

Astfel, transferul de masa in regim stationar poate fi descris de ecuatia criteriala:

f ( F_r, E_u, R_e, S_h, S_c, p p p_n

Daca se tine seama de faptul ca satisfacerea similitudinii geometrice si a criteriului R_e impune satisfacerea criteriului E_u, ca in cazurile obisnuite criteriul F_r nu prezinta importanta pentru transferul de masa si ca exista similitudinea geometrica intre sisteme, ecuatia criteriala de forma cea mai generala poate fi :

S_h = f (R_e, S_h, S_c, p p p_n

Pentru transferul de masa prin difuziune, prin convectie naturala, in care viteza nu se poate determina, ecuatia de forma cea mai generala este:

din care, prin rezolvare se ajunge la ecuatia criteriala :

S_h = f (A_r,S_c).

6.4.Transferul de masa intre doua fluide, cu variatia concentratiei in regim stationar

Transferul de masa care are loc intre doua fluide prin intermediul sau absenta unei membrane solide este un proces care se produce pe principiile convectiei. Forta motrica in acest caz este diferenta de concentratie intre faze pana la valoarea de echilibru a acesteia.

Debitele de component transferat se exprima prin ecuatii de bilant de materiale:

dM = M_A (C_Ai - C_Af) = M_B (C_Bf - C_Bi), in care:

M_A,B - reprezinta debitele de fluid A, respectiv B;

C_A,B - reprezinta concentratiile initiale si finale a fluidelor A respectiv B.

Componentul care trece dintr-un fluid in altul va trece din fluidul in care se gaseste in concentratie mai mare spre fluidul in care se gaseste in concentratie mai mica.

Daca transferul de masa are loc intre doua fluide care se deplaseaza in curent paralel, la sfarsitul procesului se tinde la egalizarea concentratiilor intre cele doua fluide, deci :

C_Af ³ C_Bf.

In procesele in care deplasarea fazelor se face in contracurent, conditia de concentratie a componentului care difuzeaza intre cele doua fluide este:

C_Ai > C_Bf si C_Af > C_Bi .

Fiind analizat procesul de transfer in regim stationar, acesta se poate descrie de ecuatia lui Fick:

dM = A k_A DC_A = A k_B DC_B, in care:

k -este coeficientul de transfer de masa intre cele doua fluide;

DC_A = C_Ai  - C _Af; D C_B = C_Bf  - C _Bi; unde "i" reprezinta starea initiala iar "f" starea finala;

A - suprafata de transfer;

In operatiile de transfer de masa realizate in sistem continuu, procesul se desfasoara stationar. Compozitia fluidelor variaza la suprafata de contact, insa ramane constanta in timp pentru oricare din sectiunile aparatului in care se produce operatia.

6.4.1. Transferul de masa la deplasarea in curent paralel a fluidelor

Consideram doua fluide, primul de concentratie C_A si al doilea de concentratie mai mica C_B, la care pentru un element de suprafata de contact dA se poate scrie urmatoarea relatie:

dM = k(C_A - C_B)dA;

Debitul elementar de component ce paraseste faza cea mai concentrata este dM, in care k reprezinta coeficientul total de transfer de masa. Debitul material care paraseste un fluid se poate exprima prin ecuatii de bilant de materiale:

dM = -M_A dC_A;

dM = -M_B dC_B;

din care se poate exprima variatia elementara de concentratie din cele doua fluide:

dC_A = - dM/M_A; dC_B = dM/M_B;

iar diferenta variatiilor elementare de concentratie va fi:

dC_A - dC_B = -dM (1/M_A + 1/M_B); sau d(C_A - C_B) = -dM m;

Egaland relatia de mai sus cu dM = k(C_A - C_B)dA si separand variabilele obtinem:

care integrata intre limitele (C_Ai -C_Bi) si (C_Af -C_Bf) se ajunge la :

Pe de alta parte, integrand relatia: d(C_A - C_B) = -dM m intre aceleasi limite se ajunge la:

Cu aceasta ultima relatie si cu cea de dinainte, prin eliminarea lui m ajungem la:

de unde M = k A DC_mlg, in care

diferenta de concentratie medie logaritmica intre cele doua fluide la inceputul si sfarsitul procesului este:

DC_lmg=

6.4.2. Transferul de masa la deplasarea in contracurent a fluidelor

Consideram doua fluide, primul de concentratie C_A si al doilea de concentratie mai mica C_B, care se deplaseaza in contracurent, la care pentru un element de suprafata de contact dA se ajunge conform procedurii prezentate mai sus la urmatoarea relatie:

DC_lma=

6.4.3. Coeficientul total de transfer de masa

Pentru fluidele A si B:

la transferul de masa prin convectie, cand lipseste membrana k, depinde numai de coeficientii partiali de transfer prin convectie:

la transfer de masa prin difuziune moleculara:

la transfer prin difuziune moleculara si convectiva:

In cazul mai multor fluide, la numitor apar trei sau patru termeni.